2018年齐河县八年级数学下期末模拟试卷(带答案和解释)

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2018年齐河县八年级数学下期末模拟试卷(带答案和解释)

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源莲 山课件 w ww.5 Y
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八年级(下)期末数学试卷
一、选择题
1.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(  )
A.  B.  C.  D.
2.实数x取任何值,下列代数式都有意义的是(   )
A.  B.  C.  D.
3.某课外兴趣小组为了了解所在地区老年人的健康状况,分别作了四种不同的抽样调查,你认为抽样比较合理的是(  )
A.在公园调查了1000名老年人的健康状况
B.调查了10名老年人的健康状况
C.在医院调查了1000名老年人的健康状况
D.利用派出所的户籍网随机调查了该地区10%的老年人健康状况
4.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压P(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数,其图象如图所示.当气球内的气压大于120kPa时,气球将爆炸.为了安全起见,气球的体积应(  )
 
A.不小于 m3 B.小于 m3 C.不小于 m3 D.小于 m3
5.扎比瓦卡是2018年俄罗斯世界杯足球赛吉祥物,某玩具厂要生产a只吉祥物,原计划每天生产b只,实际每天生产了b+c只,则该厂提前了(  )天完成任务.
A.  B. ﹣  C.  D. ﹣
6.二次根式 的值是(  )
A.2 B.2或﹣2 C.4 D.﹣2
7.某小组在“用频率估计概率”的试验中,统计了某种结果出现的频率,绘制了如图所示的折线图,那么符合这一结果的试验最有可能的是(  )
 
A.在装有1个红球和2个白球(除颜色外完全相同)的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”
B.从一副扑克牌中任意抽取一张,这张牌是“红色的”
C.掷一枚质地均匀的硬币,落地时结果是“正面朝上”
D.只一个质地均匀的正六面体骰子,落地时面朝上的点数是6
8.如图,设线段AC=1.过点C作CD⊥AC,并且使CD= AC:连结AD,以点D为圆心,DC的长为半径画弧,交AD于点E;再以点A为圆心,AE的长为半径画弧,交AC于点B,则AB的长为(  )
A.  B.  C.  D.
 
9.点P(2,4)在函数y= 的图象上,下列各点中,一定也在这个图象上的是(  )
A.(﹣2,4) B.(2,﹣4) C.(﹣2,﹣4) D.(0,0)
10.如图,已知线段AB=12,点M、N是线段AB上的两点,且AM=BN=2,点P是线段MN上的动点,分别以线段AP、BP为边在AB的同侧作正方形APDC、正方形PBFE,点G、H分别是CD、EF的中点,点O是GH的中点,当P点从M点到N点运动过程中,OM+OB的最小值是(  )
 
A.10 B.12 C.2  D.12
二、填空题:
11.使式子 有意义的x取值范围是         .
12.若反比例函数图象经过点A (﹣6,﹣3),则该反比例函数表达式是    .
13.计算:  =        .
14.已知一个菱形的边长为5,其中一条对角线长为8,则这个菱形的面积为     .
15.如果分式方程 有增根,则增根是     .
16.如图,在平行四边形ABCD中,∠A=70°,将▱ABCD绕点B顺时针旋转到平行四边形A1BC1D1的位置,此时C1D1恰好经过点C,则∠ABA1=       °.
 
17.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=1,BC=4,AC=3,BD=4,则梯形ABCD的面积为     .
 
18.某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米,6小时可以将满池水全部排空.现在排水量为平均每小时Q立方米,那么将满池水排空所需要的时间为t(小时),写出时间t(小时)与Q之间的函数表达式       .
19.在直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(﹣2,4)、(﹣5,2),点M、N分别是x轴、y轴上的点,若以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形,则点M的横坐标的所有可能的值是          .
20.已知一次函数与反比例函数的图象交于点P(﹣2,1)和Q(1,m),如图是在同一直角坐标系中这两个函数图象的示意图,观察图象并回答:
写出当x的值在什么范围内时?一次函数的值大于反比例函数的值.
写出x的值的范围             .
 
