青岛版八年级数学上册专题突破讲练:解惑轴对称及作轴对称图形试题

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青岛版八年级数学上册专题突破讲练:解惑轴对称及作轴对称图形试题

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件 w w w.5 Y K
j.Co M

解惑轴对称及作轴对称图形


一、轴对称的重要内容梳理
1. 轴对称与轴对称图形
轴对称 有一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称。
轴对称图形 如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形。
2. 二者的区别与联系
区别:(1)轴对称是指两个图形间的位置关系,轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形;
(2)轴对称涉及两个图形,轴对称图形是对一个图形而言的。
联系:(1)定义中都有一条直线,都要沿着这条直线折叠重合;
(2)如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分(即看成两个图形),那么这两个图形就关于这条直线成轴对称;反过来,如果把成轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形。

二、坐标平面内的轴对称
1. 点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为( );
2. 点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为( );
3. 点(x,y)关于原点对称的点的坐标为(-x,-y)。
总结:关于哪个轴对称,哪个坐标值不变;关于原点对称,则坐标互为相反数。
【拓展】
关于坐标轴夹角平分线对称 点P(x,y)关于第一、三象限坐标轴夹角平分线对称的点的坐标是(y,x)
点P(x,y)关于第二、四象限坐标轴夹角平分线对称的点的坐标是(-y,-x)
关于平行于坐标轴的直线对称 点P(x,y)关于直线x=m对称的点的坐标是(2m-x,y)
点P(x,y)关于直线y=n对称的点的坐标是(x,2n-y)


例题1  如图,由四个小正方形组成的田字格中,△ABC的顶点都是小正方形的顶点。在田字格上画与△ABC成轴对称的三角形,且顶点都是小正方形的顶点,则这样的三角形(不包含△ABC本身)共有(  )
 
A. 1个        B. 2个        C. 3个        D. 4个
解析:先把田字格图标上字母,如下图,确定对称轴找出符合条件的三角形,再计算个数。
答案:△HEC关于CD对称;△FDB关于BE对称;△GED关于HF对称;关于AG对称的是它本身。所以共3个。故选C。
 
点拨:利用轴对称的性质,确定对称轴然后找出成轴对称的三角形是解题的关键。

例题2  已知平面直角坐标系中一点P(2x-y,3x+2y),先将它关于x轴作一次轴对称变换,再关于y轴作一次轴对称变换,最终得到的点为(-3,-8),求点Q(x,y)的坐标。
解析:关于x轴作一次轴对称变换,纵坐标变成相反数;关于y轴作一次轴对称变换,横坐标变成相反数。因此,经过两次变换后,横坐标与纵坐标均变为相反数,即2x-y=3且3x+2y=8,解得x、y的值即得Q点坐标。
答案:由题意,得2x-y=3且3x+2y=8,解得x=2,y=1,所以点Q的坐标为(2,1)。
点拨:本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标。解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律。


1. 平面直角坐标系中图形的对称变化
平面直角坐标系中图形的对称变化是中考的重点内容,主要考查基本作图、对称的理解、相关图形面积的计算。解题的关键是找出图形运动变化的关键点,根据不同的对称要求作出关于网格中的对称图形。
例题  如图,在正方形网格上有一个△DEF。
(1)作△DEF关于直线HG的轴对称图形;
(2)作△DEF的EF边上的高;
(3)若网格上的最小正方形边长为1,求△DEF的面积。
 
解析:(1)根据网格结构找出点D、E、F关于直线HG的对称点D′、E′、F′的位置,然后顺次连接即可;
(2)根据网格结构以及EF的位置,过点D作小正方形的对角线,与FE的延长线相交于H,DH即为所求作的高线;
(3)DE为底边,点F到DE的距离为高,根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解。
答案:(1)如图所示,△D′E′F′即为所求作的△DEF关于直线HG的轴对称图形;
(2)如图所示,DH为EF边上的高线;(3)如图所示,DE=3,△DEF的高=2,∴△DEF的面积= ×3×2=3。
 

2. 轴对称的对称规律总结
利用轴对称的规律,作循环往复的变化,寻找变化中的固定规律,关键是理解关于点的坐标的对称性质。
例题  如图所示,在平面直角坐标系中,一颗棋子从点P处开始依次关于点A,B,C作循环对称跳动,即第一次从点P跳到关于点A的对称点M处,第二次从点M跳到关于点B的对称点N处,第三次从点N跳到关于点C的对称点处,……如此下去。
 
