2017-2018学年八年级数学下期末压轴题练习(天津市南开区附答案)

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2017-2018学年八年级数学下期末压轴题练习(天津市南开区附答案)

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2018年 八年级数学下册 期末压轴题练习(含答案)
一 、填空题:
1.如图,在矩形ABCD中,AD=6,AE⊥BD,垂足为E,ED=3BE,点P、Q分别在BD,AD上,则AP+PQ的最小值为          .
 
2.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,且正方形对角线交于点O,连接OC,已知AC=5,OC=6 ,则另一直角边BC的长为        .
 
3.如图,已知正方形ABCD边长为3,点E在AB边上且BE=1,点P,Q分别是边BC,CD的动点(均不与顶点重合),当四边形AE PQ的周长取最小值时,四边形AEPQ的面积是      .
 
4.如图所示,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为正方形AD边上的一点(不与点A.点D重合)将正方形纸片折叠,使点B落在P处,点C落在G处,PG交DC于H,折痕为EF,连接BP、BH.现给出以下四个命题
 
(1)∠APB=∠BPH;(2)当点P在边AD上移动时,△PDH的周长不发生变化;
(3)∠PBH=450 ; (4)BP=BH.
其中正确的命题是    .

5.如图,正方形ABCD的边长为4,∠DAC的平分线交DC于点E,若点P、Q分别是AD和AE上的动点,则DQ+PQ的最小值是      .
 
二 、综合题:
6. (1)如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.求证:CE=CF;
(2)如图2,在正方形ABCD中,E是AB上一点,G是AD上一点,如果∠GCE=45°,请你利用(1)的结论证明:GE=BE+GD.
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:
如图3,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC,E是AB上一点,且∠DCE=45°,BE=4,DE=10,求直角梯形ABCD的面积.
 

 

7.如图,已知等腰Rt△ABC和△CDE,AC=BC,CD=CE,连接BE、AD,P为BD中点,M为AB中点、N为DE中点,连接PM、PN、MN.
(1)试判断△PMN的形状,并证明你的结论;
(2)若CD=5,AC=12,求△PMN的周长.
  
8.已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A,将正方形AEFG绕点A旋转.
(1)①当E点旋转到DA的延长线上时(如图1),△ABE与△ADG的面积关系是:      .
②当E点旋转到CB的延长线上时(如图2),△ABE与△ADG的面积关系是:     
(2)当正方形AEFG旋转任意一个角度时(如图3),(1)中的结论是否仍然成立?若成立请证明,若不成立请说明理由.
(3)已知△ABC,AB=5cm,BC=3cm,分别以AB、BC、CA为边向外作正方形(如图4),则图中阴影部分的面积和的最大值是      cm2.
 

9.一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动:将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处,设AC=BC=a.
(1)如图1,两个三角尺的重叠部分为△ACM,则重叠部分的面积为  ,周长为  ;
(2)将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°,得到图2,此时重叠部分的面积为  ,周长为  ;
(3)如果将△MNK绕M旋转到不同于图1,图2的位置,如图3所示,猜想此时重叠部分的面积为多少?并试着加以验证.
 


10.在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,且∠EAF=∠CEF=45°.
(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG(如图①),求证:△AEG≌△AEF;
(2)若直线EF与AB,AD的延长线分别交于点M,N(如图②),求证:EF2=ME2+NF2;
(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形,若其余条件不变(如图③),请你直接写出线段EF,BE,DF之间的数量关系.
 
 
参考答案
1.答案为:3 .
 
2.答案为:7;
解法一:如图1所示,过O作OF⊥BC,过A作AM⊥OF,
∵四边形ABDE为正方形,∴∠AOB=90°,OA=OB,∴∠AOM+∠BOF=90°,
又∠AMO=90°,∴∠AOM+∠OAM=90°,∴∠BOF=∠OAM,
在△AOM和△BOF中, ,∴△AOM≌△BOF(AAS),∴AM=OF,OM=FB,
又∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°,∴四边形ACFM为矩形,∴AM=CF,AC=MF=5,∴OF=CF,
∴△OCF为等腰直角三角形,∵OC=6 ,∴根据勾股定理得:CF2+OF2=OC2,解得:CF=OF=6,
∴FB=OM=OF﹣FM=6﹣5=1,则BC=CF+ BF=6+1=7.故答案为:7.
解法二:如图2所示,过点O作OM⊥CA,交CA的延长线于点M;过点O作ON⊥BC于点N.
易证△OMA≌△ONB,∴OM=ON,MA=NB.∴O点在∠ACB的平分线上,∴△OCM为等腰直角三角形.
∵OC=6 ,∴CM=ON=6.∴MA=CM﹣AC=6﹣5=1,∴BC=CN+NB=6+1=7.故答案为:7.
 
3.答案为:4.5.
 
4.答案为:(1)(2)(3).

