青岛版八年级数学上册利用三角形知识解决问题专题突破讲练试题

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青岛版八年级数学上册利用三角形知识解决问题专题突破讲练试题

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莲山 课件 w ww.5 Y
K J.CO
M

利用三角形知识解决问题
 
一、综合掌握三角形各种性质、定理
1. 三角形中的重要性质、定理:
三种重要线段 高、角平分线、中线 作用:高垂直对边、角平分线平分的角相等,中线平分对边
三角形三边的关系 任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边。 三角形中,两边长分别是3、5,则周长的取值范围是多少?
三角形的内角和、外角和 内角和180度,外角和360度 一内角为80度,请判断该三角形的形状?
2. 建立相应的数学思想
(1)方程思想的应用。列方程解决三角形中相关的角和面积的问题。
(2)分类讨论的思想。根据题目分类别讨论可能发生的不同情况。
(3)转化的思想。将复杂图形转化成简单图形求解。
(4)由特殊到一般的思想。总结规律性的内容。

二、关于辅助线的运用
目前所学添加的辅助线主要有两种:
1. 作平行线,利用平行关系求角度。如三角形内角和定理的证明。
 
2. 构造三角形,利用内、外角关系解题。如图,∠A=α,∠B=40°,∠C=20°,∠O =4α,则α=    度。可延长BO与AC相交,将问题转化为三角形的问题。
 
方法归纳:内、外角关系的知识点应注意以下几点:
(1)使用方程和不等式辅助解题的时候,以下注意计算的准确性以及根据比例或倍数所设的未知数间的倍数关系。
(2)各个性质及定理在使用的时候要抓住定理的关键点,比如外角关系中重要的是“不相邻”、多边形的定义要强调“在同一平面内”。
(3)数学思想的建立也不是一两节课、一两道题所能形成的,要通过不断的练习和总结,同学们才能形成这种基本思想。
技巧归纳:
总结规律类习题 注意探究前面所形成的数字或图形的规律,找到相同点,此为规律中的共同内容,不同点则要寻找变化规律。
分类讨论类习题 多方位考虑问题,画出明确图形,选择正确结果,
总结结论类习题 注意研究前面含有具体数据的结论是否有变化,再总结最终结论。
求较复杂图形中多个角的度数和的问题。
总结:1. 认真审题,充分理解各定义、性质、定理,通过已知条件寻找与所学知识的联系。
  2. 灵活运用辅助关系,恰当添加辅助线,将复杂图形转化为所学内容进行解题。
   
 
例题1  如图,平原上有A、B、C、D四个村庄,为解决当地缺水问题,政府准备投资修建一个蓄水池,不考虑其他因素,请你画图确定蓄水池H点的位置,使它与四个村庄的距离之和最小。
 
解析:水池只有建在四边形ACBD对角线的交点处才符合要求,取任意一点P,由三角形任意两边之和大于第三边可推导出结论。
答案:解:连接AC、BD交点即为所求H点,任取一点P,连接AP、CP、DP、BP,则AP+CP>AC,BP+DP>BD,当P在AC、BD交点时,到四个顶点距离和最小。即H点在AC、BD的交点时,它与四个村庄距离之和最小。
点拨:本题是三角形三边关系在实际生活中的应用,注意最小距离和的条件。

例题2  已知a,b,c是△ABC的三条边,化简下列式子|a-b-c|-|a+b-c|+|a-b+c|=      。
解析:要化简式子|a-b-c|-|a+b-c|+|a-b+c|的值,就要知道它们的绝对值里的数是正数还是负数,根据三角形三边的关系:任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边可知。
答案:解:∵a-b-c<0,a+b-c>0,a-b+c>0。
∴|a-b-c|-|a+b-c|+|a-b+c|
=-(a-b-c)-(a+b-c)+(a-b+c)
=3c-a-b。
故答案为:3c-a-b
点拨:本题考查了三角形的三边关系,任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,难度适中。

