青岛版八年级数学上册平行线的判定专题突破讲练试题(含答案)

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青岛版八年级数学上册平行线的判定专题突破讲练试题(含答案)

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文 章
来源莲山
课件 w ww.5 y kj.Co m

平行线的判定
 
一、三线八角图析(同位角、内错角、同旁内角)
 
1. 同位角:在两直线被第三条直线所截,构成的八个角中,位于两被截线同一方、且在截线同一侧的两个角,叫做同位角。
上图中,同位角有4对:
∠1和∠2, ∠3和∠4, ∠5和∠6, ∠7和∠8
2. 内错角:在两直线被第三条直线所截,构成的八个角中,位于两被截线的内部,且在第三直线的两侧的两个角,叫做内错角。
上图中,内错角有2对:
∠4和∠5,∠2和∠7
3. 同旁内角:在两直线被第三条直线所截,构成的八个角中,位于两被截线的内部,
且在第三直线的同旁的两个角,叫做同旁内角。
上图中,同旁内角有2对:
∠4和∠7,∠2和∠5
技巧归纳:同位角是F形状;
内错角是Z形状;
同旁内角是U形状。

二、平行线的判定方法
 
如(1)如图,下列条件不能判定直线a∥b的是(  )
 
A. ∠1=∠2   B. ∠1=∠3   C. ∠1+∠4=180°   D. ∠2+∠4=180°
解:A. ∵∠1=∠2,∴a∥b(内错角相等,两直线平行);
B. ∵∠1=∠3,∴a∥b(同位角相等,两直线平行);
C. ∠1+∠4=180°与a、b的位置无关;
D. ∵∠2+∠4=180°,∴a∥b(同旁内角互补,两直线平行)。
故选C。
(2)图中有直线L截两直线L1、L2后所形成的八个角。由下列哪一个选项中的条件可判断L1∥L2(  )
 
A. ∠2+∠4=180°B. ∠3+∠8=180°C. ∠5+∠6=180°D. ∠7+∠8=180°
解:∵∠3+∠8=180°,而∠4+∠8=180°,
∴∠3=∠4,
∴L1∥L2。(内错角相等,两直线平行)。
故选B。
(3)如图,下列条件中能判定直线l1∥l2的是(  )
 
A. ∠1=∠2   B. ∠1=∠5   C. ∠1+∠3=180°D. ∠3=∠5
解:A. 根据∠1=∠2不能推出l1∥l2,故本选项错误;
B. ∵∠5=∠3,∠1=∠5,
∴∠1=∠3,
即根据∠1=∠5不能推出l1∥l2,故本选项错误;
C. ∵∠1+∠3=180°,
∴l1∥l2(同旁内角互补,两直线平行),故本选项正确;
D. 根据∠3=∠5不能推出l1∥l2,故本选项错误;
故选C。


例题1  如图,在△ABC中,D、E、F分别在AB、BC、AC上,且EF∥AB,要使DF∥BC,只需满足下列条件中的(  )
 

A. ∠1=∠2   B. ∠2=∠AFD   C. ∠1=∠AFD   D. ∠1=∠DFE
解析:要使DF∥BC,可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角,选项中∠1=∠DFE,根据已知条件可得∠1=∠2,所以∠DFE=∠2,满足关于DF、BC的内错角相等,则DF∥BC。
解:∵EF∥AB,∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等)。∵∠1=∠DFE,
∴∠2=∠DFE(等量代换),∴DF∥BC(内错角相等,两直线平行),所以只需满足下列条件中的∠1=∠DFE,故选D。
答案:D
点拨:解答此类要判定两直线平行的题,可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角。本题是一道探索性条件开放性题目,其中牵涉“等量代换”这一解题思想,能有效地培养学生“执果索因”的思维方式与能力。

例题2  如图所示,已知直线AB、CD被直线EF所截,如果∠BMN=∠DNF,∠1=∠2,那么MQ∥NP。为什么?
 
解析:由已知结合等式的性质,可得∠PNF=∠QMN,根据同位角相等,两直线平行可得MQ∥NP。
答案:证明:∵∠BMN=∠DNF,∠1=∠2(已知),∴∠BMN+∠1=∠DNF+∠2,即∠QMN=∠PNF ∴MQ∥NP(同位角相等,两直线平行)。
点拨:正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键,不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系,只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补,才能推出两被截直线平行。

例题3  如图所示,已知CD⊥DA,DA⊥AB,∠1=∠2。
(1)AB与CD平行吗?为什么?
(2)DF与AE平行吗?为什么?
 
