2017-2018学年长春八年级下数学第一次月考试卷(含答案和解释)

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2017-2018学年长春八年级下数学第一次月考试卷(含答案和解释)

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2017-2018学年吉林省长春XX学校八年级(下)第一次月考数学试卷
 
一、选择题(每题三分)
1.(3分)下列各式是分式的是(  )
A.  B.  C.x+1 D.
2.(3分)若分式 无意义,则x的取值是(  )
A.x=2或x=﹣2 B.x=2 C.x=﹣2 D.x=0
3.(3分)如果把 中的x、y都扩大5倍,那么分式的值(  )
A.扩大5倍 B.不变 C.缩小5倍 D.扩大4倍
4.(3分)把分式方程 ﹣ =2化为整式方程正确的是(  )
A.1﹣x﹣2=2 B.1﹣(x﹣2)=2(x﹣1) C.1+(x﹣2)=2(x﹣1) D.1+(x﹣2)=2
5.(3分)已知一次函数y=mx+|m+1|的图象与y轴交于点(0,3),且y随x的增大而增大,则m的值为(  )
A.2 B.﹣4 C.﹣2或﹣4 D.2或﹣4
6.(3分)已知一次函数y=kx+k,其在直角坐标系中的图象大体是(  )
A.  B.  C.  D.
7.(3分)如图,矩形ABCD沿AE折叠,使D点落在BC边上的F点处,如果∠BAF=60°,则∠AEF=(  )
 
A.60° B.70° C.75° D.80°
8.(3分)某工厂计划每天生产x吨生产资料,采用新技术后每天多生产3吨,实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等,那么适合x的方程是(  )
A.  B.  C.  D.
 
二、填空题(每题3分)
9.(3分)若分式 的值为0,则x=     .
10.(3分)在显微镜下一个球形细菌的直径是0.0000053米,则用科学记数法可表示为     米.
11.(3分)若关于x的方程 有增根,则a=     .
12.(3分)平面直角坐标系中一点P(m﹣3,1﹣2m)在第三象限,则m的取值范围是     .
13.(3分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AB=5,BD=6,则菱形ABCD的面积是     .
 
14.(3分)已知一次函数y=2x+b的图象与坐标轴围成一个三角形,这个三角形的面积是4,则b的值是     .
 
三、解答题
15.(12分)计算:
(1)            
(2) 
(3)                  
(4) +
16.(8分)解下列方程:
(1) =                   
(2)
17.(6分)先化简  ﹣ ,且在﹣3,0,1,2中选择一个数代入求值.
18.(6分)已知一次函数y=kx+b的图象与y=3x的图象平行,且经过点(﹣1,1),求这个一次函数的关系式,并求当x=5时,对应函数y的值.
19.(8分)某校举行书法比赛,为奖励优胜学生,购买了一些钢笔和毛笔,毛笔单价是钢笔单价的1.5倍,购买钢笔用了1500元,购买毛笔用了1800元,购买的钢笔支数比毛笔多30支,钢笔、毛笔的单价分别为多少元?
20.(8分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于F,连接CF.
(1)求证:四边形ADCF是平行四边形;
(2)如果AB=AC,试猜测四边形ADCF的形状,并证明你的结论.
 
21.(8分)已知方程x+ =2+ 的解是x1=2,x2=
方程x+ =3+ 的解是x1=3,x2=
方程x+ =4+ 的解是x1=4,x2=  ……
观察上述方程及方程的解,回答下列问题:
(1)关于x的方程x+ =a+ 的解是什么?并用方程解的概念验证你的猜想是否正确;
(2)根据结论求出关于x的方程x+ =b+ 的解.
22.(10分)某化妆品公司每月付给销售人员的工资有两种方案:
方案一:没有底薪,只拿销售提成;
方案二:底薪加销售提成.;
设x(件)是销售商品的数量,y(元)是销售人员的月工资. 如右图所示,y1为方案一的函数图象,y2为方案二的函数图象.从图中信息解答如下问题):
(1)方案一每件商品提成是     元;
方案二每件商品提成是     元;
(2)求y1和y2的函数关系式;
(3)如果该公司销售人员小丽这个月销售了60件的商品,那么她采用哪种方案获得的报酬会更多一些?
 
