八年级数学上册专题突破讲练分式中的特殊运算试题(青岛版含答案)

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八年级数学上册专题突破讲练分式中的特殊运算试题(青岛版含答案)

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分式中的特殊运算

 
一、分式的混合运算
分式的混合运算关键是弄清运算顺序,与分数的加、减、乘、除混合运算一样,先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号先算括号里面的,计算结果要化为整式或最简分式。
归纳:
①运算过程中,要注意运算顺序,在没括号的情况下,按从左向右的方向,先算乘方,再算乘除,最后算加减。有括号的要先算小括号,再算中括号,最后算大括号的顺序运算;
②分子或分母的系数是负数时,要把“-”转化为分式本身的符号;
③在解题过程中,要掌握“1”的使用技巧,“1”可以化成任意一个分子、分母相同的分式。

二、分式运算中常用的方法
分式运算是以分式的性质为基础,根据分式的结构特征,通过适当的变形、转化、运用适当方法就会使运算过程变得容易,起到事半功倍的效果。
1. 改变“运算符号”
对于两个分母互为相反数的分式相加减,只须把其中一个分式分母的运算符号提出来,变成同分母分式进行相加减即可。
如:
2. 拆分法
有些分式的分母具有一定的规律,我们可以把它拆分成两个分式相减的形式,用来简化运算。
如:
3. 换元法
对于有些分式的分子和分母都含有多项式,并且这些多项式大多相同,这时我们可以把每一个多项式看成一个整体,用一个简单的字母来代替它进行运算,起到简化运算的效果,最后不要忘记再替换过来。
4. 因式分解法
对有些分式的分母是多项式时,直接运算会很繁琐,通常为了简化运算,我们可以把这些多项式进行因式分解,找出规律约分,起到简化运算的效果。
如: =
总之,分式运算方法有多种,在分式的实际运算中,我们要认真观察,反复思考,不断地归纳,寻找规律,以便能准确迅速计算出结果。

 
例题1  计算
解析:本题我们如果直接去计算,计算量是很大的。从题中我们可以看到分式的分子和分母中都含有 ,因此我们可以用换元法,用字母x,y来代替它们简化运算,大大的提高了运算速度,最后不要忘记再替换回来。
答案:解:设 ,则xy=1,于是
原式= 
 
所以原式=

例题2  设 、b、c均为正整数,若 < < ,则 、b、c的大小是         。
解析:首先根据 、b、c均为正整数,确定 +b、b+c、 +c、 +b+c也为正整数,再通过 < < 分为 < 、 < 、 < 分别通分,因式分解,判断出b>c、b> 、 >c,综合得出b> >c。
答案:∵ 、b、c均为正整数,∴ +b、b+c、 +c、 +b+c也为正整数,
∵ < < ,
∴① < ,
⇒c2+ c<b2+ b,
⇒b2-c2+ b- c>0,
⇒(b-c)(b+c)+a(b-c)>0
⇒(b-c)( +b+c)>0,
⇒b>c,
② < ,
⇒ c+ 2<b2+bc,
⇒b2- 2+bc- c>0,
⇒(b+ )(b- )+c(b- )>0,
⇒(b- )( +b+c)>0,
⇒b> ,
③ < ,
⇒ 2+ b>bc+c2,
⇒ 2+ b-bc-c2>0,
⇒( +c)( -c)+b( -c)>0,
⇒( -c)( +b+c)>0,
⇒ >c,
综上,c< <b。
点拨:我们运用因式分解法,把分式进行因式分解后可以进行约分,大大地简化了分式,提高了运算的速度。

