2016-2017学年八年级数学下期中试卷(宁德市霞浦县城区含答案和解释)

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2016-2017学年八年级数学下期中试卷(宁德市霞浦县城区含答案和解释)

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莲山 课件 w ww.5 Y
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2016-2017学年福建省宁德市霞浦县城区八年级(下)期中数学试卷
 
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)下列各式由左边到右边的变形属于因式分解的是(  )[来源:Zxxk.Com]
A.(a+1)(a﹣1)=a2﹣1 B.3x2+6x=3x(x+2)
C.x2﹣x+1=x(x﹣1)+1 D.a(x﹣y)=ax﹣ay
2.(3分)下列命题不正确的是(  )
A.若a是非负数,则a≥0 B.若a不大于b,则a≤b
C.若a>b,则﹣3a>﹣3b D.若a>b,则a﹣b>0
3.(3分)在A,B,C,D四幅图案中,能通过图案(1)平移得到的是(  )
 
A.  B.  C.  D.
4.(3分)下列图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )
A.  B.  C.  D.
5.(3分)把不等式组 的解集表示在数轴上,下列选项正确的是(  )
A.  B.  C.  D.
6.(3分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,以B为圆心,BC的长为半径圆弧,交AC于点D,连接BD,则∠ABD=(  )
 
A.30° B.45° C.60° D.90°
7.(3分)若等腰三角形中有一个角等于70°,则它的顶角的度数为(  )
A.40° B.70° C.55°或70° D.40°或70°
8.(3分)如图,AC=AD,BC=BD,则(  )
 
A.CD垂直平分AB B.AB垂直平分CD
C.CD平分∠ACB D.以上结论都不正确
9.(3分)小明借到一本有87页的图书,要在10天之内读完,开始两天每天只读5页,那么以后几天里平均每天至少要读多少页才能读完?设以后几天里平均每天要读x页,所列不等式为(  )
A.2+10x≥87 B.2+10x≤87 C.10+8x≤87 D .10+8x≥87
10.(3分)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列结论正确的有(  )
①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的中垂线上;④S△ACD:S△ABD=1:2.
 
A.1个 B.2个  C.3个 D.4个
 
二、填空题(本大题共8小题,每小题2分,共16分)
11.(2分)命题:“三边分别相等的两个三角形全等”的逆命题是     .
12.(2分)已知△ABC中,AB=AC,求证:∠B<90°,若用反证法证这个结论,应首先假设     .
13.(2分)如图,直线PC是AB的垂直平分线,垂足C,且∠A=35°,则∠B=     .
 
14.(2分)在平面直角坐标系中,将点A(2,﹣3)先向 左平移1个单位,再向上平移3个单位后得到点B,则点B的坐标是     .
15.(2分)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AC=2,则点C到斜边AB的距离是     .
 
16.(2分)如图,已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P,根据图象可直接得关于x的不等式ax+b≥kx的解集是     .
 
17.(2分)若关于x的不等式2x﹣m≥1的解集如图所示,则m=     .
 
18.(2分)如图,O是等边△ABC内一点,OA=3,OB=4,OC=5,将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′,则∠AOB=     .
 
 
三、解答题(本大题共6小题,共54分)
19.(9分)(1)因式分解:x(x﹣y)+y(y﹣x)
(2)解不等式1﹣(x﹣1)≤0,并把它的解集在数轴上表示出来.
 
20.(13分)(1)求不等式组 的整数解.
(2)认真阅读下列分解因式的过程,再回答所提出的问题:
1+x+x(1+x)+x(1+x)2
=(1+x)[1+x+x(1+x)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3
①上述分解因式的方法是     ;
②分解因式:1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3.
③猜想:1+x+x(1+x)+x(1+x)2+…+x(1+x)n分解因式的结果是     .
21.(6分)如图,点B,F,C,E在一条直线上,BF=CE,AB=DE,∠A=∠D=90°.求证:AB∥DE.
 