(1)在图中标出点M,N的位置,并分别写出点M,N的坐标:       、________。
(2)请你依次连接M、N和第三次跳后的点,组成一个封闭的图形,并计算这个图形的面积;
(3)猜想一下,经过第2013次跳动之后,棋子将落到什么位置。
解析:(1)点P关于点A的对称点M,即是连接PA延长到M使PA=AM,利用全等性质可知M的坐标是M(-2,0),点M关于点B的对称点N处,即是连接MB延长到N使MB=BN,同理N的坐标是N(4,4);(2)根据题意画出这个封闭图形,然后利用各点的坐标和全等可判断出所得的三角形各点坐标,从而可求出面积;(3)棋子跳动3次后又回点P处,所以经过第2013次跳动后,棋子落在点P处,然后可得出第2013次跳动之后,棋子的位置。
 
答案:(1)M(-2,0),N(4,4);
(2)所得的三角形为△PMN,过点M、N、P作垂线,构成四边形:
∴S△PMN=6×6-2×2× -4×6× -4×6× =10;
(3)棋子跳动3次后又回点P处,所以经过第2013次跳动后,棋子落在点P处,∴经过第2013次跳动之后,棋子将落P的位置。


(答题时间:45分钟)
一、选择题
1. 数学在我们的生活中无处不在,就连小小的台球桌上都有数学问题,如图所示,∠1=∠2,若∠3=30°,为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中,那么击打白球时,必须保证∠1为(  )
 
A. 60°   B. 30°   C. 45°   D. 50°
2. 平面直角坐标系中的点P(2-m, m)关于x轴的对称点在第四象限,则m的取值范围在数轴上可表示为(  )
A.          B.  
C.          D. 
*3. 甲乙两位同学用围棋子做游戏。如图所示,现轮到黑棋下子,黑棋下一子后白棋再下一子,使黑棋的5个棋子组成轴对称图形,白棋的5个棋子也成轴对称图形。则下列下子方法不正确的是(  )[说明:棋子的位置用数对表示,如A点在(6,3)]
 
A. 黑(3,7);白(5,3)    B. 黑(4,7);白(6,2)
C. 黑(2,7);白(5,3)    D. 黑(3,7);白(2,6)
**4. 如图,8×8方格纸的两条对称轴EF,MN相交于点O,图a到图b的变换是(  )
 
A. 绕点O旋转180°    
B. 先向上平移3格,再向右平移4格
C. 先以直线MN为对称轴作轴对称,再向上平移4格
D. 先向右平移4格,再以直线EF为对称轴作轴对称
**5.(滨湖区一模)如图,在2×2的正方形网格中,有一个格点△ABC(阴影部分),则网格中所有与△ABC成轴对称的格点三角形的个数为(  )
 
A. 2个    B. 3个    C. 4个    D. 5个
**6. 如图,点A和点B相距60cm,且关于直线 对称,一只电动青蛙在距直线20cm,距点A为50cm的点P1处,按如下顺序循环跳跃,最后青蛙与直线 相距20cm,则青蛙可能跳跃了(  )次。
 
A. 2011    B. 2010    C. 2009    D. 2006

二、填空
*7. 医生检查视力时,经常让被查人通过对面的镜子观察自己上方的一张视力表(人从镜子看到的是视力表的虚像),若需测被查人在5米距离的视力时,视力表和镜子的距离是______米。
**8. 在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放,移动其中一个正方形到空白方格中,与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形,这样的移法共有          种。
 
**9. 四个单位正方形以边对边方式相连接而成,可以拼成如图的五种不同形状。用一个“L”形(图中第一个)分别与其余四个中的一个拼成轴对称图形,所有的可能共有      种。
 
**10. 如图所示,在△ABC中,BC=8cm,△ACE是轴对称图形,直线ED是它的对称轴。若△BCE的周长为18cm,那么AB=       cm。
 
**11. 试确定如图所示的正多边形的对称轴的条数,一般地,一个正n边形有多少条对称轴?
 
正多边形边数 3 4 5 6 7 8
对称轴条数      
根据上表,可以猜想得到:一个正n边形有对称轴              条。

三、解答题
*12. 如图所示,△COB是由△AOB经过某种变换后得到的图形,观察点A与点C的坐标之间的关系,解答下列问题:
 
(1)若点M的坐标为(x、y),则它的对应点N的坐标为      。
(2)若点P(a,2)与点Q(-3,b)关于x轴对称,求代数式
 的值。
**13. 如图,平面直角坐标系中,A(0,x)、B(y,0)、C(z,0),在B、C两点各有一个平面镜,其中在B点的平面镜沿x轴方向,从P点发射两条光线PA、PB,反射光线BD经A点和反射光线CD相交。(1)若x、y、z满足(2x+y-1)2+|y+z-1|=-(z-2)2,求△ABC的面积;(2)若两条入射光线PA、PB的夹角(∠BPC)为28°,要想让两条反射光线BD、CD的夹角(∠BDC)为36°,问平面镜MN与x轴夹角的度数是多少。
 