23.(12分)如图,在平面直角坐标系中,直线BE⊥x轴,交x轴与点D,点D坐标是(﹣4,0)直线y=﹣ x﹣1与x轴和直线BE交于点C、E,点A在y轴上,且坐标为(0,m),且(m>0),连接AC,交直线BE于点B.
(1)当m=4时,求直线AC的函数表达式及C、B坐标;
(2)当m为何值时,△ACO≌△FCO,并说明理由;
(3)若S四边形DEFO=S△CDB,则点A坐标是多少?
 
 
 

2017-2018学年吉林省长春外国语学校八年级(下)第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
 
一、选择题(每题三分)
1.(3分)下列各式是分式的是(  )
A.  B.  C.x+1 D.
【考点】61:分式的定义.
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母,如果含有字母则是分式,如果不含有字母则不是分式.
【解答】解:A、 分母中不含有字母,因此它是整式,而不是分式.故本选项错误;
B、 的分母中含有字母,因此它是分式.故本选项正确;
C、x+1的分母中均不含有字母,因此它是整式,而不是分式.故本选项错误;
D、 的分母中均不含有字母,因此它是整式,而不是分式.故本选项错误;
故选:B.
【点评】本题主要考查分式的概念,分式与整式的区别主要在于:分母中是否含有未知数.
 
2.(3分)若分式 无意义,则x的取值是(  )
A.x=2或x=﹣2 B.x=2 C.x=﹣2 D.x=0
【考点】62:分式有意义的条件.
【分析】当分母为0时分式无意义,令x2﹣4=0即可求出x.
【解答】解:分式无意义,则可知x2﹣4=0,解得x=±2;
故选:A.
【点评】考查了分式有意义的条件.分式有意义的条件是分母不等于零;分式无意义的条件是分母等于零.
 
3.(3分)如果把 中的x、y都扩大5倍,那么分式的值(  )
A.扩大5倍 B.不变 C.缩小5倍 D.扩大4倍
【考点】65:分式的基本性质.
【分析】把x,y分别换为5x,5y,化简后即可作出判断.
【解答】解:根据题意得:  = ,
则分式的值不变,
故选:B.
【点评】此题考查了分式的基本性质,熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键.
 
4.(3分)把分式方程 ﹣ =2化为整式方程正确的是(  )
A.1﹣x﹣2=2 B.1﹣(x﹣2)=2(x﹣1) C.1+(x﹣2)=2(x﹣1) D.1+(x﹣2)=2
【考点】B3:解分式方程.
【分析】方程两边都乘以x﹣1即可得.
【解答】解:方程两边都乘以x﹣1,得:1+(x﹣2)=2(x﹣1),
故选:C.
【点评】本题主要考查解分式方程,解题的关键是熟练掌握解分式方程的基本步骤.
 
5.(3分)已知一次函数y=mx+|m+1|的图象与y轴交于点(0,3),且y随x的增大而增大,则m的值为(  )
A.2 B.﹣4 C.﹣2或﹣4 D.2或﹣4
【考点】F5:一次函数的性质;F8:一次函数图象上点的坐标特征.
【分析】根据一次函数的性质求解.
【解答】解:∵一次函数y=mx+|m+1|的图象与y轴交于点(0,3),且y随x的增大而增大,∴m>0,|m+1|>0,
把点(0,3)代入y=mx+|m+1|得:3=|m+1|=m+1,m=2.
故选:A.
【点评】一次函数y=kx+b的图象有四种情况:
①当k>0,b>0,函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限,y的值随x的值增大而增大;
②当k>0,b<0,函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限,y的值随x的值增大而增大;
③当k<0,b>0时,函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限,y的值随x的值增大而减小;
④当k<0,b<0时,函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限,y的值随x的值增大而减小.
 