22.(6分)如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,每个小正方形的顶点叫格点,Rt△ABC的顶点均在格点上.建立平面直角坐标系后,点A的坐标为(﹣6,1),点B的坐标为(﹣3,1),点C的坐标为(﹣3,3),请按要求完成下列步骤:
(1)将Rt△ABC沿x轴向右平移6个单 位得到Rt△A1B1C1,试在图上画出Rt△A1B1C1的图形,并写出点A1的坐标(     ,     ).
(2)将原来的Rt△ABC绕着点O顺时针旋转180°得到Rt△A2B2C2,试在图上画出Rt△A2B2C2的图形.
 
23 .(10分)初二年级为了表彰在“书香校园”活动中表现突出的学生,准备购买一批每支售价15元的钢笔和每本售价5元的笔记本奖励学生.购买时,发现商场正在进行两种优惠促销活动.
       活动1:买一支钢笔送一本笔记本;
       活动2:按购买金额打八折付款.
        年段欲购买这种钢笔20支,笔记本x(x≥10)本.
(1)写出每种优惠办法实付金额y1(元),y2(元)与x(本)之间的函数关系式.
(2)若选择“活动1”的优惠办法付款更省钱,x应满足什么条件?
(3)如果商场允许可以选择一种优惠办法购买,也可以同时用两种优惠办法购买,请你就购买这种钢笔20支和笔记本60本设计一种最省钱的购买方案.
24.(10分)数学兴趣小组活动时,老师带领大家探究《折线中的数学问题》,出示了如图1所示的长方形纸条ABCD,其中AD=BC=3,AB=CD=9,然后在纸条上任意画一条截线段MN,将纸片沿MN折叠,MB与DN交于点K,得到△MNK.如图2所示:
(1)点N到MK的距离是     ;
(2)改变折痕MN的位置,△MNK始终什么三角形,请说明理由;
应用:
(3)爱动脑筋的小明在研究△MNK的面积S时,发现KN边上的高始终是个不变的值.根据这一发现,他很快研究出△KMN的面积S的最小值为 ,此时∠1的大小可以为     °;
(4)小明继续动手操作,发现了△MNK面积S有最大值.请你写出这个最大值为     .
 
 
 

2016-2017学年福建省宁德市霞浦县城区八年级(下)期中数学试卷
参考答案与试题解析
 
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)下列各式由左边到右边的变形属于因式分解的是(  )
A.(a+1)(a﹣1)=a2﹣1 B.3x2+6x=3x(x+2 )
C.x2﹣x+1=x(x﹣1)+1 D.a(x﹣y)=ax﹣ay
【解答】解:A、是整式的乘法,故A不符合题意;
B、把一个多项式转化成几个整式积的形式,故B符合题意;
C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式,故C不符合题意;
D、是整式的乘法,故D不符合题意;
故选:B.
 [来源:学+科+网]
2.(3分)下列命题不正确的是(  )
A.若a是非负数,则a≥0 B.若a不大于b,则a≤b
C.若a>b,则﹣3a>﹣3b D.若a>b,则a﹣b>0
【解答】解:A、若a是非负数,则a≥0,正确;
B、若a不大于b,则a≤b,正确;
C、若a>b,则﹣3a<﹣3b,错误;
D、若a>b,则a﹣b>0,正确;
故选:C.
 
3.(3分)在A,B,C,D四幅图案中,能通过图案(1)平移得到的是(  )
 
A.  B.  C.  D.
【解答】解:A、属于轴对称变换,故错误;
B、属于旋转所得到,故错误;
C、形状和大小没有改变,符合平移的性质,故正确;
D、属于旋转所得到,故错误.
故选:C.
 
4.(3分)下列图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )
 A.  B.  C.  D.
【解答】解:A、不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项错误;
B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;
C、不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项错误;
D、既是轴对称图形又是中心对称图形,故本选项正确.
故选:D.
 
5.(3分)把不等式组 的解集表示在数轴上,下列选项正确的是(  )
A.  B.  C.  D.
【解答】解:由﹣x≤﹣1解得x≥1,
由x+1>0解得x>﹣1,
不等式的解集是x≥1,
在数轴上表示如图 ,
故选:A.
 