三、解答题:
21.计算:
(1)(2 ﹣3 )×
(2) +3 ﹣ + 
(3) ﹣
(4) ÷ .

22.解方程:  =2﹣ .


23.已知甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同,两人每天共做140个零件,甲、乙两人每天各做多少个零件?

24.如图,在平面直角坐标系中,△OAB的顶点坐标分别为O (0,0),A (2,4),B (4,0),分别将点A、B的横坐标、纵坐标都乘以1.5,得相应的点A'、B'的坐标.
(1)画出OA'B':
(2)△OA'B'与△AOB           位似图形:(填“是”或“不是”)
(3)若线段AB上有一点D (x0,y0),按上述变换后对应的A'B'上点的坐标是           . 


25.在读书月活动中,学校准备购买一批课外读物,为使课外读物满足同学们的需求,学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查(每位同学只选一类),如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图.
请你根据统计图提供的信息,解答下列问题:
 
(1)本次调查中,一共调查了       名同学;
(2)条形统计图中,m=     ,n=         ;
(3)扇形统计图中,艺术类读物所在扇形的圆心角是      度;
(4)学校计划购买课外读物5000册,请根据样本数据,估计学校购买其他类读物多少册比较合理?
 

26.几位同学尝试用矩形纸条ABCD(如图1)折出常见的中心对称图形.
 
(1)如图2,小明将矩形纸条先对折,使AB和DC重合,展开后得折痕EF,再折出四边形ABEF和CDEF的对角线,它们的对角线分别相交于点G,H,最后将纸片展平,则四边形EGFH的形状一定是          .
(2)如图3,小华将矩形纸片沿EF翻折,使点C,D分别落在矩形外部的点C′,D′处,FC′与AD交于点G,延长D′G交BC于点H,求证:四边形EGFH是菱形.
(3)如图4,小美将矩形纸条两端向中间翻折,使得点A,C落在矩形内部的点A′,C′处,点B,D落在矩形外部的点B′,D′处,折痕分别为EF,GH,且点H,C′,A′,F在同一条直线上,试判断四边形EFGH的形状,并说明理由.

 

27.如图,已知反比例函数y= 的图象经过点A (﹣1,a),过点A作AB⊥x轴,垂足为点B,△AOB的面积为 .
(1)求a、k的值;
(2)若一次函数y=mx+n图象经过点A和反比例函数图象上另一点C (t,﹣ ),且与x轴交于M点,求AM的值;
(3)在(2)的条件下,如果以线段AM为一边作等边△AMN,顶点N在一次数函数y=bx上,则b=        .
 

答案解析
1.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(  )
A.  B.  C.  D.
【考点】中心对称图形;轴对称图形.
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可.
【解答】解:A、不是轴对称图形,也不是中心对称图形;
B、不是轴对称图形,是中心对称图形;
C、是轴对称图形,不是中心对称图形;
D、是轴对称图形,也是中心对称图形.
故选:D.
2.实数x取任何值,下列代数式都有意义的是(  )
A.  B.  C.  D.
【考点】二次根式有意义的条件.
【分析】根据二次根式有意义,被开方数大于等于0对各选项举例判断即可.
【解答】解:A、由6+2x≥0得,x≥﹣3,
所以,x<﹣3时二次根式无意义,故本选项错误;
B、由2﹣x≥0得,x≤2,
所以,x>2时二次根式无意义,故本选项错误;
C、∵(x﹣1)2≥0,
∴实数x取任何值二次根式都有意义,故本选项正确;
D、由x+1≥0得,x≥﹣1,
所以,x<﹣1二次根式无意义,
又x=0时分母等于0,无意义,故本选项错误.
故选C.
3.某课外兴趣小组为了了解所在地区老年人的健康状况,分别作了四种不同的抽样调查,你认为抽样比较合理的是(  )
A.在公园调查了1000名老年人的健康状况
B.调查了10名老年人的健康状况
C.在医院调查了1000名老年人的健康状况
D.利用派出所的户籍网随机调查了该地区10%的老年人健康状况
【考点】抽样调查的可靠性.
【分析】抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性,所谓代表性,就是抽取的样本必须是随机的,即各个方面,各个层次的对象都要有所体现.
【解答】解:A、调查不具代表性,故A错误;
B、调查不具广泛性,故B错误;
C、调查不具代表性,故C错误;
D、调查具有广泛性、代表性,故D正确;
故选:D.
4.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压P(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数,其图象如图所示.当气球内的气压大于120kPa时,气球将爆炸.为了安全起见,气球的体积应(  )
 
