北师大八年级数学上册第1章勾股定理单元测试卷(带答案和解释)

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北师大八年级数学上册第1章勾股定理单元测试卷(带答案和解释)

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莲山 课件 w ww.5 Y
K J.CO
M

2018-2019学年度北师大版数学八年级上册
第1章《勾股定理》单元测试卷
考试范围:第1章《勾股定理》;考试时间:100分钟;满分:120分
题号 一 二 三 总分
得分    
 
第Ⅰ 卷(选择题

 评卷人   得  分
  
一.选择题(共10小题30分)
1.以下列各组线段为边作三角形,能构成直角三角形的是(  )
A.2,3,4 B.6,8,10 C.5,8,13 D.12,13,14
2.用四个边长均为a、b、c的直角三角板,拼成如图中所示的图形,则下列结论中正确的是(  )
 
A.c2=a2+b2 B.c2=a2+2ab+b2 C.c2=a2﹣2ab+b2 D.c2=(a+b)2.
3.勾股定理是几何中的一个重要定理,在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,点D,E,F,G,H,I都是矩形KLMJ的边上,则矩形KLMJ的面积为(  )
 
A.360 B.400 C.440 D.484
4.如图,甲是第七届国际数学教育大会(简称ICME~7)的会徽,会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图乙中的直角三角形继续作下去,那么OA1,OA2,…OA25这些线段中有多少条线段的长度为正整数(  )
 
A.3 B.4 C.5 D.6
5.下列说法中正确的是(  )
A.已知a,b,c是三角形的三边,则a2+b2=c2
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中,∠C=90°,所以a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中,∠B=90°,所以a2+b2=c2
6.如图,在正方形网格中,每个小正方形的方格的边长均为1,则点A到边BC的距离为(  )
 
A.  B.  C.  D.3
7.满足下列条件的△ABC,不是直角三角形的是(  )
A.b2﹣c2=a2 B.a:b:c=3:4:5
C.∠C=∠A﹣∠B D.∠A:∠B:∠C=9:12:15
8.某中学旁边有一块三角形空地,为了保持水土,美化环境,全校师生一齐动手,在空地的三条边上栽上了树苗(如图).已知三边上的树苗数分别为50、14、48,空地的三个角均有一棵树,且每条边上的树苗株距均为1米,那么这块空地的形状为(  )
 
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能确定
9.长方形门框ABCD中,AB=2m,AD=1.5m.现有四块长方形薄木板,尺寸分别是:①长1.4m,宽1.2m;②长2.1m,宽1.7m;③长2.7m,宽2.1m;④长3m,宽2.6m.其中不能从门框内通过的木板有(  )
A.0块 B.1块 C.2块 D.3块
10.如图铁路上A,B两点相距40千米,C,D为两村庄,DA⊥AB,CB⊥AB,垂足分别为A和B,DA=24千米,CB=16千米.现在要在铁路旁修建一个煤栈E,使得C,D两村到煤栈的距离相等,那么煤栈E应距A点(  )
 
A.20千米 B.16千米 C.12千米 D.无法确定


第Ⅱ卷(非选择题)

 评卷人   得  分
  
二.填空题(共10小题30分)
11.已知直角三角形的三边分别为6、8、x,则x=     .
12.如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠,点D落在点D′处,则重叠部分△AFC的面积为     .
 
13.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,点D在BC上,∠ADC=2∠B,AD= ,则BC的长为     .
 
14.观察下列式子:
当n=2时,a=2×2=4,b=22﹣1=3,c=22+1=5
n=3时,a=2×3=6,b=32﹣1=8,c=32+1=10
n=4时,a=2×4=8,b=42﹣1=15,c=42+1=17…
根据上述发现的规律,用含n(n≥2的整数)的代数式表示上述特点的勾股数a=     ,b=     ,c=     .
15.三角形的三边长a,b,c满足2ab=(a+b)2﹣c2,则此三角形的形状是     三角形.
16.已知一个三角形的三条边的长分别为 、 和 ,那么这个三角形的最大内角的大小为     度.
17.如图,在四边形ABCD中,∠C=90°,AB=12cm,BC=3cm,CD=4cm,AD=13cm.求四边形ABCD的面积=     cm2.
 