6.(3分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,以B为圆心,BC的长为半径圆弧,交AC于点D,连接BD,则∠ABD=(  )
 
A.30° B.45° C.60° D.90°
【解答】解:∵AB=AC,∠A=30°,
∴∠ABC=∠ACB= (180°﹣∠A)= (180°﹣30°)=75°,
∵以B为圆心,BC的长为半径圆弧,交AC于点D,
∴BC=BD,
∴∠CBD=180°﹣2∠ACB=180°﹣2×75°=30°,
∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD=75°﹣30°=45°.
故选:B.
 
 
7.(3分)若等腰三角形中有一个角等于70°,则它的顶角的度数为(  )
A.40° B.70° C.55°或70° D.40°或70°
【解答】解:①70°是底角,则顶角为:180°﹣70°×2=40°;
②70°为顶角;
综上所述,顶角的度数为40°或70°.
故选:D.
 
8.(3分)如图,AC=AD,BC=BD,则(  )
 
A.CD垂直平分AB B.AB垂直平分CD
C.CD平分∠ACB D.以上结论都不正确
【解答】解:AC=AD,BC=BD
根据线段垂直平分线的性质可得:
AB垂直平分CD
故选:B.
 
9.(3分)小明借到一本有87页的图书,要在10天之内读完,开始两天每天只读5页,那么以后几天里平均每天至少要读多少页才能读完?设以后几天里平均每天要读x页,所列不等式为(  )
A.2+10x≥87 B.2+10x≤87 C.10+8x≤87 D.10+8x≥87
【解答】解:由题意 可得,
5×2+(10﹣2)x≥87,
化简,得
10+8x≥87,
故选:D.
 
10.(3分)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列结论正确的有(  )
①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的中垂线上;④S△ACD:S△ABD=1:2.
 
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解答】解:由题意可知AD是∠BAC的平分线,故①正确;
∵∠C=90°,∠B=30°,
∴∠CAB=60°,
∵AD平分∠CAB,
∴∠DAB=30°,[来源:Z_xx_k.Com]
∴∠ADC=30°+30°=60°,故②正确;
∵∠DAB=30°,∠B=30°,
∴AD=BD,
∴点D在AB的中垂线上,故③正确;
∵∠CAD=30°,
∴AD=2CD.
∵点D在AB的中垂线上,
∴AD=BD,
∴BD=2CD,
∴S△ACD:S△ABD=1:2,故④正确.
故选:D.
 
二、填空题(本大题共8小题,每小题2分,共16分)
11.(2分)命题:“三边分别相等的两个三角 形全等”的逆命题是 如果两个三角形全等,那么对应的三边相等 .
【解答】解:∵原命题的条件是:三角形的三边分别相等,结论是:该三角形是全等三角形.
∴其逆命题是:如果两个三角形全等,那么对应的三边相等.
故答案为:如果两个三角形全等,那么对应的三边相等.
 
12.(2分)已知△ABC中,AB=AC,求证:∠B<90°,若用反证法证这个结论,应首先假设 ∠B≥90° .
【解答】解:用反证法证明:第一步是:假设∠B≥90°.
故答案是:∠B≥90°.
 
13.(2分)如图,直线PC是AB的垂直平分线,垂足C,且∠A=35°,则∠B= 35° .
 
【解答】解:∵直线PC是AB的垂直平分线,
∴PA=PB,
∴∠B=∠A=35°,
故答案为:35°.
 
14.(2分)在平面直角坐标系中,将点A(2,﹣3)先向左平移1个单位,再向上平移3个单位后得到点B,则点B的坐标是 (1,0) .
【解答】解:点A的横坐标是2,纵坐标是﹣3,向左平移1个单位,再向上平移3个单位得到点B的横坐标是2﹣1=1,纵坐标为﹣3+3=0,即点B的坐标是为(1,0).
故答案为:(1,0).
 
15.(2分)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AC=2,则点C到斜边AB的距离是 1 .
 
【解答】解:作CD⊥AB于D,
∵在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,CD⊥AB于D,
∴∠ADC=90°,∠A=30°,
∵AC=2,
∴CD=1,
即点C到斜边AB的距离是1,
故答案为:1
 
16.(2分)如图,已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P,根据图象可直接得关于x的不等式ax+b≥kx的解集是 x≤﹣4 .
 