 
1. 由特殊值总结结论型习题
总结结论类的习题一般题目前面会给我们一定的特殊值进行计算,然后根据多个不同数值的计算,总结出一般性的结论。注意掌握:
(1)利用所学知识点通过数据进行基本计算,将不同数据的计算结论相比较,从中寻找一般性的结论;
(2)结论的说明过程,也就是将前面的计算过程中数据的具体值转换成字母表示。
(3)总结出的一般性结论,可以用来作为公式或定理使用,推广到同类习题的填空、选择习题中使用。
例题 如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,P为线段AD上的一个点。PE⊥AD交直线BC的延长线于点E。
(1)若∠B=30°,∠ACB=70°,则∠ADC=        度,∠E=          度;
(2)若∠B=58°,∠ACB=102°,则∠ADC=         度,∠E=       度;
(3)若∠B=m°,∠ACB=n°,且n>m,请用含m、n的式子表示∠ADC、∠E的度数。(写出结论即可,不需要证明)
 
解析:(1)由AD平分∠BAC,得到∠BAD=∠CAD= ∠BAC,根据三角形的内角和定理求出 ∠BAC的度数,根据角平分线的定义求出∠BAD的度数,根据三角形的外角性质得到∠ADC的度数,根据三角形的内角和定理即可求出∠E的度数;
(2)和(3)的解法与(1)的求法类似,即可求出答案。
答案:解:
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC,
(1)∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°,
∵∠B=30°,∠ACB=70°,
∴∠CAB=80°,
∴∠BAD= ×80°=40°,
∴∠ADC=∠B+∠BAD=30°+40°=70°,
∵PE⊥AD,
∴∠DPE=90°,
∴∠E=90°-70°=20°,
故答案为:70,20。
(2)∵∠B=58°,∠ACB=102°,与(1)解法类似求出∠ADC=68°,∠E=22°,故答案为:68,22。
(3)∠ADC的度数是 ,∠E的度数是 。

2. 运动变化型习题
本类习题是将习题的图形进行不同位置的改变,图形本身所具有的基本已知条件发生一定的改变,但结论不随图形的变化而变化,不要被图形的位置变化所影响,应做到以下几点:
1. 认真读题,弄清习题的条件和要求。
2. 充分联想回忆所学过的知识和题型,看和我们掌握的哪部分内容有关系。
3. 从各个不同的角度分析题意,不要被运动变化所影响。
4. 适当的添加辅助元素。
例题(1)如图1,有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上,恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C、△ABC中,∠A=40°,则∠ABC+∠ACB=     度,∠XBC+∠XCB=    度;
    (2)如图2,改变(1)中直角三角板XYZ的位置,使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过点B、C,那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化?若变化,请举例说明;若不变化,请求出∠ABX+∠ACX的大小。
 
解析:(1)在△ABC中,利用三角形的内角和等于180°,可求∠ABC+∠ACB=180°-∠A,即可求出∠ABC+∠ACB;同理,在△XBC中,∠BXC=90°,那么∠XBC+∠XCB=180°-∠BXC,即可求出∠XBC+∠XCB的值;
(2)不发生变化,由于在△ABC中,∠A=40°,从而∠ABC+∠ACB是一个定值,即等于140°,同理,在△XBC中,∠BXC=90°,那么∠XBC+∠XCB也是一个定值,即等于90°,于是∠ABX+∠ACX的值也不变,等于140°-90°=50°;
答案:(1)140,90。
解:(2)不发生变化。
∵∠A=40°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°,(三角形内角和等于180°)
∵∠YXZ=90°,
∴∠XBC+∠XCB=90°,(三角形内角和等于180°)
∴∠ABX+∠ACX=140°-90°=50°。

 
(答题时间:45分钟)
一、选择题
1. 在一个三角形中(  )
A. 一定有一个角等于60° 
B. 一定有一个角大于60°
C. 一定有一个角小于60°        
D. 至少有一个角不小于60°
2. 如图长方形中的阴影部分,左边的面积(  )右边的面积.
A. >    B. <    C. =    D. 无法确定
 
*3. 如图,把△ABC纸片沿DE折叠,当点A落在四边形BCED的外部时,则∠A与∠1、∠2之间保持一种数量关系始终不变,请试着找一找这个规律,你发现的规律是(   )
A. ∠A=∠1-∠2   B. 2∠A=∠1-∠2  
C. 3∠A=2∠1-∠2   D. 3∠A=2(∠1-∠2)
 
**4. 三角形内部有2013个点,将这2013个点与三角形的三个顶点连接,将三角形分割成互不重叠的三角形共有(  )个。
A. 2014     B. 4026     C. 4027     D. 4028
**5. 如图,AB∥CD, OE平分∠BOC,OF⊥OE,PO⊥CD,∠ABO=40°,则下列结论: ①∠BOE=70°; ②OF平分∠BOD;③∠POE=∠BOF;④∠POB=2∠DOF。其中结论正确的有(   )
    A. ①②③④        B. ①②③         C. ①③④         D. ①②④
 

