2017-2018学年广州八年级数学下期中试卷(带答案和解释)

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2017-2018学年广州八年级数学下期中试卷(带答案和解释)

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j.Co M

2017-2018学年广东省广州XX中学八年级(下)期中数学试卷
 
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)下列根式中,不是最简二次根式的是(  )
A.  B.  C.  D.
2.(3分)下列各组数中,以a,b,c为边的三角形不是直角三角形的是(  )
A.a=1.5,b=2,c=3 B.a=7,b=24,c=25
C.a=6,b=8,c=10 D.a=3,b=4,c=5
3.(3分)根据下列条件,不能判定四边形是平行四边形的是(  )
A.一组对边平行且相等的四边形
B.两组对边分别相等的四边形
C.对角线相等的四边形
D.对角线互相平分的四边形
4.(3分)已知三角形的三边长之比为1:1: ,则此三角形一定是(  )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
5.(3分)如图,把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合,若∠1=50°,则∠AEF=(  )
 
A.110° B.115° C.120° D.130°
6.(3分)实数a、b在数轴上对应的位置如图,则 =(  )
A.b﹣a B.2﹣a﹣b C.a﹣b D.2+a﹣b
7.(3分)如图,在周长为20cm的▱ABCD中,AB≠AD,对角线AC、BD相交于点O,OE⊥BD交AD于E,则△ABE的周长为(  )
 
A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm
8.(3分)如图是一个圆柱形饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是(  )
 
A.12≤a≤13 B.12≤a≤15 C.5≤a≤12 D.5≤a≤13
9. (3分)如图,在直角坐标系中,将矩形OABC沿OB对折,使点A落在A1处,已知OA= ,AB=1,则点A1的坐标是(  )
 
A.( ) B.( ) C.( ) D.( )
10.(3分)已知:如图,在正方形ABCD外取一点E,连接AE、BE、DE.过点A作AE的垂线交DE于点P.若AE=AP=1,PB= .下列结论:
①△APD≌△AEB;
②点B到直线AE的距离为 ;
③EB⊥ED;
④S△APD+S△APB=1+ ;
⑤S正方形ABCD=4+ .
其中正确结论的序号是(  )
 
A.①③④ B.①②⑤ C.③④⑤ D.①③⑤
 
二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
11.(3分)计算 的结果是     .
12.(3分)要使式子 有意义,则a的取值范围为     .
13.(3分)直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为     .
14.(3分)如图,在▱ABCD中,AB=7,AD=11,DE平分∠ADC,则BE=     .
 
15.(3分)如图,ABCD是对角线互相垂直的四边形,且OB=OD,请你添加一个适当的条件     ,使ABCD成为菱形(只需添加一个即可)
 
16.(3分)如图,在直角坐标系中,已知点A(﹣3,0)、B(0,4),对△OAB连续作旋转变换,依次得到△1、△2、△3、△4…,则△2013的直角顶点的坐标为     .
 
 
三、计算题(共9小题,共20分)
17.(20分)(1)计算 +| ﹣1|﹣π0+( )﹣1;
(2) + ÷ (a>0);
(3)先化简,后计算:  + + ,其中a= ,b= .
18.(8分)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上,请按要求完成下列各题:
(1)画线段AD∥BC且使AD=BC,连接CD;
(2)线段AC的长为     ,CD的长为     ,AD的长为     ;
(3)△ACD为     三角形,四边形ABCD的面积为     .
 
19.(8分)如图,在△ABC中,∠A=30°,∠ACB=105°,CD⊥AB于D,BC=2cm,求AC和AB的长.(结果保留二次根式)
 
20.(8分)有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食,它的巢筑在距离该树24m远的一棵大树上,大树高14m,且巢离树顶部1m,当它听到巢中幼鸟的叫声,立即赶过去,如果它飞行的速度为5m/s,那它至少需要多少时间才能赶回巢中?(画出符合题意的几何图形,并求解)
 
21.(8分)如图,在▱ABCD中,O是对角线AC和BD的交点,OE⊥AD于E,OF⊥BC于F.求证:OE=OF.
 
