2017学年八年级数学下期中试卷(南京XX中学含答案和解释)

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2017学年八年级数学下期中试卷(南京XX中学含答案和解释)

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2016-2017学年江苏省南京XX中学八年级(下)期中数学试卷
 
一、选择题(本大题共6小题,每小题2分,共计12分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项的序号填在答题纸上)
1.(2分)下列图形中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(  )
A.  B.  C.  D.
2.(2分)从标号分别为1,2,3,4,5的5张卡片中,随机抽取1张,下列事件中,必然事件是(  )
A.该卡片标号小于6 B.该卡片标号大于6
C.该卡片标号是奇数 D.该卡片标号是3
3.(2分)下列性质中,矩形具有而菱形不一定具有的性质是(  )
A.四条边相等 B.对角线互相平分
C.对角线相等 D.对角线互相垂直
4.(2分)下列各式计算正确的是(  )
A.  B.  C.  D.
5.(2分)如图,△ABC中,D、E分别是BC、AC的中点,BF平分∠ABC,交DE于点F,若BC=6,则DF的长是(  )
 
A.2 B.3 C.  D.4
6.(2分)如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是(  )
 
A.AB=BC B.AC=BC C.∠B=60° D.∠ACB=60°
 
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共计20分,不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题纸相应位置上)
7.(2分)当x     时,分式 的值为0.
8.(2分)分式方程 的解为x=     .
9.(2分)分式 与 的最简公分母是     .
10.(2分)在一个不透明的布袋中有除颜色外其它都相同的红、黄、蓝球共200个,某位同学经过多次摸球试验后发现,其中摸到红色球和蓝色球的频率稳定在35%和55%,则口袋中可能有黄球     个.
11.(2分)一个圆形转盘被等分成五个等分的扇形区域,上面分别标有数字1,2,3,4,5,转盘指针的位置固定,转动转盘后任其自由停止.转动转盘一次,当转盘停止转动时,记指针指向标有偶数所在区域的概率为P(偶数)=     ,指针指向标有奇数所在区域的概率为P(奇数)=     ,则P(偶数)     P(奇数)(填“>”“<”或“=”).
12.(2分)如图,△ABC绕点A顺时针旋转100°得到△AEF,若∠C=60°,∠E=100°,则α的度数为     .
 
13.(2分)如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,∠AOB=120°,CE∥BD,DE∥AC,若AD=4,则四边形CODE的周长     .
 
14.(2分)如图所示,正方形ABCD与菱形PQCD的面积分别为25cm2和20cm2,阴影部分的面积为     cm2.
 
15.(2分)已知x为整数,且分式 的值为整数,则x可取的值为     .
16.(2分)在平面直角坐标系中,规定把一个点先绕原点逆时针旋转45°,再作出它关于原点的对称点称为一次变换,已知点A的坐标为(﹣2,0),把点A经过连续2014次这样的变换得到的点A2014的坐标是     .
 
三、解答题(本大题共有10小题,共68分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(8分)计算:
(1) ﹣
(2) ﹣a﹣1.
18.(5分)解方程: ﹣ =1.
19.(5分)若x+y=6,xy=﹣2,求 + 的值.
20.(7分)在计算 的过程中,三位同学给出了不同的方法:
甲同学的解法:原式= ;
乙同学的解法:原式= =1;
丙同学的解法:原式=(x+3)(x﹣2)+2﹣x=x2+x﹣6+2﹣x=x2﹣4.
(1)请你判断一下,     同学的解法从第一步开始就是错误的,     同学的解法是完全正确的.
(2)乙同学说:“我发现无论x取何值,计算的结果都是1”.请你评价一下乙同学的话是否合理,并简要说明理由.
21.(8分)如图,平面直角坐标系中,每个小正方形边长都是1.
(1)按要求作图:
①△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°得到△A1B1C1;
②△ABC关于坐标原点O中心对称的△A2B2C2.
(2)△A1B1C1中顶点B1坐标为     .
 