【解答】解:∵由函数图象可知,当x<﹣4时一次函数y=ax+b在一次函数y=kx图象的上方,
∴关于x的不等式ax+b≥kx的解是x≤﹣4.
故答案为:x≤﹣4.
 
17.(2分)若关于x的不等式2x﹣m≥1的解集如图所示,则m= 3 .
 
【解答】解:由题意,得
x≥ ,
又不等式的解集是x≥2,得
 =2,
解得m=3,
故答案为:3.
 
18.(2分)如图,O是等边△ABC内一点,OA=3,OB=4,OC=5,将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′,则∠AOB= 150° .
 
【解答】解:连结OO′,如图,
∵线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′,
∴BO′=BO=4,∠O′BO=60°,
∴△BOO′为等边三角形,
∴∠BOO′=60°,
∵△ABC为等边三角形,
∴BA=BC,∠ABC=60°,
∴∠O′BO﹣∠ABO=∠ABC﹣∠ABO,即∠O′BA=∠OBC,
在△O′BA和△OBC中
 ,
∴△O′BA≌△OBC(SAS),
∴O′A=OC=5,
在△AOO′中,∵OA′=5,OO′=4,OA=3,
∴OA2+OO′2=O′A2,
∴∠AOO′=90°,
∴∠AOB=60°+90°=150°,
故答案为:150°.
 
 
三、解答题(本大题共6小题,共54分)
19.(9分)(1)因式分解:x(x﹣y)+y(y﹣x)
(2)解不等式1﹣(x﹣1)≤0,并把它的解集在数轴上表示出来.
 
【解答】解:(1)x(x﹣y)+y(y﹣x)
=x(x﹣y)﹣y(x﹣y)
=(x﹣y)2;

(2)1﹣(x﹣1)≤0
去括号得:1﹣x+1≤0,
移项合并同类项得 :﹣x≤﹣2,
系数1得:x≥2,
在数轴上表示解集得:
 .
 
20.(13分)(1)求不等式组 的整数解.
(2)认真阅读下列分解因式的过程,再回答所提出的问题:
1+x+x(1+x)+x(1+x)2
=(1+x)[1+x+x(1+x)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3
①上述分解因式的方法是 提取公因式 ;
②分解因式:1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3.[来源:学科网ZXXK]
③猜想:1+x+x(1+x)+x(1+x)2+…+x(1+x)n分解因式的结果是 (1+x)n+1 .
【解答】解:(1) 解不等式①:x>1,
解不等式②:x≤4
∴原不等式的解集为:1<x≤4
∴原式不等式组的整数解为:2、3、4

(2)①根据题意可知:分解因式的方法是提取公因式法;
②原式=(1+x)[(1+x)+x(1+x)+x(1+x)2]
=(1+x)2[(1+x)+x(1+x)]
=(1+x)3(1+x)
=(1+x)4
③由题意可知:(1+x)n+1
故答案为:(2)①提取公因式;③(1+x)n+1
 
21.(6分)如图,点B,F,C,E在一条直线上,BF=CE,AB=DE,∠A=∠D=90°.求证:AB∥DE.
 
【解答】证明:∵BF=CE,
∴BC=EF,
∵∠A=∠D=90°,
在Rt△AB C和Rt△DEF中,
 ,
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL),
∴∠B=∠E,
∴AB∥DE.
 
22.(6分)如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,每个小正方形的顶点叫格点,Rt△ABC的顶点均在格点上.建立平面直角坐标系后,点A的坐标为(﹣6,1),点B的坐标为(﹣3,1),点C的坐标为(﹣3,3),请按要求完成下列步骤:
(1)将Rt△ABC沿x轴向右平移6个单位得到Rt△A1B1C1,试在图上画出Rt△A1B1C1的图形,并写出点A1的坐标( 0 , 1 ).
(2)将原来的Rt△ABC绕着点O顺时针旋转180°得到Rt△A2B2C2,试在图上画出Rt△A2B2C2的图形.
 