18.如图,在一次测绘活动中,某同学站在点A的位置观测停放于B、C两处的小船,测得船B在点A北偏东75°方向150米处,船C在点A南偏东15°方向120米处,则船B与船C之间的距离为     米(精确到0.1m).
 
19.上午8时,一条船从海岛A出发,以15海里/时的速度向正北航行,10时到达海岛B处,从A、B望灯塔C,测得∠BAC=60°,点C在点B的正西方向,海岛B与灯塔C之间的距离是     海里.
 
20.如图是一段楼梯,∠A=30°,斜边AC是4米,若在楼梯上铺地毯,则至少需要地毯     米.
 
 
 评卷人   得  分
  
三.解答题(共6小题60分)
21.如图,你能用它验证勾股定理吗?(提示:以斜边为边长的正方形的面积+四个三角形的面积=外正方形的面积)
 
22.如图,四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13.试判断△ACD的形状,并说明理由.
  23.问题情境:在综合与实践课上,同学们以“已知三角形三边的长度,求三角形面积”为主题开展数学活动,小颖想到借助正方形网格解决问题.图1,图2都是8×8的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点.
 
操作发现:小颖在图1中画出△ABC,其顶点A,B,C都是格点,同时构造正方形BDEF,使它的顶点都在格点上,且它的边DE,EF分别经过点C,A,她借助此图求出了△ABC的面积.
(1)在图1中,小颖所画的△ABC的三边长分别是AB=     ,BC=     ,AC=     ;△ABC的面积为     .
解决问题:
(2)已知△ABC中,AB= ,BC=2 ,AC=5 ,请你根据小颖的思路,在图2的正方形网格中画出△ABC,并直接写出△ABC的面积.


24.在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发,现有一C处需要爆破,已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米,与公路上另一停靠站B的距离为400米,且CA⊥CB,如图,为了安全起见,爆破点C周围半径250米范围内不得进入,问在进行爆破时,公路AB段是否有危险,是否而需要暂时封锁?请通过计算进行说明.
 

 25.某研究性学习小组进行了探究活动.如图,已知一架竹梯AB斜靠在墙角MON处,竹梯AB=13m,梯子底端离墙角的距离BO=5m.
(1)求这个梯子顶端A距地面有多高;
(2)如果梯子的顶端A下滑4m到点C,那么梯子的底部B在水平方向上滑动的距离
BD=4m吗?为什么?
(3)亮亮在活动中发现无论梯子怎么滑动,在滑动的过程中梯子上总有一个定点到墙角O的距离始终是不变的定值,会思考问题的你能说出这个点并说明其中的道理吗?
 

26.如图,圆柱形容器高12cm,底面周长24cm,在杯口点B处有一滴蜂蜜,此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处,
(1)求蚂蚁从A到B处吃到蜂蜜最短距离;
(2)若蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以每秒钟1cm沿杯内壁下滑,4秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜,求蚂蚁的平均速度至少是多少?
   

参考答案与试题解析
 
一.选择题(共10小题)
1.
【分析】只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断是直角三角形.
【解答】解:A、22+32=13≠42,不能构成直角三角形,故本选项错误;
B、62+82=100=102,能构成直角三角形,故本选项正确;
C、52+82=89≠132,不能构成直角三角形,故本选项错误;
D、122+132=313≠142,不能构成直角三角形,故本选项错误;
故选:B.
 