22.(12分)如图,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分∠ABC,P是BD上一点,过点P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M,N.
(1)求证:∠ADB=∠CDB;
(2)若∠ADC=90°,求证:四边形MPND 是正方形.
 
23.(12分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B>∠A,点D为边AB的中点,DE∥BC交AC于点E,CF∥AB交DE的延长线于点F.
(1)求证:DE=EF;
(2)连结CD,过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G,求证:∠B= ∠A+∠DGC.
 
24.(12分)先观察下列等式,再回答下列问题:
① ;
② ;
③ .
(1)请你根据上面三个等式提供的信息,猜想 的结果,并验证;
(2)请你按照上面各等式反映的规律,试写出用含n的式子表示的等式(n为正整数).
25.(14分)如图1,在△ABC中,AB=BC,P为AB边上一点,连接CP,以PA、PC为邻边作▱APCD,AC与PD相交于点E,已知∠ABC=∠AEP=α(0°<α<90°).
(1)求证:∠EAP=∠EPA;
(2)▱APCD是否为矩形?请说明理由;
(3)如图2,F为BC中点,连接FP,将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度,得到∠MEN(点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点).猜想线段EM与EN之间的数量关系,并证明你的结论.
 
 
 
 
参考答案与试题解析
 
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)下列根式中,不是最简二次根式的是(  )
A.  B.  C.  D.
【解答】解:C、∵ = = ;
∴它不是最简二次根式.
故选:C.
 
2.(3分)下列各组数中,以a,b,c为边的三角形不是直角三角形的是(  )
A.a=1.5,b=2,c=3 B.a=7,b=24,c=25
C.a=6,b=8,c=10 D.a=3,b=4,c=5
【解答】解:A、∵1.52+22≠32,∴该三角形不是直角三角形, 故A选项符合题意;
B、∵72+242=252,∴该三角形是直角三角形,故B选项不符合题意;
C、∵62+82=102,∴该三角形是直角三角形,故C选项不符合题意;
D、∵32+42=52,∴该三角形不是直角三角形,故D选项不符合题意.
故选:A.
 
3.(3分)根据下列条件,不能判定四边形是平行四边形的是(  )
A.一组对边平行且相等的四边形
B.两组对边分别相等的四边形
C.对角线相等的四边形
D.对角线互相平分的四边形
【解答】解:A、∵AD=BC,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,故本选项正确;
B、∵AD=BC,AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,故本选项正确;
C、由AC=BD,不能推出四边形ABCD是平行四边形,故本选项错误;
D、∵OA=OC,OD=OB,
∴四边形ABCD是平行四边形,故本选项正确;
故选:C.
  [
 
4.(3分)已知三角形的三边长之比为1:1: ,则此三角形一定是(  )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
【解答】解:由题意设三边长分别为:x,x,  x
∵x2+x2=( x)2,∴三角形一定为直角三角形,并且是等腰三角形.
故选:D.
 
5.(3分)如图,把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合,若∠1=50°,则∠AEF=(  )
 
A.110° B.115° C.120° D.130°
【解答】解:根据题意得:∠2=∠3,
∵∠1+∠2+∠3=180°,
∴∠2=(180°﹣50°)÷2=65°,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠AEF+∠2=180°,
∴∠AEF=180°﹣65°=115°.
故选:B.
 
 
6.(3分)实数a、b在数轴上对应的位置如图,则 =(  )
A.b﹣a B.2﹣a﹣b C.a﹣b D.2+a﹣b
【解答】解:由数轴上a、b所在的位置,可知a<1,0<b<1

=|b﹣1|﹣|a﹣1|
=1﹣b﹣1+a
=a﹣b
故选:C.
 
7.(3分)如图,在周长为20cm的▱ABCD中,AB≠AD,对角线AC、BD相交于点O,OE⊥BD交AD于E,则△ABE的周长为(  )
 
A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm
【解答】解:根据平行四边形的性质得:OB=OD,
∵EO⊥BD,
∴EO为BD的垂直平分线,
根据线段的垂直平分线上的点到两个端点的距离相等得:BE=DE,
∴△ABE的周长=AB+AE+DE=AB+AD= ×20=10cm.
故选:D.
 
