2018年八年级数学上第一章勾股定理检测卷(北师大版附答案)

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2018年八年级数学上第一章勾股定理检测卷(北师大版附答案)

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5 Y k j.CoM

第一章检测卷
时间:120分钟     满分:120分
一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分,每小题只有一个正确的选项)
1.下列各组数,能构成直角三角形的是(  )
A.4,5,6  B.12,16,20
C.5,10,13  D.8,39,40
2.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,BC=2.5cm,AC=1.5cm,则AB的长为(  )
A.3.5cm  B.2cm  C.3cm  D.4cm
 
3.如图,有一块边长为24米的正方形绿地,在绿地旁边B处有健身器材,由于居住在A处的居民践踏了绿地,小明想在A处树立一个标牌“少走▇米,踏之何忍”,请你计算后帮小明在标牌的“▇”填上适当的数字是(  )
A.3米  B.4米  C.5米  D.6米
 
4.在△ABC中,AB=12,BC=16,AC=20,则△ABC的面积为(  )
A.96  B.120  C.160  D.200
5.如图,等腰三角形底边BC的长为10cm,腰长AB为13cm,则腰上的高为(  )
A.12cm  B.6013cm  C.12013cm  D.135cm
 
6.如图所示为一种“羊头”形图案,其作法是:从正方形①开始,以它的一边为斜边,向外作等腰直角三角形,然后再以其直角边为边,分别向外作正方形②和②,……,依此类推,若正方形①的面积为64,则正方形⑤的面积为(  )
A.2  B.4  C.8  D.16
 
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=9,AC=12,则AB=________.
8.如图,一架长为4m的梯子,一端放在离墙脚2.4m处,另一端靠墙,则梯子顶端离墙脚________m.
 
9.如图,在△ABC中,AB=5cm,BC=6cm,BC边上的中线AD=4cm,则∠ADB的度数是________.
 
10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,以点A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点D,则BD=__________.
 
11.如图是一种饮料的包装盒,其长、宽、高分别为4cm,3cm,12cm,现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部,则吸管露在盒外部分的长度h的取值范围为____________.
 
12.在△ABC中,若AC=15,BC=13,AB边上的高CD=12,则△ABC的周长为________.
三、(本大题共5小题,每小题6分,共30分)
13.如图,∠B=∠OAF=90°,BO=3cm,AB=4cm,AF=12cm,求:
 (1)AO,FO的长;
 (2)图中半圆的面积.

14.一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行,另一艘轮船同时离开港口以30km/h的速度向东南方向航行,它们离开港口半小时后相距多远?


15.已知一个直角三角形的周长是12cm,两直角边长的和为7cm,则此三角形的面积是多少?

16.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=16cm,正方形BCEF的面积为144cm2,BD⊥AC于点D,求BD的长.
 


17.由若干个大小相同且边长为1的小正方形组成的方格中:
(1)如图①,A,B,C是三个格点(即小正方形的顶点),判断AB与BC的位置关系,并说明理由;
(2)在图②中画出一个面积为10的正方形.
 

 
四、(本大题共3小题,每小题8分,共24分)
18.如图,铁路上A,B两点相距25km,C,D为两村庄,AD⊥AB于点A,BC⊥AB于点B.已知AD=15km,BC=10km,现要在铁路AB旁建一个货运站E(A,E,B在同一条直线上),使得C,D两村到E站距离相等,问E站应建在离A地多少千米处?


19.如图,某住宅小区在施工过程中留下了一块空地(图中的四边形ABCD),经测量,在四边形ABCD中,AB=3m,BC=4m,CD=12m,DA=13m,∠B=90°,连接AC.
(1)△ACD是直角三角形吗?为什么?
(2)小区为美化环境,欲在空地上铺草坪,已知草坪每平方米100元,试问铺满这块空地共需花费多少元?

 

20.有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸,假设其长AD=80cm,高AB=60cm,水深AE=40cm.在水面上紧贴内壁G处有一块面包屑,G在水面线EF上,且EG=60cm,一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑.
(1)该蚂蚁应该沿怎样的路线爬行才能使路程最短呢?请你画出它爬行的路线,并用箭头标注;
(2)求蚂蚁爬行的最短路线长.

五、(本大题共2小题,每小题9分,共18分)
21.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10cm,AC=6cm,动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动,设运动的时间为ts.
(1)求BC边的长;
(2)当△ABP为直角三角形时,求t的值.
 

22.图甲是任意一个直角三角形ABC,它的两条直角边的长分别为a,b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形,放在边长为a+b的正方形内.
 
(1)图乙、图丙中①②③都是正方形.由图可知:①是以________为边长的正方形,②是以________为边长的正方形,③的四条边长都是________,且每个角都是直角,所以③是以________为边长的正方形;
(2)图乙中①的面积为________,②的面积为________,图丙中③的面积为________;
(3)图乙中①②面积之和为__________;
(4)图乙中①②的面积之和与图丙中正方形③的面积有什么关系?为什么?由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗?
 

六、(本大题共12分)
23.在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,若∠C=90°,如图①,则有a2+b2=c2;若△ABC为锐角三角形时,小明猜想:a2+b2>c2,理由如下:如图②,过点A作AD⊥CB于点D,设CD=x.在Rt△ADC中,AD2=b2-x2,在Rt△ADB中,AD2=c2-(a-x)2,∴a2+b2=c2+2ax.∵a>0,x>0,∴2ax>0,∴a2+b2>c2,∴当△ABC为锐角三角形时,a2+b2>c2.所以小明的猜想是正确的.
(1)请你猜想,当△ABC为钝角三角形时,a2+b2与c2的大小关系(温馨提示:在图③中,作BC边上的高);
(2)证明你猜想的结论是否正确.
 