A.不小于 m3 B.小于 m3 C.不小于 m3 D.小于 m3
【考点】反比例函数的应用.
【分析】根据题意可知温度不变时,气球内气体的气压P(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数,且过点(1.6,60)故P•V=96;故当P≤120,可判断V≥ .
【解答】解:设球内气体的气压P(kPa)和气体体积V(m3)的关系式为P= ,
∵图象过点(1.6,60)
∴k=96
即P= 在第一象限内,P随V的增大而减小,
∴当P≤120时,V= ≥ .
故选:C.
5.扎比瓦卡是2018年俄罗斯世界杯足球赛吉祥物,某玩具厂要生产a只吉祥物,原计划每天生产b只,实际每天生产了b+c只,则该厂提前了(  )天完成任务.
A.  B. ﹣  C.  D. ﹣
【考点】列代数式(分式).
【分析】先分别求出原计划的天数和实际用的天数,两者相减即可得出提前的天数.
【解答】解:∵某玩具厂要生产a只吉祥物,原计划每天生产b只,
∴原计划的时间是 天,
∵实际每天生产了b+c只,
∴实际用的时间是 天,
∴可提前的天数是( ﹣ )天.
故选D.
6.二次根式 的值是(  )
A.2 B.2或﹣2 C.4 D.﹣2
【考点】二次根式的性质与化简.
【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案.
【解答】解:原式= =2.
故选:A.
7.某小组在“用频率估计概率”的试验中,统计了某种结果出现的频率,绘制了如图所示的折线图,那么符合这一结果的试验最有可能的是(  )
 
A.在装有1个红球和2个白球(除颜色外完全相同)的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”
B.从一副扑克牌中任意抽取一张,这张牌是“红色的”
C.掷一枚质地均匀的硬币,落地时结果是“正面朝上”
D.只一个质地均匀的正六面体骰子,落地时面朝上的点数是6
【考点】利用频率估计概率;频数(率)分布折线图.
【分析】根据统计图可知,试验结果在0.16附近波动,即其概率P≈0.16,计算四个选项的概率,约为0.16者即为正确答案.
【解答】解:
A、从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球,取到白球的概率是 ≈0.67>0.16,故此选项错误;
B、从一副扑克牌中任意抽取一张,这张牌是“红色的概率= ≈0.24>0.16,故此选项错误;
C、掷一枚质地均匀的硬币,落地时结果是“正面朝上”的概率= =0.5>0.16,故此选项错误;
D、掷一个质地均匀的正六面体骰子,落地时面朝上的点数是6的概率= ≈0.16故此选项正确,
故选D.
8.如图,设线段AC=1.过点C作CD⊥AC,并且使CD= AC:连结AD,以点D为圆心,DC的长为半径画弧,交AD于点E;再以点A为圆心,AE的长为半径画弧,交AC于点B,则AB的长为(  )
 
A.  B.  C.  D.
【考点】勾股定理.
【分析】根据题意,作出图形.根据勾股定理求得AD的长度,则AB=AE=AD﹣CD.
【解答】解:如图,AC=1,CD= AC= ,CD⊥AC,
∴由勾股定理,得
AD= = = .
又∵DE=DC= ,
∴AB=AE=AD﹣CD= ﹣ = .
故选:B.
 