8.(3分)如图是一个圆柱形饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是(  )
 
A.12≤a≤13 B.12≤a≤15 C.5≤a≤12 D.5≤a≤13
【解答】解:a的最小长度显然是圆柱的高12,最大长度根据勾股定理,得:  =13.
即a的取值范围是12≤a≤13.
故选:A.
 
9.(3分)如图,在直角坐标系中,将矩形OABC沿OB对折,使点A落在A 1处,已知OA= ,AB=1,则点A1的坐标是(  )
 
A.( ) B.( ) C.( ) D.( )
【解答】解:在Rt△AOB中,tan∠AOB= ,
∴∠AOB=30°.
而Rt△AOB≌Rt△A1OB,
∴∠A1OB=∠AOB=30°.
作A1D⊥OA,垂足为D,如图所示.
在Rt△A 1OD中,OA1=OA= ,∠A1OD=60°,
∵sin∠A1OD= ,
∴A1D=OA1•sin∠A1OD= .
又cos∠A1OD= ,
∴OD=OA1•cos∠A1OD= .
∴点A1的坐标是 .
故选:A.
 
 
10.(3分)已知:如 图,在正方形ABCD外取一点E,连接AE、BE、DE.过点A作AE的垂线交DE于点P.若AE=AP=1,PB= .下列结论:
①△APD≌△AEB;
②点B到直线AE的距离为 ;
③E B⊥ED;
④S△APD+S△APB=1+ ;
⑤S正方形ABCD=4+ .
其中正确结论的序号是(  )
 
A.①③④ B.①②⑤ C.③④⑤ D.①③⑤
【解答】解:①∵∠EAB+∠BAP=90°,∠PAD+∠BAP=90°,
∴∠EAB=∠PAD,
又∵AE=AP,AB=AD,
∴△APD≌△AEB(故①正确);
③∵△APD≌△AEB,
∴∠APD=∠AEB,
又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP,∠APD=∠AEP+∠PAE,
∴∠BEP=∠PAE=90°,
∴EB⊥ED(故③正确);
②过B作BF⊥AE,交AE的延长线于F,
∵AE=AP,∠EAP=90°,
∴∠AEP=∠APE=45°,
又∵③中EB⊥ED,BF⊥AF,
∴∠FEB=∠FBE=45°,
又∵BE= = = ,
∴BF=EF= (故②不正确);
④如图,连接BD,在Rt△AEP中,
∵AE=AP=1,
∴EP= ,
又∵PB= ,
∴BE= ,
∵△APD≌△AEB,
∴PD=BE= ,
∴S△ABP+S△ADP=S△ABD﹣S△BDP= S正方形ABCD﹣ ×DP×BE= ×(4+ )﹣ × × = + .(故④不正确).[来源:Z.xx.k.Com]
⑤∵EF=BF= ,AE=1,
∴在Rt△ABF中,AB2=(AE+EF)2+BF2=4+ ,
∴S正方形ABCD=AB2=4+ (故⑤正确);
故选:D.
 
 
二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
11.(3分)计算 的结果是 3 .
【解答】解:原式=(5 ﹣2 )÷ =3.
故答案为:3.
 
12.(3分)要使式子 有意义,则a的取值范围为 a≥﹣2且a≠0 .
【解答】解:根据题意得:a+2≥0且a≠0,
解得:a≥﹣2且a≠0.
故答案为:a≥﹣2且a≠0.
 
13.(3分)直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为   .
【解答】解:由勾股定理可得:斜边长2=52+122,
则斜边长=13,
直角 三角形面积S= ×5×12= ×13×斜边的高,
可得:斜边的高= .
故答案为: .
 
14.(3分)如图,在▱ABCD中,AB=7,AD=11,DE平分∠ADC,则BE= 4 .
 