 
巧用拆分法解决规律问题
分式的混合运算、分式的加减运算关键是通分,通分的关键是找最简公分母;分式的乘除运算关键是约分,约分的关键是找公因式,约分时分子分母出现多项式,应先将多项式分解因式再约分.同时注意最后结果应为最简分式。
例题  用你发现的规律解答下列问题。
 1- , = - ,  - …
(1)计算 + + + + =               。
(2)探究 + + +…+ =              。(用含有n的式子表示)
(3) + + +…+ 的值为 ,n=            。
解析:根据所给的等式可得 = - ,据此可求出(1)、(2)的值;
(3)依据 = ( - )先展开,再合并,可化简(3)式,求出的结果等于 ,进而可求n。
答案:解:(1)原式=1- + - +…+ - =1- = ;
(2)原式=1- + - +…+ - =1- = ;
(3)原式= ×(1- + - +…+ - )= ×(1- )= ,
根据题意可得: = ,解得n=17。
故答案为:(1) ;  (2) ;  (3)17。

 
一、选择题
1. 化简 的结果是(    )
A.        B.      C.       D. 
2. 化简 的结果是(    )
A. 0      B. 1      C. -1      D. 
3. 化简 的结果是(    )
A.        B.      C.      D. y
*4. 已知x为整数,且 为整数,则符合条件的x有(    )
A. 2个      B. 3个      C. 4个      D. 5个
5. 已知:a1=x+1(x≠0且x≠-1),a2=1÷(1-a1),a3=1÷(1-a2),…,an=1÷(1-an-1),则a2011等于(    )
A. x      B. x+1      C. −       D. 

二、填空
*6. 计算: =_______。
*7. 化简: ,其结果是_____。
*8. 对于任意非零实数a,b,定义运算“☆”如下:a☆b= ,
则☆1+3☆2+4☆3+…+2010☆2009+2011☆2010+2012☆2011+2013☆2012=            。
*9. 若a+3b=0,则 =______。

三、解答题
**10. 先化简 ,然后从 的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值。
**11. 已知 ,求分式 的值.(用整体思想求分式的值)。
**12. 解答一个问题后,将结论作为条件之一,提出与原问题有关的新问题,我们把它称为原问题的一个“逆向”问题.例如,原问题是“若矩形的两边长分别为3和4,求矩形的周长”,求出周长等于14后,它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为14,且一边长为3,求另一边的长”;也可以是“若矩形的周长为14,求矩形面积的最大值”等。
(1)设A= - ,B= ,求A与B的积;
(2)提出(1)的一个“逆向”问题,并解答这个问题。

 
 
1. A  解析:熟记分式运算的顺序,先把括号里的通分合并,再进行除法运算。
 ,故选A。
2. B  解析:熟记分式运算的顺序,先把括号里的通分合并,再进行除法运算。
  3. B  解析: ,故选B。
4. C  解析: ,x取0、2、6、4时,该分式为整数,符合条件的x有4个,故选C。
5. B  解析:∵a1=x+1(x≠0且x≠-1),a2=1÷(1-a1),a3=1÷(1-a2),…,an=1÷(1-an-1),
∴a2=- ,a3= ,a4=x+1,…
∴a3n= ,a3n+1=x+1,a3n+2=- ,
∵2011=670×3+1,
∴a2011=x+1。
故选B。
6. -1  解析:
 
7. 0  解析: 。
8.    解析:解:根据题意得:
2☆1+3☆2+4☆3+…+2010☆2009+2011☆2010+2012☆2011+2013☆2012
= + +…+ +
= - + - +…+ - + -
= - = = 。
故答案为: 。
9.    解析:
 
由 +3b=0,可得 =-3b,代入 = 。
10.    解: ,选值时要注意既要使分式的结果有意义,又要使过程中每一步都要有意义。只要x不等于0或 就可 取x=1时,该分式的值为 ;取x=-1时,该分式的值为1。
11. 
解析:将 变形为 -b=-4 b,将分式 变形为 ,把式子中的 -b看成一个整体,将式子中的 -b都换成-4 b问题就解决了。
12. 解:(1)  A•B=( - )• = •  =12;
(2)“逆向”问题:已知A•B=12,B= ,求A。
解答:A=(A•B)÷B=12÷ = ;
即 


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