**14. 如图,已知∠AOB=25°,把∠AOB绕顶点O按逆时针旋转55°到∠MON,点C、D分别是OB、OM上的点,分别作C点关于OA、ON的对称点E、F,连接DE、DF。
(1)求∠ECF的度数;(2)说明DE=DF的理由。
 
 
 
1. A  解析:∵台球桌四角都是直角,∠3=30°,∴∠2=60°,∵∠1=∠2,∴∠1=60°,故选A。
2. B  解析:根据题意得:2−m>0   m>0,解得:0<m<2。故选B。
3. C  解析:A. 若放入黑(3,7);白(5,3),则此时黑棋是轴对称图形,白棋也是轴对称图形,故本选项不符合题意;B. 若放入黑(4,7);白(6,2),则此时黑棋是轴对称图形,白棋也是轴对称图形,故本选项不符合题意;C. 若放入黑(2,7);白(5,3),则此时黑棋不是轴对称图形,白棋是轴对称图形,故本选项正确;D. 若放入黑(3,7);白(6,2),则此时黑棋是轴对称图形,白棋也是轴对称图形,故本选项不符合题意;故选C。
4. D  解析:A. 绕点O旋转180°,两条对称轴EF,MN不可能相交于点O,与已知矛盾,故此选项错误;B. 平移后的图形与b形状不同,故此选项错误;C. 先以直线MN为对称轴作轴对称,其中平移后与b形状不同,故此选项错误;D. 先向右平移4格,再以直线EF为对称轴作轴对称,故此选项正确。故选D。
5. D  解析:如图,与△ABC成轴对称的格点三角形有△ACD、△AEF、△BEH,△GHC,△CDB共5个,故选D。
 
6. A  解析:根据题意可知,P1,P2,P3,P4是一个循环,又因为最后青蛙与直线 相距20cm,可知青蛙应在P1或P4点,故其跳跃次数除以4的余数为0或3,2011÷4=502余3。故选A。
7. 2.5  解析:∵被查人与虚像的距离为5米,∴人与镜子的距离=视力表与镜子的距离=5÷2=2.5米,故答案为2.5。
8. 13  解析:如图所示:
                   
                 
故一共有13种移法。
9. 4  解析:将“L”形分别与各图形组合,能满足组合后是轴对称图形的有:
 ,共4种。
10. 10  解析:∵△ACE是轴对称图形,直线ED是它的对称轴,∴AE=CE,∴AE+BE=CE+BE,∵△BCE的周长等于18cm,BC=8cm,∴AE+BE=CE+BE=10(cm),∴AB=10cm。
11. 解析:如图所示:
 
正多边形边数 3 4 5 6 7 8
对称轴条数 3 4 5 6 7 8
根据上表,可以猜想得到:一个正n边形有对称轴n条。
12. 解:(1)由图象知点M和点N关于x轴对称,∵点M的坐标为(x、y),∴点N的坐标为(x,-y);
(2)∵点P(a,2)与点Q(-3,b)关于x轴对称,∴a=-3,b=-2,
∴ =
 = = = 。
13. 解:(1)因为等式(2x+y-1)2+|y+z-1|=-(z-2)2成立,所以有下列三元一次方程组: 解得:
即:A、B、C三点的坐标为A(0,1);B(-1,0);C(2,0)。所以S△ABC= BC×AO= (|-1|+2)×1=1.5;(2)在△ABC中,因为AO⊥BC,AO=BO,所以∠BAO=∠OBA=45°,∠AOC=90°,∠PBA=180°-2×45°=90°,∠PAB=90°-28°=62°,所以∠OAC=180°-45°-62°=73°,∠ACD=180°-36°-62°=82°,由∠ABD=82°可知:∠ACM= (180°-82°)=49°,据三角形内角和定理和∠OAC=73°可知:∠ACO=180°-90°-73°=17°,所以∠BCM=∠ACM-∠ACO=49°-17°=32°,即:平面镜MN与x轴夹角的度数为32°。
14. 解:(1)∵C点关于OA、ON的对称点分别为E、F,∴OA、ON分别是EC、CF的垂直平分线,∵∠CON=55°+25°=80°,∴∠OCE=90°-∠COA=65°,∠OCF=90°-∠CON=10°,∴∠ECF=∠OCE+∠OCF=100°。(2)连接OE、OF,由(1)知,OA、ON分别是EC、CF的垂直平分线,∴OE=OC=OF,由对称性知:∠EOA=∠AOB=25°,∠NOF=∠NOB=55°,∴∠EOD=∠FOD=80°,在△OED与△OFD中,OE=OF,∠EOD=∠FOD,OD=OD,∴△OED≌△OFD(SAS),∴DE=DF。
 

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