9.点P(2,4)在函数y= 的图象上,下列各点中,一定也在这个图象上的是(  )
A.(﹣2,4) B.(2,﹣4) C.(﹣2,﹣4) D.(0,0)
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.
【分析】直接把点P(2,4)代入函数y= 求出k的值,再对各选项进行逐一分析即可.
【解答】解:∵点P(2,4)在函数y= 的图象上,
∴k=2×4=8,
A、∵(﹣2)×4=﹣8≠8,∴此点不在反比例函数的图象上,故本选项错误;
B、∵(﹣4)×2=﹣8≠﹣8,∴此点不在反比例函数的图象上,故本选项错误
C、∵(﹣2)×(﹣4)=8,∴此点在反比例函数的图象上,故本选项正确;
D、∵0×0=0≠﹣8,∴此点不在反比例函数的图象上,故本选项错误.
故选C.
10.如图,已知线段AB=12,点M、N是线段AB上的两点,且AM=BN=2,点P是线段MN上的动点,分别以线段AP、BP为边在AB的同侧作正方形APDC、正方形PBFE,点G、H分别是CD、EF的中点,点O是GH的中点,当P点从M点到N点运动过程中,OM+OB的最小值是(  )
 
A.10 B.12 C.2  D.12
【考点】轴对称-最短路线问题;正方形的性质.
【分析】作点M关于直线XY的对称点M′,连接BM′,与XY交于点O,由轴对称性质可知,此时OM+OB=BM′最小,根据勾股定理即可求出BM'的值.
【解答】解:
作点M关于直线XY的对称点M′,连接BM′,与XY交于点O.
 
由轴对称性质可知,此时OM+OB=BM′最小.
在Rt△BMM′中,MM′=2×6=12,BM=10,由勾股定理得:BM′= =2 .
∴OM+OB的最小值为2 ,
故选C.
11.使式子 有意义的x取值范围是         .
【考点】二次根式有意义的条件.
【分析】本题主要考查自变量的取值范围,函数关系中主要有二次根式.根据二次根式的意义,被开方数是非负数.
【解答】解:根据题意得:x+1≥0,
解得x≥﹣1.
故答案为:x≥﹣1.
12.若反比例函数图象经过点A (﹣6,﹣3),则该反比例函数表达式是 y=  .
【考点】待定系数法求反比例函数解析式.
【分析】函数经过一定点,将此点坐标代入函数解析式y= (k≠0)即可求得k的值.
【解答】解:设反比例函数的解析式为y= (k≠0),函数经过点A(﹣6,﹣3),
∴﹣3= ,得k=18,
∴反比例函数解析式为y= .
故答案为:y= .
13.计算:  =        .
【考点】分式的加减法.
【分析】分母不变,直接把分子相加减即可.
【解答】解:原式= = .
故答案为: .
14.已知一个菱形的边长为5,其中一条对角线长为8,则这个菱形的面积为      .
【考点】菱形的性质.
【分析】首先根据题意画出图形,由一个菱形的边长为5,其中一条对角线长为8,可利用勾股定理,求得另一菱形的长,继而求得答案.
【解答】解:如图,∵菱形ABCD中,BD=8,AB=5,
∴AC⊥BD,OB= BD=4,
∴OA= =3,
∴AC=2OA=6,
∴这个菱形的面积为:  AC•BD= ×6×8=24.
故答案为:24.
15.如果分式方程 有增根,则增根是     .
【考点】分式方程的增根.
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根.确定增根的可能值,让最简公分母x﹣3=0即可.
【解答】解:∵原方程有增根,
∴最简公分母x﹣3=0,
解得x=3.即增根为x=3.
16.如图,在平行四边形ABCD中,∠A=70°,将▱ABCD绕点B顺时针旋转到平行四边形A1BC1D1的位置,此时C1D1恰好经过点C,则∠ABA1=       °.
 
【考点】旋转的性质;平行四边形的性质.
【分析】由旋转的性质可知:▱ABCD全等于▱A1BC1D1,所以BC=BC1,所以∠BCC1=∠C1,又因为旋转角∠∠ABA1=∠CBC1,根据等腰三角形的性质计算即可.
【解答】解:∵▱ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱A1BC1D1,
∴BC=BC1,
∴∠BCC1=∠C1,
∵∠A=70°,
∴∠C=∠C1=70°,
∴∠BCC1=∠C1,
∴∠CBC1=180°﹣2×70°=40°,
∴∠ABA1=40°,
故答案为:40.
17.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=1,BC=4,AC=3,BD=4,则梯形ABCD的面积为     .
 