解析:(1)根据垂直定义得出∠CDA=∠BAD=90°,根据平行线的判定推出即可;
(2)根据垂直定义得出∠CDA=∠BAD=90°,推出∠3=∠4,根据平行线的判定推出即可。
答案:解:(1)AB∥CD。理由是:∵CD⊥DA,DA⊥AB,∴∠CDA=∠BAD=90°,
∴CD∥AB;(2)DF∥AE,理由是:由(1)知,∠2+∠3=90゜,∠1+∠4=90゜,∵∠1=∠2,∴∠3=∠4,∴DF∥AE。
点拨:灵活选用平行线的判定的应用,以及等式的性质,正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是解题的首要条件。


正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键,不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系,只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补,才能推出两被截直线平行。找准第三条直线,如果两个角不是被同一条直线所截得到的,那一定不是同位角、内错角或同旁内角。
满分训练  如图,A、B、C和D、E、F分别在同一条直线上,且∠D=∠C,∠1=∠3
求证:∠A=∠F(要求:写出证明过程中的主要依据)
 
错解: 证明:∵∠C=∠D,
∴DF∥AC(内错角相等,两直线平行),
∴∠A=∠F(两直线平行,内错角相等)。
错解分析:
错解的错误在于没正确识别“三线八角”中的内错角,以致误用平行线的判定定理。
正解:
证明:∵∠1=∠3,
∴DB∥CE(同位角相等,两直线平行),
∴∠C=∠DBA(两直线平行,同位角相等),
∵∠C=∠D,
∴∠D=∠DBA(等量代换),
∴DF∥AC(内错角相等,两直线平行),
∴∠A=∠F(两直线平行,内错角相等)。


 
(答题时间:45分钟)
一、选择题
1. 如图,能判定EB∥AC的条件是(  )
 
A. ∠C=∠ABE   B. ∠A=∠EBD   C. ∠C=∠ABC   D. ∠A=∠ABE
2. 如图,将三个相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起,观察图形,在线段AB、AC、AE、ED、EC、DB中,相互平行的线段有(  )               
 
A. 4组   B. 3组   C. 2组   D. 1组
*3. 如图,给出了过直线外一点画已知直线的平行线的方法,其依据是(  )
 
A. 同位角相等,两直线平行
B. 内错角相等,两直线平行
C. 同旁内角互补,两直线平行
D. 两直线平行,同位角相等
**4. 学习了平行线后,小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法,她是通过折一张半透明的纸得到的(如图(1)~(4)),从图中可知,小敏画平行线的依据有(  )
①两直线平行,同位角相等;②两直线平行,内错角相等;
③同位角相等,两直线平行;④内错角相等,两直线平行。
 
A. ①②   B. ②③   C. ③④   D. ①④
**5. 如图,给出下列四个条件:①AC=BD;②∠DAC=∠BCA;③∠ABD=∠CDB;④∠ADB=∠CBD,其中能使AD∥BC的条件是(   )
 
A. ①②   B. ③④   C. ②④   D. ①③④

二、填空题.
6. 如图,请填写一个你认为恰当的条件________,使AB∥CD。
 
*7. 如图所示,请写出能判定CE∥AB的一个条件_________。
 
*8. 设a、b、l为平面内三条不同直线。①若a∥b,l⊥a,则l与b的位置关系是_______;②若l⊥a,l⊥b,则a与b的位置关系是_______ ;③若a∥b,l∥a,则l与b的位置关系是_______。
**9. 如图所示,用直尺和三角尺作直线AB、CD,从图中可知,直线AB与直线CD的位置关系为________。
 

三、解答题
10. 如图,一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC=120°,∠BCD=60°,这时说管道AB∥CD对吗?为什么?
 
11. 你知道潜水艇吗?它在军事上的作用可大呢。潜水艇下潜后,艇内人员可以用潜望镜来观察水面上的情况,如图①。其实它的原理非常简单,(如图②,潜望镜中的两个平面镜与水平方向的夹角都为45°,光线经过镜子反射时,∠1=∠2,∠3=∠4。你能解释为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行吗?
 