二、填空
*6. 如图,∠ABD、∠ACD的角平分线相交于点P,若∠A=50°,∠D=10°,则∠P的度数为    。
 
*7. 如图,在△ABA1中,∠B=20°,∠A =∠A A1B,在A1B上取一点C,延长AA1到A2,使得∠A1A2C=∠A1C A2;在A2C上取一点D,延长A1A2到A3,使得∠A2A3D=∠A2D A3;…,按此做法进行下去,则∠An的度数为 _________。
 
**8. 将图中三角形纸片按照虚线方向折叠,原三角形面积是这个图形面积的1.5倍。已知图中三个阴影三角形面积之和为1,那么原来三角形的面积是      。
 

三、解答题
9. 如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=25°,D是AB上一点。将Rt△ABC沿CD折叠,使B点落在AC边上的B′处,求∠ADB′是多少度?
 
*10. 探究:
(1)如图①∠1+∠2与∠B+∠C有什么关系?为什么?
(2)把图①△ABC沿DE折叠,得到图②,
填空:∠1+∠2_______∠B+∠C(填“>”“<”“=”),
当∠A=40°时,∠B+∠C+∠1+∠2=_________。
(3)如图③,是由图①的△ABC沿DE折叠得到的,
如果∠A=30°,则x+y=360°-(∠B+∠C+∠1+∠2)=360°-      =      ,猜想∠BDA+∠CEA与∠A的关系为       。
    
①     ②     ③
**11. 如图,O是△ABC的三条角平分线的交点,OG⊥BC,垂足为G。
    (1)猜想:∠BOC与∠BAC之间的数量关系,并说明理由;
    (2)∠DOB与∠GOC相等吗?为什么?
 
**12. 如图1,在平面直角坐标系中,△AOB是直角三角形,∠AOB=90°,斜边AB与y轴交于点C。
(1)若∠A=∠AOC,求证:∠B=∠BOC;
(2)如图2,延长AB交x轴于点E,过O作OD⊥AB,若∠DOB=∠EOB,∠A=∠E,求∠A的度数;
(3)如图3,OF平分∠AOM,∠BCO的平分线交FO的延长线于点P,∠A=40°,当△ABO绕O点旋转时(斜边AB与y轴正半轴始终相交于点C),问∠P的度数是否发生改变?若不变,求其度数;若改变,请说明理由。
 

 
 
1. D  解析:A. 不一定,例如:90°,45°,45°;B. 有可能是两个,例如:70°,70°,40°;C. 不一定,例如:60°,60°,60°;D. 正确。故选D。
2. C  解析:两个阴影部分加上下面的空白三角形是同底等高的两个三角形,面积相等。
3. B  解析:连接AA'  ∠DAE=∠DA'E(它们是同一个角),∠2=∠EA'A+∠EAA',∠1=∠BAA'+∠DA'A=∠DA'E+∠EA'A+∠DAE+∠EAA'=2∠DAE+∠2=2∠A+∠2,即2∠A=∠1-∠2。
4. C  解析:因为此题点数较多,这就要求我们寻找规律,可以通过画图来寻找规律:
通过画图发现,当点数为1时,三角形的个数为3;当点数为2时,三角形的个数为5;当点数为3时,三角形的个数为7,……,当点数为n时,三角形的个数为2n+1。
画图如下:
 