【考点】梯形.
【分析】过点D作DE∥AC,交BC的延长线于点E,得四边形ACED是平行四边形,则DE=AC=3,CE=AD=1.根据勾股定理的逆定理即可证明三角形BDE是直角三角形.根据梯形的面积即为直角三角形BDE的面积进行计算.
【解答】解:过点D作DE∥AC,交BC的延长线于点E,
则四边形ACED是平行四边形
∴DE=AC=3,CE=AD=1
在三角形BDE中,∵BD=4,DE=3,BE=5.
∴根据勾股定理的逆定理,得三角形BDE是直角三角形.
∵四边形ACED是平行四边形
∴AD=CE,
∴AD+BC=BE,
∵梯形ABCD与三角形BDE的高相等,
∴梯形的面积即是三角形BDE的面积,即3×4÷2=6.
故答案是:6.
 
18.某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米,6小时可以将满池水全部排空.现在排水量为平均每小时Q立方米,那么将满池水排空所需要的时间为t(小时),写出时间t(小时)与Q之间的函数表达式       .
【考点】根据实际问题列反比例函数关系式.
【分析】根据蓄水量=每小时排水量×排水时间,即可算出该蓄水池的蓄水总量,再由防水时间=蓄水总量÷每小时的排水量即可得出时间t(小时)与Q之间的函数表达式.
【解答】解:∵某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米,6小时可以将满池水全部排空,
∴该水池的蓄水量为8×6=48(立方米),
∵Qt=48,
∴t= .
故答案为:t= .
19.在直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(﹣2,4)、(﹣5,2),点M、N分别是x轴、y轴上的点,若以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形,则点M的横坐标的所有可能的值是           .
【考点】平行四边形的性质;坐标与图形性质.
【分析】根据“一组对边相等且平行的四边形是平行四边形”,画出图形,得出点M的横坐标即可.
【解答】解:如图所示:
当AB平行且等于N1M1时,四边形ABM1N1是平行四边形;
当AB平行且等于N2M2时,四边形ABN2M2是平行四边形;
当AB为对角线时,四边形AN3BM3是平行四边形.
故符合题意的有3个点,点M的横坐标分别为﹣7,﹣3,3.
故答案为:﹣7,﹣3,3.
 
20.已知一次函数与反比例函数的图象交于点P(﹣2,1)和Q(1,m),如图是在同一直角坐标系中这两个函数图象的示意图,观察图象并回答:
写出当x的值在什么范围内时?一次函数的值大于反比例函数的值.
写出x的值的范围             .
 
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.
【分析】根据函数图象进行观察,写出一次函数图象在反比例函数图象上方时所有点的横坐标的集合即可.
【解答】解:∵一次函数与反比例函数的图象交于点P(﹣2,1)和Q(1,m),
∴由图可得,当一次函数图象在反比例函数图象上方时,x<﹣2或0<x<1,
即当x<﹣2或0<x<1时,一次函数的值大于反比例函数的值.
故答案为:x<﹣2或0<x<1
 