22.(7分)投掷一枚质地均匀的正方体骰子.
(1)下列说法中正确的有     .(填序号)
①向上一面点数为1点和3点的可能性一样大;
②投掷6次,向上一面点数为1点的一定会出现1次;
③连续投掷2次,向上一面的点数之和不可能等于13.
(2)如果小明连续投掷了10次,其中有3次出现向上一面点数为6点,这时小明说:投掷正方体骰子,向上一面点数为6点的概率是 .你同意他的说法吗?说说你的理由.
(3)为了估计投掷正方体骰子出现6点朝上的概率,小亮采用转盘来代替骰子做实验.下图是一个可以自由转动的转盘,请你将转盘分为2个扇形区域,分别涂上红、白两种颜色,使得转动转盘,当转盘停止转动后,指针落在红色区域的概率与投掷正方体骰 子出现6点朝上的概率相同.(友情提醒:在转盘上用文字注明颜色和扇形圆心角的度数.)
 
23.(6分)在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,△ABO≌△CDO.
(1)求证:四边形ABCD为平行四边形;
(2)若∠ABO=∠DCO,求证:四边形ABCD为矩形.
 
24.(7分)某公司研发1000件新产品,需要精加工后才能投放市场.现在甲、乙两个工厂加工这批产品,已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天,而乙工厂每天加工的件数是甲工厂每天加工件数的1.25倍,公司需付甲工厂加工费用每天100元,乙工厂加工费用每天125元.
(1)甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品?
(2)两个工厂同时合作完成这批产品,共需付加工费多少元?
25.(8分)(1)操作发现:
如图1,在矩形ABCD中,E是BC的中点,将△ABE沿AE折叠后得到△AFE,点F在矩形ABCD内部,延长AF交CD于点G.猜想线段GF与GC有何数量关系?并证明你的结论.
(2)类比探究:
如图2,将(1)中的矩形ABCD改为平行四边形,其它条件不变,(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由.
 
26.(7分)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(﹣8,0),直线BC经过点B(﹣8,6),C(0,6),将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转角度α得到四边形OA′B′C′,此时边OA′与边BC交于点P,边B′C′与BC的延长线交于点Q,连接AP.
(1)四 边形OABC的形状是     .
(2)在旋转过程中,当∠PAO=∠POA,求P点坐标.
(3)在旋转过程中,当P为线段BQ中点时,连接OQ,求△OPQ的面积.
 
 
 

参考答案与试题解 析
 
一、选择题(本大题共6小题,每小题2分,共计12 分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项的序号填在答题纸上)
1.(2分)下列图形中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(  )
A.  B.  C.  D.
【解答】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;
B、是轴对称图形,又是中心对称图形,故此选项正确;
C、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误;
D、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;
故选:B.
 
2.(2分)从标号分别为1,2,3,4,5的5张卡片中,随机抽取1张,下列事件中,必然事件是(  )
A.该卡片标号小于6 B.该卡片标号大于6
C.该卡片标号是奇数 D.该卡片标号是3
【解答】解:A、∵从标号分别为1,2,3,4,5的5张卡片中,随机抽取1张,∴该卡片标号小于6,是必然事件,故此选项正确;
B、该卡片标号大于6,是不可能事件,故此选项错误;
C、该卡片标号是奇数,是随机事件,故此选项错误;
D、该卡片标号是3,是随机事件,故此选项错误;
故选:A.
 
3.(2分)下列性质中,矩形具有而菱形不一定具有的性质是(  )
A.四条边相等 B.对角线互相平分
C.对角线相等 D.对角线互相垂直
【解答】解:矩形的对角线相等且平分,菱形的对角线垂直且平分,
所以矩形具有而菱形不具有的为对角线相等,
故选:C.
 
4.(2分)下列各式计算 正确的是(  )
A.  B.  C.  D.
【解答】解:A、原式不能合并,错误;
B、 + = ,本选项错误;
C、( )2= ,本选项错误;
D、﹣ =﹣ = ,本选项正确,
故选:D.
 
5.(2分)如图,△ABC中,D、E分别是BC、AC的中点,BF平分∠ABC,交DE于点F,若BC=6,则DF的长是(  )
 
A.2 B.3 C.  D.4
【解答】解:在△ABC中,D、E分别是BC、AC的中点
∴DE∥AB
∴∠EDC=∠ABC
∵BF平分∠ABC
∴∠EDC=2∠FBD
在△BDF中 ,∠EDC=∠FBD+∠BFD
∴∠DBF=∠DFB
∴FD=BD= BC= ×6=3.
故选:B.
 
6.(2分)如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是(  )
 
A.AB=BC B.AC=BC C.∠B=60° D.∠ACB=60°
【解答】解:∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,
∴AC ED,
∴四边形ACED为平行四边形,
当AC=BC时,则DE=EC,
∴平行四边形ACED是菱形.
故选:B.
 