6.(3分)已知一次函数y=kx+k,其在直角坐标系中的图象大体是(  )
A.  B.  C.  D.
【考点】F3:一次函数的图象.
【分析】函数的解析式可化为y=K(x+1),易得其图象与x轴的交点为(﹣1,0),分析选项可得答案.
【解答】解:函数的解析式可化为y=K(x+1),
即函数图象与x轴的交点为(﹣1,0),
分析可得,A符合,
故选:A.
【点评】本题考查一次函数的图象,要求学生掌握通过解析判断其图象与坐标轴的交点位置、坐标.
 
7.(3分)如图,矩形ABCD沿AE折叠,使D点落在BC边上的F点处,如果∠BAF=60°,则∠AEF=(  )
 
A.60° B.70° C.75° D.80°
【考点】LB:矩形的性质.
【分析】根据矩形的性质,求出∠EAF=15°,从而得出∠AEF的度数即可.
【解答】解:∵∠EAF是∠DAE折叠而成,
∴∠EAF=∠DAE,∠ADC=∠AFE=90°,∠EAF= = =15°,
在△AEF中∠AFE=90°,∠EAF=15°,
∠AEF=180°﹣∠AFE﹣∠EAF=180°﹣90°﹣15°=75°.
故选:C.
【点评】本题考查了矩形的性质,图形的折叠实际上相当于把折叠部分沿着折痕所在直线作轴对称,所以折叠前后的两个图形是全等三角形,复合的部分就是对应量.
 
8.(3分)某工厂计划每天生产x吨生产资料,采用新技术后每天多生产3吨,实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等,那么适合x的方程是(  )
A.  B.  C.  D.
【考点】B6:由实际问题抽象出分式方程.
【分析】根据实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等,可以建立方程,从而可以得到哪个选项是正确的.
【解答】解:由题意可得,
 = ,
故选:C.
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程,解题的关键是明确题意,找出题目中的等量关系,列出方程.
 
二、填空题(每题3分)
9.(3分)若分式 的值为0,则x= 2 .
【考点】63:分式的值为零的条件.
【分析】分式值为零的条件:分子等于零且分母不等于零,所以 ,据此求出x的值是多少即可.
【解答】解:∵分式 的值为0,

解得x=2.
故答案为:2.
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零.
 
10.(3分)在显微镜下一个球形细菌的直径是0.0000053米,则用科学记数法可表示为 5.3×10﹣6 米.
【考点】1J:科学记数法—表示较小的数.
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10﹣n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
【解答】解:0.0000053米,则用科学记数法可表示为5.3×10﹣6米.
故答案为:5.3×10﹣6.
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为a×10﹣n,其中1≤|a|<10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
 
11.(3分)若关于x的方程 有增根,则a= 1 .
【考点】B5:分式方程的增根.
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根.所以应先确定增根的可能值,让最简公分母x﹣2=0,得到x=2,然后代入整式方程算出未知字母的值.
【解答】解;方程两边都乘(x﹣2),得
a=x﹣1﹣3(x﹣2),
∵原方程有增根,
∴最简公分母x﹣2=0,即x=2,
把x=2代入整式方程,得a=1.
故答案为1.
【点评】本题考查了分式方程的增根问题,对于此问题可按如下步骤进行:
①让最简公分母为0,确定增根;
②化分式方程为整式方程;
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.
 
12.(3分)平面直角坐标系中一点P(m﹣3,1﹣2m)在第三象限,则m的取值范围是 0.5<m<3 .
【考点】CB:解一元一次不等式组;D1:点的坐标.
【分析】根据第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数列式不等式组,然后求解即可.
【解答】解:∵点P(m﹣3,1﹣2m)在第三象限,
∴ ,
解得:0.5<m<3,
故答案为:0.5<m<3
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式,记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键,四个象限的符号特点分别是:第一象限(+,+);第二象限(﹣,+);第三象限(﹣,﹣);第四象限(+,﹣).
 