 

5.答案为:2 ;
解:作D关于AE的对称点D′,再过D′作D′P′⊥AD于P′,
∵DD′⊥AE,∴∠AFD=∠AFD′,∵AF=AF,∠DAE=∠CAE,∴△DAF≌△D′AF,
∴D′是D关于AE的对称点,AD′=AD=4,∴D′P′即为DQ+PQ的最小值,
∵四边形ABCD是正方形,∴∠DAD′=45°,∴AP′=P′D′,
∴在Rt△AP′D′中,P′D′2+AP′2=AD′2,AD′2=16,
∵AP′=P′D',2P′D′2=AD′2,即2P′D′2=16,∴P′D′=2 ,
即DQ+PQ的最小值为2 ,
 
6. (1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD,∠B=∠CDF=90°,
∵∠ADC=90°,∴∠FDC=90°.∴∠B=∠FDC,∵BE=DF,
∴△CBE≌△CDF(SAS).∴CE=CF. 
(2)证明:如图2,延长AD至F,使DF=BE,连接CF.
由(1)知△CBE≌△CDF,∴∠BCE=∠DCF.
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,即∠ECF=∠BCD=90°,
又∠GCE=45°,∴∠GCF=∠GCE=45°.
∵CE=CF,GC=GC,∴△ECG≌△FCG.∴GE=GF,∴GE=GF=DF+GD=BE+GD. 
(3)解:如图3,过C作CG⊥AD,交AD延长线于G.
在直角梯形ABCD中,∵AD∥BC,∴∠A=∠B=90°,
又∵∠CGA=90°,AB=BC,∴四边形ABCG为正方形.∴AG=BC.…
∵∠DCE=45°,根据(1)(2)可知,ED=BE+DG.…∴10=4+DG,即DG=6.
设AB=x,则AE=x﹣4,AD=x﹣6,在Rt△AED中,
∵DE2=AD2+AE2,即102=(x﹣6)2+(x﹣4)2.
解这个方程,得:x=12或x=﹣2(舍去).…∴AB=12.
∴S梯形ABCD=0.5(AD+BC)•AB=0.5×(6+12)×12=108.
即梯形ABCD的面积为108.…
 
7.解:(1)①∵正方形ABCD和正方形AEFG有公顶点A,将正方形AEFG绕点A旋转,E点旋转到DA的延长线上,∴AE=AG,AB=AD,∠EAB=∠GAD,
∴△ABE≌△ADG(SAS),∴△ABE的面积=△ADG的面积;
②作GH⊥DA交DA的延长线于H,如图2,∴∠AHG=90°,
∵E点旋转到CB的延长线上,∴∠ABE=90°,∠HAB=90°,∴∠GAH=∠EAB,
在△AHG和△AEB中 ,∴△AHG≌△AEB,∴GH=BE,
∵△ABE的面积=0.5EB•AB,△ADG的面积=0.5GH•AD,∴△ABE的面积=△ADG的面积;
(2)结论仍然成立.理由如下:
作GH⊥DA交DA的延长线于H,EP⊥BA交BA的延长线于P,如图3,
∵∠PAD=90°,∠EAG=90°,∴∠PAE=∠GAH,
在△AHG和△AEP中 ,∴△AHG≌△AEP(AAS),∴GH=BP,
∵△ABP的面积=0.5EP•AB,△ADG的面积=0.5GH•AD,∴△ABP的面积=△ADG的面积;
(3)∵AB=5cm,BC=3cm,∴AC= =4cm,∴△ABC的面积=0.5×3×4=6(cm2);
根据(2)中的结论得到阴影部分的面积和的最大值=△ABC的面积的3倍=18cm2.
故答案为相等;相等;18.
 
8.解:(1)∵AM=MC= AC= a,则
∴重叠部分的面积是△ACB的面积的一半为0.25a2,周长为(1+ )a.
(2)∵重叠部分是正方形∴边长为0.5a,面积为0.25a2,周长为2a.
(3)猜想:重叠部分的面积为0.25a2.
理由如下:过点M分别作AC、BC的垂线MH、MG,垂足为H、G
设MN与AC的交点为E,MK与BC的交点为F
∵M是△ABC斜边AB的中点,AC=BC=a∴MH=MG=0.5a
又∵∠HME+∠HMF=∠GMF+∠HMF,∴∠HME=∠GMF,
∴Rt△MHE≌Rt△MGF∴阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积
∵正方形CGMH的面积是MG•MH=0.5a×0.5a =0.25a2,∴阴影部分的面积是0.25a2.
9.(1)证明:∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,∴AF=AG,∠FAG=90°,
∵∠EAF=45°,∴∠GAE=45°,在△AGE与△AFE中, ,∴△AGE≌△AFE(SAS);
(2)证明:设正方形ABCD的边长为a.将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,连结GM.
则△ADF≌△ABG,DF=BG.由(1)知△AEG≌△AEF,∴EG=EF.
∵∠CEF=45°,∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形,
∴CE=CF,BE=BM,NF= DF,∴a﹣BE=a﹣DF,∴BE=DF,∴BE=BM=DF=BG,
∴∠BMG=45°,∴∠GME=45°+45°=90°,∴EG2=ME2+MG2,
∵EG=EF,MG= BM= DF=NF,∴EF2=ME2+NF2;
(3)解:EF2=2BE2+2DF2.
如图所示,延长EF交AB延长线于M点,交AD延长线于N点,将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△AGH,连结HM,HE.由(1)知△AEH≌△AEF,则由勾股定理有(GH+BE)2+BG2=EH2,即(GH+BE)2+(BM﹣GM)2=EH2
又∴EF=HE,DF=GH=GM,BE=BM,所以有(GH+BE)2+(BE﹣GH)2=EF2,即2(DF2+BE2)=EF2
          

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