【解答】解:(1)如图所示,Rt△A1B1C1即为所求,其中点A1坐标为(0,1),
 
故答案为:0,1;

(2)如图所示,Rt△A2B2C2即为所求三角形.
 
23.(10分)初二年级为了表彰在“书香校园”活动中表现突出的学生,准备购买一批每支售价15元的钢笔和每本售价5元的笔记本奖励学生.购买时,发现商场正在进行两种优惠促销活动.
       活动1:买一支钢笔送一本笔记本;
       活动2:按购买金额打八折付款.
       年段欲购买这种钢笔20支,笔记本x(x≥10)本.
(1)写出每种优惠办法实付金额y1(元),y2(元)与x(本)之间的函数关系式.
(2)若选择“活动1”的优惠办法付款更省钱,x应满足什么条件?
(3)如果商场允许可以选择一种优惠办法购买,也可以同时用两种优惠办法购买,请你就购买这种钢笔20支和笔记本60本设计一种最省钱的购买方案.
【解答】解:(1)由题意可得,
当10≤x≤20时,y1=20×15=300,
当x>10时,y1=20×15+5(x﹣20)=5x+200,
y2=(20×15+5x)×0.8=4x+240,
即y1(元)与x(本)之间的函数关系式是 ,
y2(元)与x(本)之间的函数关系式是y2=4x+240;

(2)当10≤x≤20时,令300<4x+240,得15<x≤20,
当x>20时,令5x+200<4x+240,得20<x<40,
由上可得,当15<x<40时,选择“活动1”的优惠办法付款更省钱;
(3)由题意可知,
购买这种钢笔20支和笔记本60本最省钱的购买方案是选择活动1购买20支钢笔,获赠20本笔记本,选择活动2再购买40本笔记本即可.
 
24.(10分) 数学兴趣小组活动时,老师带领大家探究《折线中的数学问题》,出示了如图1所示的长方形纸条ABCD,其中AD=BC=3,AB=CD=9,然后在纸条上任意画一条截线段MN,将纸片沿MN折叠,MB与DN交于点K,得到△MNK.如图2所示:
(1)点N到MK的距离是 3 ;
(2)改变折痕MN的位置,△MNK始终什么三角形,请说明理由;
应用:
(3)爱动脑筋的小明在研究△MNK的面积S时,发现KN边上的高始终是个不变的值.根据这一发现,他很快研究出△KMN的面积S的最小值为 ,此时∠1的大小可以为 45或135 °;
(4)小明继续动手操作,发现了△MNK面积S有最大值.请你写出这个最大值为 7.5 .
 
【解答】解:(1)作NE⊥KM于E,NF⊥AB于F,如图1所示:
则NF=BC=3,
由折叠的性质得:∠KMN=∠1,
∴NE=NF=3,即点N到MK的距离是3;
故答案为:3;
(2)△MNK始终是等腰三角形;理由如下:
∵长方形ABCD中,AB∥CD,
∴∠1=∠MNK,
∵∠1=∠KMN,
∴∠MNK=∠KMN,
∴KM=KN;即△MNK是等腰三角形;
(3)如图2,当△KMN的面积最小值为 时,KN=BC=3,故KN⊥B′M,
∵∠NMB=∠KMN,∠KMB=90°,
∴∠1=∠NMB=45°,
同理当将纸条向下折叠时,∠1=∠NMB=135°
故答案为:45或135;  
(4)分两种情况:
①如图3,将矩形纸片对折,使点B与D重合,此时点K也与D重合.
MK=MB=x,则AM=9﹣x.
由勾股定理得::32+(9﹣x)2=x2,
解得x=5.
∴MD=ND=5.
S△MNK=S△MND= ×3×5=7.5.
②如图4,将矩形纸片沿对角线AC对折,此时折痕即为AC.
MK=AK=CK=x,则DK=9﹣x.[来源:学科网ZXXK]
同理可得MK=NK=5.
∵MD=3,
∴S△MNK= ×3×5=7.5.
△MNK的面积最大值为7.5;
故答案为:7.5.

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