13.(3分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AB=5,BD=6,则菱形ABCD的面积是 24 .
 
【考点】L8:菱形的性质.
【分析】根据菱形的对角线互相垂直,利用勾股定理列式求出OA,再根据菱形的对角线互相平分求出AC、BD,然后利用菱形的面积等于对角线乘积的一半列式进行计算即可得解.
【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,
∴OB=OD=3,OA=OC,AC⊥BD,
在Rt△AOB中,∠AOB=90°,
根据勾股定理,得:OA= ,
∴AC=2OA=8,
∴S菱形ABCD= ×AC×BD= ×6×8=24.
故答案为:24
 
【点评】本题考查了菱形的周长公式,菱形的对角线互相垂直平分线的性质,勾股定理的应用,比较简单,熟记性质是解题的关键.
 
14.(3分)已知一次函数y=2x+b的图象与坐标轴围成一个三角形,这个三角形的面积是4,则b的值是 ±4 .
【考点】F8:一次函数图象上点的坐标特征.
【分析】利用一次函数y=2x+b的图象与x轴交点和与y轴交点的特点求出坐标,以及图象与坐标轴所围成的三角形是直角三角形求解.
【解答】解:当y=0时,0=2x+b,
∴x=﹣ ;
当x=0时,y=b,
∴一次函数y=2x+b的图象与坐标轴所围成的三角形面积: ×|﹣ |×|b|=4,
解得b=±4,
故答案为:±4
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,本题利用了直线与x轴的交点的纵坐标为0,直线与y轴的交点的横坐标为0求解.
 
三、解答题
15.(12分)计算:
(1)            
(2) 
(3)                  
(4) +
【考点】6C:分式的混合运算.
【分析】(1)根据分式的除法可以解答本题;
(2)根据幂的乘方和分式乘法可以解答本题;
(3)根据分式的除法可以解答本题;
(4)根据分式的加法可以解答本题.
【解答】解:(1)  
=
= ;        
(2) 
=
= ;
(3)   
=
= ;              
(4) +
=
=
=
=
= .
【点评】本题考查分式的混合运算,解答本题的关键是明确分式的混合运算的计算方法.
 
16.(8分)解下列方程:
(1) =                   
(2)
【考点】B3:解分式方程.
【分析】(1)先把分式方程转化成整式方程,求出方程的解,再进行检验即可;
(2)先把分式方程转化成整式方程,求出方程的解,再进行检验即可.
【解答】解:(1)方程两边乘以(x+1)(2x﹣1)得:2(2x﹣1)=5(x+1),
解得:x=﹣7,
检验:当x=﹣7时,(x+1)(2x﹣1)≠0,
即x=﹣7是原方程的解,
所以原方程的解为x=﹣7;

(2)方程两边乘以x﹣2得:1﹣x=﹣1﹣2(x﹣2),
解得:x=2,
检验:当x=2时,x﹣2=0,
即x=2不是原方程的解,
所以原方程无解.
【点评】本题考查了解分式方程,能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键.
 
17.(6分)先化简  ﹣ ,且在﹣3,0,1,2中选择一个数代入求值.
【考点】6D:分式的化简求值.
【分析】将分子、分母因式分解后约分,再通分、计算分式的减法,继而约分即可化简原式,最后选取使分式有意义的x的值代入计算可得.
【解答】解:原式= • ﹣
= ﹣
=
=﹣ ,
当x=1时,原式=﹣1.
【点评】本题主要考查分式的化简求值,解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则.
 