【解答】解:∵DE平分∠ADC,
∴∠ADE=∠CDE,
∵▱ABCD中AD∥BC,
∴∠ADE=∠CED,
∴∠CDE=∠CED,[来源:学科网ZXXK]
∴CE=CD,
∵在▱ABCD中,AB=7,AD=11,
∴CD=AB =7,BC=AD=11,
∴BE=BC﹣CE=11﹣7=4.
故答案为:4.
 
15.(3分)如图,ABCD是对角线互相垂直的四边形,且OB=OD,请你添加一个适当的条件 OA=OC ,使ABCD成为菱形(只需添加一个即可)
 
【解答】解:OA=OC,
∵OB=OD,OA=OC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵AC⊥BD,
∴平行四边形ABCD是菱形,
故答案为:OA=OC.
 
16.(3分)如图,在直角坐标系中,已知点A(﹣3,0)、B(0,4),对△OAB连续作旋转变换,依次得到△1、△2、△3、△4…,则△2013的直角顶点的坐标为 (8052,0) .
 
【解答】解:∵点A(﹣3,0)、B(0,4),
∴AB= =5,
由图可知,每三个三角形为一个循环组依次循环,一个循环组前进的长度为:4+5+3=12,
∵2013÷3=671,
∴△2013的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点,
∵671×12=8052,
∴△2013的直角顶点的坐标为(8052,0).
故答案为:(8052,0).
 
三、计算题(共9小题,共20分)
17.(20分)(1)计算 +| ﹣1|﹣π0+( )﹣1;
(2) + ÷ (a>0);
(3)先化简,后计算:  + + ,其中a= ,b= .
【解答】解:(1)原式=2 + ﹣1﹣1+2=3
(2)原式=3 + • ÷
=3 + •
=3 +
(3)当a= ,b= 时,
原式= + +
= +
=
=
 
18.(8分)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上,请按要求完成下列各题:
(1)画线段AD∥BC且使AD=BC,连接CD;
(2)线段AC的长为 2  ,CD的长为   ,AD的长为 5 ;
(3)△ACD为 直角 三角形,四边形ABCD的面积为 10 .
 
【解答】解:(1)如图所示:

(2)AC= =2 ;
CD= = ;
AD= =5;

(3)∵(2 )2+( )2=52,
∴△ACD是直角三角形,
S四边形ABCD=4×6﹣ ×2×1﹣ ×4×3﹣ ×2×1﹣ ×3×4=10.
故答案为:2 , ,5;直角,10.
 
 
19.(8分)如图,在△ABC中,∠A=30°,∠ACB=105°,CD⊥AB于D,BC=2cm,求AC和AB的长.(结果保留二次根式)
 
【解答】解:∵在△ABC中,∠A=30°,∠ACB=105°,CD⊥AB于D,
∴在△ADC中,∠ADC=90°,∠ACD=60°
∴AC=2CD;
在△BDC中,∠BDC=90°,∠BCD=∠DBC=45°
∴CD=BD
由勾股定理可得,BD2+CD2=4
∴CD=BD= ,
∴AC=2 cm;
在△ADC中,
AD=AC•sin60°=2 • = ,
∴AB=AD+BD=( )cm.
 
20.(8分)有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食,它的巢筑在距离该树24m远的一棵大树上,大树高14m,且巢离树顶部1m,当它听到巢中幼鸟的叫声,立即赶过去,如果它飞行的速度为5m/s,那它至少需要多少时间才能赶回巢中?(画出符合题意的几何图形,并求解)
 
【解答】解:如图,由题意知AB=3m,CD=14﹣1=13(m),BD=24m.
过A作AE⊥CD于E.则CE=13﹣3=10(m),AE=24m,
在Rt△AEC中,
AC2=CE2+AE2=102+242.[来源:Z|xx|k.Com]
故AC=26m,
则26÷5=5.2(s),
答:它至少需要5.2s才能赶回巢中.
 
 
21.(8分)如图,在▱ABCD中,O是对角线AC和BD的交点,OE⊥AD于E,OF⊥BC于F.求证:OE=OF.
 