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共计20分,不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题纸相应位置上)
7.(2分)当x =1 时,分式 的值为0.
【解答】解:∵分式 的值为0,
∴ ,解得x=1.
故答案为:=1.
 
8.(2分)分式方程 的解为x= 2 .
【解答】解:去分母得:2(x+1)=3x,
去括号得:2x+2=3x,
移项得:2x﹣3x=﹣2,
合并同类项得:﹣x=﹣2,
把x的系数化为1得:x=2,
检验:把x=2代入最简公分母x(x+1)=6≠0,
故原分式方程的解为:x=2.
故答案为:2.
 
9.(2分)分式 与 的最简公分母是 12a3bc .
【解答】解:分式 与 的最简公分母是12a3bc,
故答案为:12a3bc.
 
10.(2分)在一个不透明的布袋中有除颜色外其它都相同的红、黄、蓝球共200个,某位同学经过多次摸球试验后发现,其中摸到红色球和蓝色球的频率稳定在35%和55%,则口袋中可能有黄球 20 个.
【解答】解:∵某位同学经过多次摸球试验后发现,其中摸到红色球和蓝色球的频率稳定在35%和55%,
∴摸到黄球的概率=1﹣35%﹣55%=10%,
∴口袋中黄球的个数=200×10%=20,
即口袋中可能有黄球20个.
故答案为20.
 
11.(2分)一个圆形转盘被等分成五个等分的扇形区域,上面分别标有数字1,2,3,4,5,转盘指针的位置固定,转动转盘后任其自由停止.转动转盘一次,当转盘停止转动时,记指针指向标有偶数所在区域的概率为P(偶数)=   ,指针指向标有奇数所在区域的概率为P(奇数)=   ,则P(偶数) < P(奇数)(填“>”“<”或“=”).
【解答】解:转动转盘一次,共有5种可能的结果,其中是奇数的有1,3,5占三种,
所以P(奇数)= .P(偶数)= ,P(偶数)<P(奇数),
故答案为: ; ;<
 
12.(2分)如图,△ABC绕点A顺时针旋转100°得到△AEF,若∠C=60°,∠E=100°,则α的度数为 80° .
 
【解答】解:∵△ABC绕点A顺时针旋转100°得到△AEF,
∴∠EAB=100°,∠F=∠C=60°,
在△AEF中,∠EAF=180°﹣∠E﹣∠F=180°﹣100°﹣60°=20°,
∴∠EAF=∠BAE﹣∠EAF=80°.
故答案为80°.
 
13.(2分)如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,∠AOB=120°,CE∥BD,DE∥AC,若AD=4,则四边形CODE的周长 16 .
 
【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,
∴BD=AC,DO=BO,AO=CO,
∴OD=OA,
∵∠AOB=120°,
∴∠DOA=60°,
∴△AOD是等边三角形,
∴DO=AO=AD=OC=4,
∵CE∥BD,DE∥AC,
∴四边形CODE是平行四边形,
∴四边形CODE是菱形,
∴四边形CODE的周长为:4OC=4×4=16,
故答案为:16.
 
14.(2分)如图所示,正方形ABCD与菱形PQCD的面积分别为25cm2和20cm2,阴影部分的面积为 11 cm2.
 
【解答】解:∵正方形ABCD的面积是25cm2,
∴AB=BC=BP=PQ=QC=5cm,
又∵S菱形BPQC=PQ×EC=5×EC=20cm2,
∴S菱形BPQC=BC•EC,
即20=5•EC,
∴EC=4cm,
在Rt△QEC中,EQ= =3cm;
∴PE=PQ﹣EQ=2cm,
∴S阴影=S正方形ABCD﹣S梯形PBCE=25﹣ ×(5+2)×4=25﹣14=11(cm2)
故答案为:11.
 
1 5.(2分)已知x为整数,且分式 的值为整数,则x可取的值为 0,2,3 .
【解答】解:  = ,
∵ 的值为整数,
∴x﹣1=1、2、﹣1、﹣2,
①当x﹣1=1时,x=2;
②当x﹣1=2时,x=3;
③当x﹣1=﹣1时,x=0;
④当x﹣1=﹣2时,x=﹣1,
∵x2﹣1≠0,
∴x≠±1,
∴x=﹣1不符合题意.
综上,可得
x可取的值为0,2,3.
故答案为:0,2,3.
 