18.(6分)已知一次函数y=kx+b的图象与y=3x的图象平行,且经过点(﹣1,1),求这个一次函数的关系式,并求当x=5时,对应函数y的值.
【考点】FF:两条直线相交或平行问题.
【分析】根据两平行直线的解析式的k值相等求出k,然后把经过的点的坐标代入解析式计算求出b值,即可得解.
【解答】解:∵一次函数y=kx+b的图象平行于直线y=3x,
∴k=3,
∴y=3x+b
把点(﹣1,1)代入得,3=﹣1×3+b,
解得b=6,
所以,一次函数的解析式为,y=3x+6,
当x=5时,y=3×5+6=21.
【点评】本题考查了两直线平行的问题,根据平行直线解析式的k值相等求出k值是解题的关键,也是本题的突破口.
 
19.(8分)某校举行书法比赛,为奖励优胜学生,购买了一些钢笔和毛笔,毛笔单价是钢笔单价的1.5倍,购买钢笔用了1500元,购买毛笔用了1800元,购买的钢笔支数比毛笔多30支,钢笔、毛笔的单价分别为多少元?
【考点】B7:分式方程的应用.
【分析】首先设钢笔单价x元/支,则毛笔单价1.5x元/支,根据题意可得:1500元购买的钢笔数量﹣1800元购买的毛笔数量=30支,根据等量关系列出方程,再解即可.
【解答】解:设钢笔单价x元/支,由题意得:
 ﹣ =30,
解得:x=10,
经检验:x=10是原分式方程的解,
1.5x=1.5×10=15.
答:钢笔、毛笔的单价分别为10元,15元.
【点评】此题主要考查了分式方程的应用,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系,列出方程.
 
20.(8分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于F,连接CF.
(1)求证:四边形ADCF是平行四边形;
(2)如果AB=AC,试猜测四边形ADCF的形状,并证明你的结论.
 
【考点】L7:平行四边形的判定与性质;KD:全等三角形的判定与性质.
【分析】(1)利用△AEF≌△DEB得到AF=DB,所以AF=DC,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明四边形ADCF为平行四边形;
(2)利用等腰三角形的性质以及矩形的判定得出即可;
【解答】(1)证明:∵AF∥BC,
∴∠FAE=∠EDB,∠AFE=∠EBD.
在△AEF和△DEB中,
 ,
∴△AEF≌△DEB(AAS),
∴AF=DB,
又∵BD=DC,
∴AF=DC,
∴四边形ADCF为平行四边形;
(2)四边形ADCF为矩形;
理由:连接AB,
∵AB=AC,D为BC的中点,
∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°
∴平行四边形AFCD为矩形
 
【点评】此题主要考查了矩形的判定和全等三角形的判定等知识,利用了全等三角形的判定与性质,平行四边形的判定,矩形的判定是解题关键.
 
21.(8分)已知方程x+ =2+ 的解是x1=2,x2=
方程x+ =3+ 的解是x1=3,x2=
方程x+ =4+ 的解是x1=4,x2=  ……
观察上述方程及方程的解,回答下列问题:
(1)关于x的方程x+ =a+ 的解是什么?并用方程解的概念验证你的猜想是否正确;
(2)根据结论求出关于x的方程x+ =b+ 的解.
【考点】B3:解分式方程.
【分析】(1)本题可根据给出的方程的解的概念,来求出所求的方程的解.
(2)本题要求的方程和题目给出的例子中的方程形式不一致,可先将所求的方程进行变形.变成式子中的形式后再根据给出的规律进行求解.
【解答】解:(1)根据题意知x=a或x= ,
当x=a时,左边=a+ =右边,
所以x=a是分式方程的解;
当x= 时,左边= + = +a=右边,
所以x= 是分式方程的解;
综上,x=a或x= 是分式方程的解;

(2)∵x+ =b+ ,
∴x﹣3+ =b﹣3+ ,
则x﹣3=b﹣3或x﹣3= ,
解得:x=b或x= .
【点评】本题考查了分式方程的解,要注意给出的例子中的方程与解的规律,还要注意套用列子中的规律时,要保证所求方程与例子中的方程的形式一致.
 