2.
【分析】四个一样的直角三角板围成的四边形为正方形,其中小四边形也为正方形,大正方形的面积可以由边长的平方求出,也可以由四个直角三角形的面积与小正方形面积之和来求,两种方法得出的面积相等,利用完全平方公式展开,合并后即可得到正确的等式.
【解答】解:由题意得到四个完全一样的直角三角板围成的四边形为正方形,其边长为c,
里边的小四边形也为正方形,边长为b﹣a,
则有c2= ab×4+(b﹣a)2,
整理得:c2=a2+b2.
故选:A.
 
3.
【分析】延长AB交KF于点O,延长AC交GM于点P,可得四边形AOLP是正方形,然后求出正方形的边长,再求出矩形KLMJ的长与宽,然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解.
【解答】解:如图,延长AB交KF于点O,延长AC交GM于点P,
所以,四边形AOLP是正方形,
边长AO=AB+AC=6+8=14,
所以,KL=6+14=20,LM=8+14=22,
因此,矩形KLMJ的面积为20×22=440.
故选:C.
 
 
4.
【分析】OA1=1,OA2= = ,OA3= = ,找到OAn= 的规律即可计算OA1到OA25中长度为正整数的个数.
【解答】解:找到OAn= 的规律,
所以OA1到OA25的值分别为 , , … … ,
故正整数为 =1,  =2,  =3,  =4,  =5.
故选:C.
 
5.
【分析】在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和,且斜边对角为直角,根据此就可以直接判断A、B、C、D选项.
【解答】解:在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和,且斜边对角为直角.
A、不确定c是斜边,故本命题错误,即A选项错误;
B、不确定第三边是否是斜边,故本命题错误,即B选项错误;
C、∠C=90°,所以其对边为斜边,故本命题正确,即C选项正确;
D、∠B=90°,所以斜边为b,所以a2+c2=b2,故本命题错误,即D选项错误;
故选:C.
 
6.
【分析】首先利用勾股定理求出三角形的边长,然后得到三角形是等腰三角形,进而利用勾股定理求出AD的长即可.
【解答】解:根据勾股定理可知:
AB= = ,AC= = ,BC= = ,
则△ABC是等腰三角形,
过点A作AD⊥BC,垂足为D,
即BD=CD= BC= ,
AD= = = ,
即点A到BC的距离为 .
故选:C.
 
 
7.
【分析】根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理对各个选项分别进行计算即可.
【解答】解:b2﹣c2=a2
则b2=a2+c2
△ABC是直角三角形;
a:b:c=3:4:5,
设a=3x,b=4x,c=5x,
a2+b2=c2,
△ABC是直角三角形;
∠C=∠A﹣∠B,
则∠B=∠A+∠C,
∠B=90°,
△ABC是直角三角形;

∠A:∠B:∠C=9:12:15,
设∠A、∠B、∠C分别为9x、12x、15x,
则9x+12x+15x=180°,
解得,x=5°,
则∠A、∠B、∠C分别为45°,60°,75°,
△ABC不是直角三角形;
故选:D.
 
8.
【分析】根据三边上的树苗的数分别求得三边的长为13、47、49,根据三边的长判断三角形的形状即可.
【解答】解:∵三边上的树苗数分别为50、14、48,空地的三个角均有一棵树,且每条边上的树苗株距均为1米,
∴三边的长分别为13米、47米、49米,
假设为直角三角形且直角三角形的最长边为x,
则:x2=132+472=2378,
∵492=2401>2378,
∴该三角形为钝角三角形.
故选:B.
 
9.
【分析】求出长方形门框的对角线长,宽小于或等于长方形门框的对角线的长的木板就可通过.
【解答】解:门框的对角线长是:  =2.5m.
宽小于或等于2.5m的有:①②③.
故选:B.
 
10.
【分析】根据题意利用勾股定理得出AD2+AE2=BE2+BC2,进而求出即可.
【解答】解:设AE=xkm,则BE=(40﹣x)km,
∵DA⊥AB,CB⊥AB,C,D两村到煤栈的距离相等,
∴AD2+AE2=BE2+BC2,
故242+x2=(40﹣x)2+162,
解得:x=16,
则煤栈E应距A点16km.
故选:B.
 