参考答案与解析
1.B 2.B 3.D 4.A 5.C
6.B 解析:第一个正方形的面积是64;第二个正方形的面积是32;第三个正方形的面积是16……第n个正方形的面积是642n-1,∴正方形⑤的面积是6424=4.故选B.
7.15 8.3.2 9.90° 10.4 11.3cm≤h≤4cm
12.32或42 解析:∵AC=15,BC=13,AB边上的高CD=12,∴AD2=AC2-CD2,即AD=9,BD2=BC2-CD2,即BD=5.如图①,CD在△ABC内部时,AB=AD+BD=9+5=14,此时,△ABC的周长为14+13+15=42;如图②,CD在△ABC外部时,AB=AD-BD=9-5=4,此时,△ABC的周长为4+13+15=32.综上所述,△ABC的周长为32或42.
 
13.解:(1)∵在Rt△ABO中,∠B=90°,BO=3cm,AB=4cm,∴AO2=BO2+AB2=25,∴AO=5cm.(1分)在Rt△AFO中,由勾股定理得FO2=AO2+AF2=132,∴FO=13cm.(3分)
(2)图中半圆的面积为12π×FO22=12π×1694=169π8(cm2).(6分)
 
14.解:作出图形,因为东北和东南方向的夹角为90°,所以△ABC为直角三角形.(2分)在Rt△ABC中,AC=16×0.5=8(km),BC=30×0.5=15(km),则AB2=AC2+BC2=172,解得AB=17km.(5分)
答:它们离开港口半小时后相距17km.(6分)
15.解:设两条直角边长分别为acm,bcm,斜边长为ccm.由题意可知a+b+c=12①,a+b=7②,a2+b2=c2③,(2分)∴c=12-(a+b)=5,(a+b)2=a2+b2+2ab=49,2ab=49-25=24,∴ab=12,(4分)∴S=12ab=12×12=6(cm2).(6分)
16.解:∵正方形BCEF的面积为144cm2,∴BC=12cm.∵∠ABC=90°,AB=16cm,∴AC=20cm.(3分)∵BD⊥AC,∴S△ABC=12AB•BC=12BD•AC,∴BD=485cm.(6分)
17.解:(1)如图①,连接AC,由勾股定理,得AB2=32+22=13,BC2=42+62=52,AC2=12+82=65,∴AB2+BC2=AC2,∴△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°,∴AB⊥BC.(3分)
 
(2)∵面积为10的正方形可以表示为32+12=10,∴四边形ABCD即为所求,如图②所示.(6分)
18.解:设AE=xkm,则BE=(25-x)km.(2分)根据题意列方程,得152+x2=(25-x)2+102,解得x=10.(7分)故E站应建立在离A地10km处.(8分)
19.解:(1)在Rt△ABC中,∵AB=3m,BC=4m,∠B=90°,AB2+CB2=AC2,∴AC=5m.(2分)在△ACD中,AC=5m,CD=12m,DA=13m,∴AC2+CD2=AD2,∴△ACD是直角三角形,且∠ACD=90°.(4分)
(2)∵S△ABC=12×3×4=6(m2),S△ACD=12×5×12=30(m2),∴S四边形ABCD=6+30=36(m2),(6分)费用为36×100=3600(元).故铺满这块空地共需花费3600元.(8分)
20.解:(1)如图,作点A关于BC的对称点A′,连接A′G交BC于点Q,连接AQ,蚂蚁沿着A→Q→G的路线爬行时,路程最短.(5分)
 
(2)∵在Rt△A′EG中,A′E=2AB-AE=80cm,EG=60cm,∴由勾股定理得A′G=100cm,(7分)∴最短路线长为AQ+QG=A′Q+QG=100cm.(8分)
21.解:(1)∵在Rt△ABC中,BC2=AB2-AC2=102-62=64,∴BC=8cm.(2分)
(2)由题意知BP=2tcm,分两种情况进行讨论:①当∠APB为直角时,点P与点C重合,如图①,BP=BC=8cm,即t=4;(4分)②当∠BAP为直角时,如图②,BP=2tcm,CP=(2t-8)cm,AC=6cm.在Rt△ACP中,AP2=62+(2t-8)2,在Rt△BAP中,AB2+AP2=BP2,(6分)∴102+[62+(2t-8)2]=(2t)2,解得t=254.故当△ABP为直角三角形时,t=4或254.(9分)
 
22.解:(1)a b c c(2分)
(2)a2 b2 c2(4分)
(3)a2+b2(5分)
(4)由图乙和图丙可知大正方形的边长为a+b,则面积为(a+b)2,图乙中把大正方形的面积分为了四部分,分别是边长为a的正方形,边长为b的正方形,还有两个长为a、宽为b的长方形,(7分)根据面积相等得(a+b)2=a2+b2+2ab,由图丙可得(a+b)2=c2+4×12ab.所以a2+b2=c2.(9分)
23.(1)解:当△ABC为钝角三角形时,a2+b2与c2的大小关系为a2+b2<c2.(3分)
(2)证明:如图,过点A作AD⊥BC于点D.(5分)设CD=x.在Rt△ADC中,AD2=b2-x2,在Rt△ADB中,AD2=c2-(a+x)2,∴a2+b2=c2-2ax.(8分)∵a>0,x>0,∴2ax>0,∴a2+b2<c2,∴当△ABC为钝角三角形时,a2+b2<c2.(12分)


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