16.(2分)在平面直角坐标系中,规定把一个点先绕原点逆时针旋转45°,再作出它关于原点的对称点称为一次变换,已知点A 的坐标为(﹣2,0),把点A经过连续2014次这样的变 换得到的点A2014的坐标是 (0,2) .
【解答】解:由题意第一次旋转后的坐标为(﹣ ,﹣ ),
第二次旋转后的坐标为(0,﹣2),
第三次旋转后的坐标为( ,﹣ ),
第四次旋转后的坐标为(2,0),
第五次旋转后的坐标为( , ),
第六次旋转后的坐标为(0,2),
第七次旋转后的坐标为(﹣ , ),
第八次旋转后的坐标为(﹣2,0)
因为2014÷8=251…6,
所以把点A经过连续2014次这样的变换得到的点A2014的坐标是(0,2).
故答案是:(0,2).
 
三、解答题(本大题共有10小题,共68分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(8分)计算:
(1) ﹣
(2) ﹣a﹣1.
【解答】解:(1)原式= = = ;
(2)原式= = .
 
18.(5分)解方程: ﹣ =1.
【解答】解:方程两边同乘(x+1)(x﹣1),得
(x+1)2﹣4=(x+1)(x﹣1),
整理得2x﹣2=0,
解得x=1.
检验:当x=1时,(x+1)(x﹣1)=0,
所以x=1是增根,应舍去.
∴原方程无解.
 
19.(5分)若x+y=6,xy=﹣2,求 + 的值.
【解答】解:∵x+y=6、xy=﹣2,
∴ + =﹣3,
则 +
=( + )2﹣
=62﹣
=36+1
=37.
 
20.(7分)在计算 的过程中,三位同学给出了不同的方法:
甲同学的解法:原式= ;
乙同学的解法:原式= =1;
丙同学的解法:原式=(x+3)(x﹣2)+2﹣x=x2+x﹣6+2﹣x=x2﹣4.
(1)请你判断一下, 丙 同学的解法从第一步开始就是错误的, 乙 同学的解法是完全正确的.
(2)乙同学说:“我发现无论x取何值,计算的结果都是1”.请你评价一下乙同学的话是否合理,并简要说明理由.
【解答】解:(1)丙同学的解法从第一步开始就是错误的,乙同学的解法是完全正确的;
故答案为:丙,乙;
(2)不合理,
理由:∵当x≠±2时,  = ﹣ = = =1,
∴乙同学的话不合理,
 
21.(8分)如图,平面直角坐标系中,每个小正方形边长都是1.
(1)按要求作图:
①△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°得到△A1B1C1;
②△ABC关于坐标原点O中心对称的△A2B2C2.
(2)△A1B1C1中顶点B1坐标为 (﹣1,﹣6) .
 
【解答】解:(1)①如图所示,△A1B1C1即为所求;
②如图所示,△A2B2C2即为所求;
 

(2)由图可知,△A1B1C1中顶点B1坐标为(﹣1,﹣6),
故答案为:(﹣1,﹣6)
 
22.(7分)投掷一枚质地均匀的正方体骰子.
(1)下列说法中正确的有 ①③ .(填序号)
①向上一面点数为1点和3点的可能性一样大;
②投掷6次,向上一面点数为1点的一定会出现1次;
③连续投掷2次,向上一面的点数之和不可能等于13.
(2)如果小明连续投掷了10次,其中有3次出现向上一面点数为6点,这时小明说:投掷正方体骰子,向上一面点数为6点的概率是 .你同意他的说法吗?说说你的理由.
(3)为了估计投掷正方体骰子出现6点朝上的概率,小亮采用转盘来代替骰子做实验.下图是一个可以自由转动的转盘,请你将转盘分为2个扇形区域,分别涂上红、白两种颜色,使得转动转盘,当转盘停止转动后,指针落在红色区域的概率与投掷正方体骰子出现6点朝上的概率相同.(友情提醒:在转盘上用文字注明颜色和扇形圆心角的度数.)
 
【解答】解:(1)投掷一枚质地均匀的正方体骰子,
①向上一面点数为1点和3点的可能性一样大,此选项正确;
②投掷6次,向上一面点数为1点的不一定会出现1次,故此选项错误;
③连续投掷2次,向上一面的点数之和不可能等于13,此选项正确;
故答案为:①③;

(2) 是小明投掷正方体骰子,向上一面点数为6点的频率,不是概率.
一般地,在一定条件下大量重复同一试验时,随机事件发生的频率会在某个常数
附近摆动,只有当试验次数很大时,才能以事件发生的频率作为概率的估计值.