    (1)图①中,当△ABC内只有1个点时,可分割成3个互不重叠的小三角形。(2)图②中,当△ABC内只有2个点时,可分割成5个互不重叠的小三角形。(3)图③中,当△ABC内只有3个点时,可分割成7个互不重叠的小三角形。(4)根据以上规律,当△ABC内有n(n为正整数)个点时,可以把△ABC分割成(2n+1)个互不重叠的三角形。因此,三角形内部有2013个点时,可将三角形分割成互不重叠的三角形的个数为:2n+1=2×2013+1=4027(个)。故选C。
5. B  解析:根据垂直定义、角平分线的性质、直角三角形的性质求出∠POE、∠BOF、∠BOD、∠BOE、∠DOF等角的度数,即可对①②③④进行判断。
解:①∵AB∥CD,∴∠BOD=∠ABO=40°,∴∠COB=180°-40°=140°,又∵OE平分∠BOC,∴∠BOE= ∠COB= ×140°=70°。
②∵PO⊥CD,∴∠POD=90°,又∵AB∥CD,∴∠BPO=90°,又∵∠ABO=40°,∴∠POB=90°-40°=50°,∴∠BOF=∠POF-∠POB=70°-50°=20°,∠FOD=40°-20°=20°,∴OF平分∠BOD。
③∵∠EOB=70°,∠POB=90°-40°=50°,∴∠POE=70°-50°=20°,又∵∠BOF=∠POF-∠POB=70°-50°=20°,∴∠POE=∠BOF。④由②可知∠POB=90°-40°=50°,∠FOD=40°-20°=20°,故∠POB≠2∠DOF。故选B。
6. 20°  解析:利用角平分线的性质计算。延长DC,与AB相交于点E。根据三角形的外角等于不相邻的两内角和,可得∠ACD=50°+∠AEC=50°+∠ABD+10°,整理得∠ACD-∠ABD=60°。设AC与BP相交于点O,则∠AOB=∠POC,∴∠P+ ∠ACD=∠A+ ∠ABD,即∠P=50°- (∠ACD-∠ABD)=20°。
 
7.    解析:∵在△ABA1中,∠B=20°,∠A=∠AA1B,
∴∠BA1A= = =80°,∵∠A1A2C=∠A1CA2,∠BA1A是△A1A2C的外角,∴∠CA2A1= = =40°;同理可得,∠DA3A2=20°,∠EA4A3=10°,
∴∠An= 。故答案为: 。
8. 3  解析:设折叠后空白部分的面积是s,则折叠后图形的面积=s+s阴影,折叠前的三角形的面积=2s+s阴影,∵原三角形面积是折叠后图形面积的1.5倍,∴2s+s阴影=1.5(s+s阴影),∴s=1,∴s△=2s+s阴影=2+1=3。
9. 解:∵在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=25°,∴∠B=90°﹣25°=65°, 
∵△CDB′由△CDB反折而成, ∴∠CB′D=∠B=65°,
∵∠CB′D是△AB′D的外角,∴∠ADB′=∠CB′D﹣∠A=65°﹣25°=40°。
10. 解:(1)根据三角形的内角和是180°,可知:∠1+∠2=180°-∠A,∠B+∠C=180°-∠A,∴∠1+∠2=∠B+∠C;
(2)∵∠1+∠2+∠BDE+∠CED=∠B+∠C+∠BDE+∠CED=360°,
∴∠1+∠2=∠B+∠C;
当∠A=40°时,∠B+∠C+∠1+∠2=140°×2=280°;
(3)如果∠A=30°,则∠BDA+∠CEA=360°-(∠B+∠C+∠1+∠2)=360°-300°=60°,
∴∠BDA+∠CEA与∠A的关系为:∠BDA+∠CEA=2∠A。
11. 解:(1)∠BOC=90°+ ∠BAC
∵AD、BE、CF是角平分线,∴∠OBC+∠OCB= (∠ABC+∠ACB)= (180°-∠BAC)=90°- ∠BAC
∴∠BOC=180°-(90°- ∠BAC)=90°+ ∠BAC
(2)∠DOB与∠GOC相等,理由如下:
∠DOB=∠EBA+∠BAD,
∠DOB= (∠ABC+∠BAC)(角平分线)
 
 ∠GOC=180°-90°-∠OCG,
 ∠BOD=∠COG
12. (1)证明:∵△AOB是直角三角形,∴∠A+∠B=90°,∠AOC+∠BOC=90°,
∵∠A=∠AOC,∴∠B=∠BOC;
(2)解:∵∠A+∠ABO=90°,∠DOB+∠ABO=90°,∴∠A=∠DOB,
又∵∠DOB=∠EOB,∠A=∠E,∴∠DOB=∠EOB=∠OAE=∠OEA,
∵∠DOB+∠EOB+∠OEA=90°,∴∠A=30°;
(3)∠P的度数不变,∠P=25°。理由如下:
∵∠AOM=90°-∠AOC,∠BCO=∠A+∠AOC,又∵OF平分∠AOM,CP平分∠BCO,
∴∠FOM=45°- ∠AOC ①,∠PCO= ∠A+ ∠AOC ②,①+②得:
∠PCO+∠FOM=45°+ ∠A,∴∠P=180°-(∠PCO+∠FOM+90°)
=180°-(45°+ ∠A+90°)=180°-(45°+20°+90°)=25°。

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