【解答】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,AD∥BC,
∴∠EAO=∠ FCO,
∵OE⊥AD,OF⊥BC,
∴∠AEO=∠CFO=90°,
在△AEO和△CFO中,
∵ ,
∴△AEO≌△CFO(AAS),
∴OE=OF.
 
22.(12分)如图,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平 分∠ABC,P是BD上一点,过点P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M,N.
(1)求证:∠ADB=∠CDB;
(2)若∠ADC=90°,求证:四边形MPND是正方形.
 
【解答】证明:(1)∵对角线BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,
在△ABD和△CBD中,
 ,
∴△ABD≌△CBD(SAS),
∴∠ADB=∠CDB;

(2)∵PM⊥AD,PN⊥CD,
∴∠PMD=∠PND=90°,
∵∠ADC=90°,
∴四边形MPND是矩形,
∵∠ADB=∠CDB,
∴∠ADB=45°
∴PM=MD,
∴四边形MPND是正方形.
 
 
23.(12分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B>∠A,点D为边AB的中点,DE∥BC交AC于点E,CF∥AB交DE的延长线于点F.
(1)求证:DE=EF;
(2)连结CD,过点D作DC的垂线 交CF的延长线于点G,求证:∠B=∠A+∠DGC.
 
【解答】证明:(1)∵DE∥BC,CF∥AB,
∴四边形DBCF为平行四边形 ,
∴DF=BC,
∵D为边AB的中点,DE∥BC,
∴DE= BC,
∴EF=DF﹣DE=BC﹣ CB= CB,
∴DE=EF;

(2)∵DB∥CF,
∴∠ADG=∠G,
∵∠ACB=90°,D为边AB的中点,
∴CD=DB=AD,
∴∠B=∠DCB,∠A=∠DCA,
∵DG⊥DC,
∴∠DCA+∠1=90°,
∵∠DCB+∠DCA=90°,
∴∠1=∠DCB=∠B,
∵∠A+∠ADG=∠1,
∴∠A+∠G=∠B.
 
 
24.(12分)先观察下列等式,再回答下列问题:
① ;
② ;
③ .
(1)请你根据上面三个等式提供的信息,猜想 的结果,并验证;
(2)请你按照上面各等式反映的规律,试写出用含n的式子表示的等式(n为正整数).
【解答】解:
(1) ,
验证:  = ;

(2) (n为正整数).
 
25.(14分)如图1,在△ABC中,AB=BC,P为AB边上一点,连接CP,以PA、PC为邻边作▱APCD,AC与PD相交于点E,已知∠ABC=∠AEP=α(0°<α<90°).
(1)求证:∠EAP=∠EPA;
(2)▱APCD是否为矩形?请说明理由;
(3)如图2,F为BC中点,连接FP,将∠AEP绕点E顺时针旋 转适当的角度,得到∠MEN(点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点).猜想线段EM与EN之间的数量关系,并证明你的结论.
 
【解答】(1)证明:在△ABC和△AEP中,
∵∠ABC=∠AEP,∠BAC=∠EAP,
∴∠ACB=∠APE,
在△ABC中,AB=BC,
∴∠ACB=∠BAC,
∴∠EPA=∠EAP.

(2)解:▱APCD是矩形.理由如下:
∵四边形APCD是平行四边形,
∴AC=2EA,PD=2EP,
∵由(1)知∠EPA=∠EAP,
∴EA=EP,
则AC=PD,
∴▱APCD是矩形.

(3)解:EM=EN.
证明:∵EA=EP,
∴∠EPA= = =90°﹣ α,
∴∠EAM=180°﹣∠EPA=180°﹣(90°﹣ α)=90°+ α,
由(2)知∠CPB=90°,F是BC的中点,
∴FP=FB,
∴∠FPB=∠ABC=α,
∴∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90°﹣ α+α=90°+ α,
∴∠EAM=∠EPN,
∵∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度,得到∠MEN,
∴∠AEP=∠MEN,
∴∠AEP﹣∠AEN=∠MEN﹣∠AEN,即∠MEA=∠NEP,
在△EAM和△EPN中,
 
∴△EAM≌△EPN(ASA),
∴EM=EN.

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