(3)本题答案不唯一,如图所示:
 .
 
23.(6分)在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,△ABO≌△CDO.
(1)求证:四边形ABCD为平行四边形;
(2)若∠ABO=∠DCO,求证:四边形ABCD为矩形.
 
【解答】(1)证明:∵△ABO≌△CDO,
∴AO=CO,BO=DO,
∴AC、BD互相平分,
∴四边形ABCD是平行四边形;

(2)证明:∵△ABO≌△CDO,
∴∠BAO=∠DCO,
∵∠ABO=∠DCO,
∴∠ABO=∠BAO,
∴AO=B O,
又∵AO=CO,BO=DO ,
∴AC=BD,
∴▱ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).
 
24.(7分)某公司研发100 0件新产品,需要精加工后才能投放市场.现在甲、乙两个工厂加工这批产品,已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天,而乙工厂每天加工的件数是 甲工厂每天加工件数的1.25倍,公司需付甲工厂加工费用每天100元,乙工厂加工费用每天125元.
(1)甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品?
(2)两个工厂同时合作完成这批产品,共需付加工费多少元?
【解答】解:(1)设甲工厂每天加工x件新产品,则乙工厂每天加工1 .25x件新产品,由题意得:
 ,
解得:x=20,
经检验,x=20是原方程的根.
1.25x=1.25×20=25.
答:甲、乙两个工厂分别每天加工20,25件新产品;

(2)由题意,得
 =5000(元).
答:两个工厂同时合作完成这批产品,共需付加工费5000元.
 
25.(8分)(1)操作发现:
如图1,在矩形ABCD中,E是BC的中点,将△ABE沿AE折叠后得到△AFE,点F在矩形ABCD内部,延长A F交CD于点G.猜想线段GF与GC有何数量关系?并证明你的结论.
(2)类比探究:
如图2,将(1)中的矩形ABCD改为平行四边形,其它条件不变,(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由.
 
【解答】解:(1)猜想线段GF=GC,
证明:连接EG,
∵E是BC的中点,
∴BE=CE,
∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE,
∴BE=EF,
∴EF=EC,
∵EG=EG,∠C=∠EFG=90°,
∴△ECG≌△EFG(HL),
∴FG=CG;

(2)(1)中的结论仍然成立.
证明:连接EG,FC,
∵E是BC的中点,
∴BE=CE,
∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE,
∴BE=EF,∠B=∠AFE,
∴EF=EC,
∴∠EFC=∠ECF,
∵矩形ABCD改为平行四边形,
∴∠B=∠D,
∵∠ECD=180°﹣∠D,∠EFG=180°﹣∠AFE=180°﹣∠B=180°﹣∠D,
∴∠ECD=∠EFG,
∴∠GFC=∠GFE﹣∠EFC=∠ECG﹣∠ECF=∠GCF,
∴∠GFC=∠GCF,
∴FG=CG;
即(1)中的结论仍然成立.
 
 
 
26.(7分)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(﹣8,0),直线BC经过点B(﹣8,6),C(0,6),将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转角度α得到四边形OA′B′C′,此时边OA′与边BC交于点P,边B′C′与BC的延长线交于点Q,连接AP.
(1)四边形OABC的形状是 矩形 .
(2)在旋转过程中,当∠PAO=∠POA,求P点坐标.
(3)在旋转过程中,当P为线段BQ中点时,连接OQ,求△OPQ的面积.
 
【解答】解:(1)∵点A的坐标为(﹣8,0),点B(﹣8,6),C(0,6),
∴∠COA=∠OAB=∠B=90°,
∴四边形OABC是矩形.
故答案为:矩形;

(2)如图1,过点P作PE⊥AO于点E,
∵∠PAO=∠POA,
∴PA=PO,
∵PE⊥AO,
∴AE=EO=4,
∴P(﹣4,6);

(3)如图2,在Rt△OCQ和Rt△OC'Q中,
 ,
∴Rt△OCQ≌Rt△OC'Q(HL),
∴∠OQC=∠OQC',
又∵OP∥C'Q,
∵∠POQ=∠OQC',
∴∠POQ=∠PQO,
∴PO=PQ,
∵BP=QP,
∴BP=OP=x,
在Rt△OPC中,x2=(8﹣x)2+62,
解得:x= .
故S△OPQ= ×CO×PQ= ×6× = .
 

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