21.计算:
(1)(2 ﹣3 )×
(2) +3 ﹣ + 
(3) ﹣
(4) ÷ .
【考点】二次根式的混合运算;分式的混合运算.
【分析】(1)先化简,再进行二次根式的乘法运算;
(2)先化简二次根式,再合并同类二次根式即可;
(3)先通分,再进行分式的加减运算即可;
(4)先把分母因式分解,再约分即可.
【解答】解:(1)原式=(4 ﹣ )×
=3 ×
=9 ;
(2)原式=2 + ﹣ +
= +
= ;
(3)原式= =1;
(4)原式= • = = .
22.解方程:  =2﹣ .
【考点】解分式方程.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
【解答】解:方程两边都乘(2x﹣1),得
x=2(2x﹣1)+3,
解得x=﹣ .
检验:当x=﹣ 时,2x﹣1=﹣1 ≠0.
故原方程的解是x=﹣ .
23.已知甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同,两人每天共做140个零件,甲、乙两人每天各做多少个零件?
【考点】分式方程的应用.
【分析】设甲每天做x个,则乙每天做个,根据“甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同”列出方程,求出方程的解即可得到结果.
【解答】解:设甲每天做x个,则乙每天做个,
根据题意得:  = ,
解之得:x=60,
经检验x=60是分式方程的解,且符合题意,
∴140﹣x=140﹣60=80(个),
答:甲每天做60个,乙每天做80个
24.如图,在平面直角坐标系中,△OAB的顶点坐标分别为O (0,0),A (2,4),B (4,0),分别将点A、B的横坐标、纵坐标都乘以1.5,得相应的点A'、B'的坐标.
(1)画出OA'B':
(2)△OA'B'与△AOB           位似图形:(填“是”或“不是”)
(3)若线段AB上有一点D (x0,y0),按上述变换后对应的A'B'上点的坐标是                       .
 
【考点】作图-位似变换.
【分析】(1)直接利用将点A、B的横坐标、纵坐标都乘以1.5,得相应的点A'、B'的坐标,即可得出答案;
(2)利用位似图形的定义得出答案;
(3)利用位似图形的性质即可得出对应点坐标.
【解答】解:(1)如图所示:△OA'B',即为所求;

(2)△OA'B'与△AOB是位似图形;
故答案为:是;

(3)若线段AB上有一点D (x0,y0),按上述变换后对应的A'B'上点的坐标是:(1.5x0,1.5y0).
故答案为:(1.5x0,1.5y0).
 
25.在读书月活动中,学校准备购买一批课外读物,为使课外读物满足同学们的需求,学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查(每位同学只选一类),如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图.
请你根据统计图提供的信息,解答下列问题:
 
(1)本次调查中,一共调查了       名同学;
(2)条形统计图中,m=     ,n=         ;
(3)扇形统计图中,艺术类读物所在扇形的圆心角是      度;
(4)学校计划购买课外读物5000册,请根据样本数据,估计学校购买其他类读物多少册比较合理?
【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.
【分析】(1)结合两个统计图,根据条形图得出文学类人数为:70,利用扇形图得出文学类所占百分比为:35%,即可得出总人数;
(2)利用科普类所占百分比为:30%,则科普类人数为:n=200×30%=60人,即可得出m的值;
(3)利用360°乘以对应的百分比即可求解;
(4)根据喜欢其他类读物人数所占的百分比,即可估计6000册中其他读物的数量;
【解答】解:(1)根据条形图得出文学类人数为:70,利用扇形图得出文学类所占百分比为:35%,
故本次调查中,一共调查了:70÷35%=200人,
故答案为:200;

(2)根据科普类所占百分比为:30%,
则科普类人数为:n=200×30%=60人,
m=200﹣70﹣30﹣60=40人,
故m=40,n=60;
故答案为:40,60;

(3)艺术类读物所在扇形的圆心角是: ×360°=72°,
故答案为:72;

(4)由题意,得5000× =750(册).
答:学校购买其他类读物750册比较合理.
26.几位同学尝试用矩形纸条ABCD(如图1)折出常见的中心对称图形.
 