22.(10分)某化妆品公司每月付给销售人员的工资有两种方案:
方案一:没有底薪,只拿销售提成;
方案二:底薪加销售提成.;
设x(件)是销售商品的数量,y(元)是销售人员的月工资. 如右图所示,y1为方案一的函数图象,y2为方案二的函数图象.从图中信息解答如下问题):
(1)方案一每件商品提成是 14 元;
方案二每件商品提成是 7 元;
(2)求y1和y2的函数关系式;
(3)如果该公司销售人员小丽这个月销售了60件的商品,那么她采用哪种方案获得的报酬会更多一些?
 
【考点】FH:一次函数的应用.
【分析】(1)根据题意和函数图象可以求得方案一和方案二的每件商品提成;
(2)根据函数图象中的数据可以求得y1和y2的函数关系式;
(3)根据(2)中的函数解析式可以分别求得两种方案的报酬,然后比较大小即可解答本题.
【解答】解:(1)由图象可得,
方案一每件商品提成是:420÷30=14(元),
方案二每件商品提成是:(560﹣350)÷30=7(元),
故答案为:14,7;
(2)设y1与x的函数关系式是y1=kx,
30k=420,得k=14,
即y1与x的函数关系式是y1=14x,
设y2与x的函数关系式是y2=ax+b,
 ,得 ,
即y2与x的函数关系式是y2=7x+350;
(3)当x=60时,
y1=14×60=840,
y2=7×60+350=770,
∵840>770,
∴她采用方案一获得的报酬会更多一些.
【点评】本题考查一次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,求出相应的函数解析式,利用函数的性质解答.
 
23.(12分)如图,在平面直角坐标系中,直线BE⊥x轴,交x轴与点D,点D坐标是(﹣4,0)直线y=﹣ x﹣1与x轴和直线BE交于点C、E,点A在y轴上,且坐标为(0,m),且(m>0),连接AC,交直线BE于点B.
(1)当m=4时,求直线AC的函数表达式及C、B坐标;
(2)当m为何值时,△ACO≌△FCO,并说明理由;
(3)若S四边形DEFO=S△CDB,则点A坐标是多少?
 
【考点】FI:一次函数综合题.
【分析】(1)利用待定系数法求出直线AC的解析式,根据坐标轴上点的坐标特征求出C、B坐标;
(2)根据一次函数解析式求出点F的坐标,得到OF的长,根据全等三角形的性质解答;
(3)根据相似三角形的性质求出DE,根据梯形面积公式求出S四边形DEFO,根据题意列出算式,计算即可.
【解答】解:(1)对于直线y=﹣ x﹣1,
当y=0时,0=﹣ x﹣1,
解得,x=﹣8,
则点C的坐标为(﹣8,0),
当m=4时,点A坐标为(0,4),
设直线AC的解析式为:y=kx+b,
则 ,
解得,k= ,b=4,
则直线AC的解析式为:y= x+4,
直线AC交直线BE于点B,点D坐标是(﹣4,0),直线BE⊥x轴,
当x=﹣4时,y=2,
∴点B的坐标为(﹣4,2);
(2)当x=0时,y=﹣ x﹣1=﹣1,
∴点F的坐标为(0,﹣1),即OF=1,
当△ACO≌△FCO时,OA=OF=1,
∴m=1;
(3)∵DE∥OF,CD=DO,
∴DE= OF= ,
∴S四边形DEFO= ×( +1)×4=3,
由题意得, ×BD×4=3,
解得,BD= ,
∵BD∥OA,CD=DO,
∴AO=2BD=3,
∴m=3,即点A坐标是(0,3).
【点评】本题考查的是一次函数的知识、相似三角形的判定和性质,掌握待定系数法求一次函数解析式的一般步骤是解题的关键.

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