二.填空题(共10小题)
11.
【分析】根据勾股定理的内容,两直角边的平方和等于斜边的平方,分两种情况进行解答.
【解答】解:分两种情况进行讨论:
①两直角边分别为6,8,由勾股定理得x= =10,
②一直角边为6,一斜边为8,由勾股定理得x= =2 ;
故答案为:10或2 .
 
12.
【分析】因为BC为AF边上的高,要求△AFC的面积,求得AF即可,求证△AFD′≌△CFB,得BF=D′F,设D′F=x,则在Rt△AFD′中,根据勾股定理求x,∴AF=AB﹣BF.
【解答】解:易证△AFD′≌△CFB,
∴D′F=BF,
设D′F=x,则AF=8﹣x,
在Rt△AFD′中,(8﹣x)2=x2+42,
解之得:x=3,
∴AF=AB﹣FB=8﹣3=5,
∴S△AFC= •AF•BC=10.
故答案为:10.
 
13.
【分析】根据∠ADC=2∠B,∠ADC=∠B+∠BAD判断出DB=DA,根据勾股定理求出DC的长,从而求出BC的长.
【解答】解:∵∠ADC=2∠B,∠ADC=∠B+∠BAD,
∴∠B=∠DAB,
∴DB=DA= ,
在Rt△ADC中,
DC= = =1,
∴BC= +1.
故答案为:  +1.
 
14.
【分析】由n=2时,a=2×2=4,b=22﹣1=3,c=22+1=5;n=3时,a=2×3=6,b=32﹣1=8,c=32+1=10;n=4时,a=2×4=8,b=42﹣1=15,c=42+1=17…得出a=2n,b=n2﹣1,c=n2+1,满足勾股数.
【解答】解:∵当n=2时,a=2×2=4,b=22﹣1=3,c=22+1=5
n=3时,a=2×3=6,b=32﹣1=8,c=32+1=10
n=4时,a=2×4=8,b=42﹣1=15,c=42+1=17…
∴勾股数a=2n,b=n2﹣1,c=n2+1.
故答案为:2n,n2﹣1,n2+1.
 
15.
【分析】根据题目中的式子和勾股定理的逆定理可以解答本题.
【解答】解:∵2ab=(a+b)2﹣c2,
∴2ab=a2+2ab+b2﹣c2,
∴a2+b2=c2,
∵三角形的三边长a,b,c满足2ab=(a+b)2﹣c2,
∴此三角形是直角三角形,
故答案为:直角.
 
16.
【分析】根据勾股定理的逆定理:如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方,那么这个是直角三角形,进而可得答案.
【解答】解:∵( )2+( )2=( )2,
∴三角形为直角三角形,
∴这个三角形的最大内角度数为90°,
故答案为:90
 
17.
【分析】连接BD,根据勾股定理求出BD,根据勾股定理的逆定理求出△CBD是直角三角形,分别求出△ABD和△CBD的面积,即可得出答案.
【解答】解:连结BD,
在△ABD中,
∵∠A=90°,BC=3cm,DC=4cm,
∴BD= =5(cm),
S△BCD= BC•DC= ×3×4=6(cm2),
在△ABD中,
∵AD=13cm,AB=12cm,BD=5cm
∴BD2+AB2=AD2,
∴△ABD是直角三角形,
∴S△ABD= AB•BD= ×12×5=30(cm2),
∴四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BCD=6+30=36(cm2).
故答案为:36.
 