(1)如图2,小明将矩形纸条先对折,使AB和DC重合,展开后得折痕EF,再折出四边形ABEF和CDEF的对角线,它们的对角线分别相交于点G,H,最后将纸片展平,则四边形EGFH的形状一定是          .
(2)如图3,小华将矩形纸片沿EF翻折,使点C,D分别落在矩形外部的点C′,D′处,FC′与AD交于点G,延长D′G交BC于点H,求证:四边形EGFH是菱形.
(3)如图4,小美将矩形纸条两端向中间翻折,使得点A,C落在矩形内部的点A′,C′处,点B,D落在矩形外部的点B′,D′处,折痕分别为EF,GH,且点H,C′,A′,F在同一条直线上,试判断四边形EFGH的形状,并说明理由.
【考点】四边形综合题.
【分析】(1)由折叠的性质,易证得四边形AECF与四边形BFDE是平行四边形,继而可证得四边形EGFH是平行四边形,又由折叠的性质,证得∠AFE=∠DFE,即可得四边形EGFH的形状一定是菱形;
(2)易得四边形EGFH是平行四边形,又由折叠的性质得:∠CFE=∠GFE,继而证得GE=GF,则可得四边形EGFH是菱形;
(3)首先由矩形ABCD中,AD∥BC,可得∠AHF=∠CFH,由折叠的性质得:∠GHF= ∠AHF,∠EFH= ∠CFH,继而证得GH∥EF,继而可证得四边形EFGH是平行四边形.
【解答】(1)菱形.
理由:∵小明将矩形纸条先对折,使AB和DC重合,展开后得折痕EF,
∴AB∥BC,AE=ED=BF=CF,
∴四边形AECF与四边形BFDE是平行四边形,
∴AF∥CE,BE∥DF,
∴四边形EGFH是平行四边形,
∵EF⊥AD,AE=DE,
∴AF=DF,
∴∠EFG=∠EFH,
∵∠FEG=∠EFH,
∴∠EFG=∠FEG,
∴EG=FG,
∴四边形EGFH是菱形;
故答案为:菱形;

(2)证明:∵矩形ABCD中,AD∥BC,
∴EG∥FH,EH∥FG,
∴四边形EGFH是平行四边形,
∵AD∥BC,
∴∠AEF=∠CFE,
由折叠的性质得:∠CFE=∠GFE,
∴∠AEF=∠GFE,
∴GE=GF,
∴▱EGFH是菱形;

(3)解:平行四边形.
理由:∵矩形ABCD中,AD∥BC,
∴∠AHF=∠CFH,
由折叠的性质得:∠GHF= ∠AHF,∠EFH= ∠CFH,
∴∠GHF=∠EFH,
∴GH∥EF,
∵EH∥FG,
∴四边形EFGH是平行四边形.
27.如图,已知反比例函数y= 的图象经过点A (﹣1,a),过点A作AB⊥x轴,垂足为点B,△AOB的面积为 .
(1)求a、k的值;
(2)若一次函数y=mx+n图象经过点A和反比例函数图象上另一点C (t,﹣ ),且与x轴交于M点,求AM的值;
(3)在(2)的条件下,如果以线段AM为一边作等边△AMN,顶点N在一次数函数y=bx上,则b=        .
 
【考点】反比例函数综合题.
【分析】(1)根据点A的坐标以及三角形的面积公式即可求出a值,再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k的值;
(2)根据反比例函数解析式可求出点C的坐标,由点A、C的坐标利用待定系数法即可求出直线AM的解析式,令线AM的解析式中y=0求出x值,即可得出点M的坐标,再利用勾股定理即可求出线段AM的长度;
(3)设点N的坐标为(m,n),由等边三角形的性质结合两点间的距离公式即可得出关于m、n的二元二次方程组,解方程组即可得出n与m之间的关系,由此即可得出b值.
【解答】解:(1)∵S△AOB= OB•AB= ,
∴ ×1×a= ,
∴a= .
∴点A(﹣1, ).
∵反比例函数y= 的图象经过点A (﹣1, ),
∴k=﹣ .
(2)∵C (t,﹣ )在反比例函数y=﹣ 的图象上,
∴﹣ t=﹣ ,解得:t=3,
∴C(3,﹣ ).
将A(﹣1, )、C(3,﹣ )代入y=mx+n中,
得: ,解得: ,
∴直线AM的解析式为y=﹣ x+ .
令y=﹣ x+ 中y=0,则x=2,
∴M(2,0).
在Rt△ABM中,AB= ,BM=2﹣(﹣1)=3,
∴AM= =2 .
(3)设点N的坐标为(m,n),
∵△AMN为等边三角形,且AM=2 ,A(﹣1, ),M(2,0),
∴ ,
解得:n= m.
∵顶点N(m,n)在一次数函数y=bx上,
∴b= .
故答案为: .

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