*12. 如图所示,如果两个角满足某种关系,就可以判断AE∥BF。请你将这样相关的角写出几组,并说明理由。
 
**13. 如图,直线AB与CE交于D,且∠1+∠E=180°。求证:AB∥EF。
 
**14. 当光线从空气中射入水中时,光线的传播方向发生了改变,即水中的光线与原来空气中的光线不在一条直线上,这是光线在水中的折射现象。同样,水中的光线射入空气中也会发生这种现象。如图所示,是光线从空气射入水中,再从水中射入空气中的示意图。由物理学知识知,∠1=∠4,∠2=∠3。请你用学过的知识来说明光线c与光线d是否平行。
 
 
 
1. D  解析:A和B中的角不是三线八角中的角;
C中的角是同一三角形中的角,故不能判定两直线平行。
D中内错角∠A=∠ABE,则EB∥AC。
故选D。
2. B  解析:∠B=∠DCE,则AB∥EC(同位角相等,两直线平行);
∠BCA=∠CAE,则AE∥DB(内错角相等,两直线平行);
∠ACE=∠DEC,则AC∥DE(内错角相等,两直线平行)。
互相平行的线有:AE∥DB,AB∥EC,AC∥DE,共三组。
故选B。
3. A  解析:∵∠1=∠2,
∴a∥b(同位角相等,两直线平行)。
故选A。
4. C  解析:由作图过程可知,∠1=∠2,为内错角相等;∠1=∠4,为同位角相等;
可知小敏画平行线的依据有:③同位角相等,两直线平行;④内错角相等,两直线平行。
故选C。
 
5. C  解析:①AC=BD,不能判断两直线平行,故错误;
②∠DAC=∠BCA,根据内错角相等,两直线平行可得AD∥BC,故正确;
③∠ABD和∠CDB是直线AB、CD被BD所截形成的内错角,故可得AB∥CD,故错误;
④∠ADB=∠CBD,根据内错角相等,两直线平行可得AD∥BC,故正确。
故选C。
6. ∠FCD=∠FAB(或∠CDA=∠DAB或∠BAC+∠ACD=180°)
解析:根据同位角相等,两条直线平行,可以添加∠FCD=∠FAB;
根据内错角相等,两条直线平行,可以添加∠CDA=∠DAB;
根据同旁内角互补,两条直线平行,可以添加∠BAC+∠ACD=180°。
7. ∠DCE=∠A(或∠ECB=∠B或∠A+∠ACE=180°)
解析:能判定CE∥AB的一个条件是:∠DCE=∠A或∠ECB=∠B或∠A+∠ACE=180°
8. l⊥b;a∥b;l∥b  解析:①根据如果一条直线和两条平行线中的一条垂直,那么它和另一条平行线也垂直,知l⊥b;
②根据垂直于同一条直线的两直线平行,知a∥b;
③根据平行于同一条直线的两直线平行,知l∥b。
9. 平行  解析:根据题意,∠1与∠2是三角尺的同一个角,
所以∠1=∠2,
所以,AB∥CD(同位角相等,两直线平行)。
故答案为:平行。
 
10. 解:说管道AB∥CD是对的。
理由:∵∠ABC=120°,∠BCD=60°
∴∠ABC+∠BCD=180°
∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行)。
11. 解析:∵∠1=∠2=45°,∠3=∠4=45°,
∴∠5=180°-45°×2=90°,
∠6=180°-45°×2=90°,
∴∠5=∠6,
故进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的。
12. 解析:满足条件的两个角有:
①∠B=∠7(内错角相等,两直线平行);
②∠B=∠6(同位角相等,两直线平行);
③∠B+∠BAE=180°(同旁内角互补,两直线平行);
④∠1=∠5(内错角相等,两直线平行);
⑤∠1+∠CAG=180°(同旁内角互补,两直线平行);
⑥∠3=∠E(内错角相等,两直线平行);
⑦∠BCE+∠E=180°(同旁内角互补,两直线平行);
⑧∠ACF=∠CAG(内错角相等,两直线平行);
⑨∠ACF+∠5=180°(同旁内角互补,两直线平行)。
13. 证明:方法一:∵∠1+∠E=180°,∠1=∠4,
∴∠4+∠E=180°,
∴AB∥EF;
方法二:∵∠1+∠E=180°,∠1+∠2=180°
∴∠2=∠E,
∴AB∥EF;
方法三:∵∠1+∠E=180°,∠1+∠3=180°,
∴∠3=∠E,
∴AB∥EF。
14. 解:c∥d,
理由:∵∠1+∠5=180°,∠4+∠6=180°,
又∵∠1=∠4,
∴∠5=∠6,
∵∠2=∠3,
∴∠2+∠5=∠6+∠3,
∴c∥d。

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