18.
【分析】根据已知条件得到∠BAC=90°,AB=150米,AC=120米,由勾股定理即可得到结论.
【解答】解:根据题意得:∠BAC=90°,AB=150米,AC=120米,
在Rt△ABC中,BC= ≈192.2米,
故答案为:192.2
 
19.
【分析】根据方位角可知船与海岛、灯塔的方向正好构成了直角.然后根据路程=速度×时间,再根据勾股定理,即可求得海岛B与灯塔C之间的距离.
【解答】解:因为∠BAC=60°,点C在点B的正西方向,
所以△ABC是直角三角形,
∵AB=15×2=30海里,∠BAC=60°,
∴AC=60海里,
∴BC= =30 (海里)
故答案为:30
 
20.
【分析】利用直角三角形中30°角对的直角边等于斜边的一半求出BC的长,再根据勾股定理求出AB的长,进而可得出结论.
【解答】解:∵△ABC是直角三角形,∠A=30°,斜边AC是4米,
∴BC= AC=2米,
∴AB= = =2 (m),
∴如果在楼梯上铺地毯,那么至少需要地毯为AB+BC=(2 )米.
故答案为:2 +2
 
三.解答题(共6小题)
21.
【分析】根据题意,我们可在图中找等量关系,由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积,列出等式化简即可得出勾股定理的表达式.
【解答】解:根据题意,中间小正方形的面积 ;
化简得a2+b2=c2,
即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和.
 
22.
【分析】先根据勾股定理求出AC的长,在△ACD中,再由勾股定理的逆定理,判断三角形的形状.
【解答】解:△ACD是直角三角形.理由是:
∵∠B=90°,AB=3,BC=4,∴AC2=AB2+BC2=9+16=25,∴AC=5,
又∵AC2+CD2=25+144=169,AD2=169,∴AC2+CD2=AD2,
∴△ACD是直角三角形.
 
23.
【分析】根据勾股定理、矩形的面积公式、三角形面积公式计算.
【解答】解:(1)AB= =5,BC= = ,AC= = ,
△ABC的面积为:4×4﹣ ×3×4﹣ ×1×4﹣ ×3×1= ,
故答案为:5; ; ; ;
(2)△ABC的面积:7×2﹣ ×3×1﹣ ×4×2﹣ ×7×1=5.
 
 
24.
【分析】如图,本题需要判断点C到AB的距离是否小于250米,如果小于则有危险,大于则没有危险.因此过C作CD⊥AB于D,然后根据勾股定理在直角三角形ABC中即可求出AB的长度,然后利用三角形的公式即可求出CD,然后和250米比较大小即可判断需要暂时封锁.
【解答】解:如图,过C作CD⊥AB于D,
∵BC=400米,AC=300米,∠ACB=90°,
∴根据勾股定理得AB=500米,
∵ AB•CD= BC•AC,
∴CD=240米.
∵240米<250米,故有危险,
因此AB段公路需要暂时封锁.
 
 
25.
【分析】(1)在Rt△AOB中利用勾股定理求得AO的长即可;
(2)在梯子长度不变的情况下,求出DO的长后减去BO的长求得BD即可作出判断;
(3)由直角三角形斜边上的中线的性质回答问题.
【解答】解:(1)∵AO⊥DO,
∴AO= ,
= ,
=12m,
∴梯子顶端距地面12m高;

(2)滑动不等于4m,
∵AC=4m,
∴OC=AO﹣AC=8m,
∴OD= ,
= ,
∴BD=OD﹣OB= ,
∴滑动不等于4m.

(3)AB上的中点到墙角O的距离总是定值,因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
 
26.
【分析】(1)先将圆柱的侧面展开,再根据勾股定理求解即可;
(2)根据勾股定理得到蚂蚁所走的路程,于是得到结论.
【解答】解:(1)如图所示,
∵圆柱形玻璃容器,高12cm,底面周长为24cm,
∴AD=12cm,
∴AB= = =12 (cm).
答:蚂蚁要吃到食物所走的最短路线长度是12 cm;

(2)∵AD=12cm,
∴蚂蚁所走的路程= =20,
∴蚂蚁的平均速度=20÷4=5(cm/s).

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