2017学年八年级数学下月考试卷(哈尔滨五四学制附答案)

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2017学年八年级数学下月考试卷(哈尔滨五四学制附答案)

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2017学年八年级数学下月考试卷(哈尔滨五四学制附答案)
 
一.选择题(3×10=30分)
1.(3分)平行四边形不一定具有的特征是(  )
A.两组对边分别平行 B.两组对角分别相等
C.对角线相等 D.内角和为360°
2.(3分)在平行四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=2:3:2,则∠D=(  )
A.36° B.108° C.72° D.60°
3.(3分)下列关系式:(1)y= (2)y=x2(3)|y|=x(4)y+1=x(5)y2=x+3,y不是x的函数有(  )个.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.(3分)菱形的周长是8,一条对角线的长是2 ,则另一条对角线的长是(  )
A.4 B.  C.2 D.2
5.(3分)若kb<0,且b﹣k>0,则函数y=kx+b的图象大致是(  )
A.  B.  C.  D.
6.(3分)如图,四边形ABCD中,对角线相交于点O,E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点,要使四边形EFGH是菱形,则四边形ABCD需满足的条件是(  )
 
A.AB=AD B.AC=BD C.AD=BC D.AB=CD
7.(3分)如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,AC、BE相交于点F,则∠BFC为(  )
 
A.45° B.55° C.60° D.75°
8.(3分)在下列命题中,正确的个数是(  )
(1)一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形;
(2)两组邻角互补的四边形是平行四边形;
(3)对角线相等的四边形是矩形;
(4)对角线相等的菱形是正方形.
A.1 B.2 C.3 D.4
9.(3分)如图,把矩形ABCD沿EF翻折,点B恰好落在AD边B′处,若AE=3,DE=9,∠AEF=120°,则矩形ABCD的面积是(  )
 
A.36 B.36  C.48 D.48
10.(3分)如图,E、F分别为正方形ABCD的边CD、CB上的点,DE=CE,∠1=∠2,EG⊥AF,以下结论:①AF=BC+CF;②∠CGD=90°;③AF=BF+DE;④AF2=AE2+EF2.其中正确的结论是(  )
 
A.①②③④ B.①②④ C.②③④ D.②④
 
二.填空题(3×10=30分)
11.(3分)函数 中,自变量x的取值范围是     .
12.(3分)已知函数y=(k﹣1)x+k2﹣4为正比例函数,若y值随x值的增大而增大,则k=     .
13.(3分)平行四边形的一条边长为6,一条对角线为8,则另一条对角线的范围是     .
14.(3分)已知一次函数y=(m﹣3)x+2m﹣1的图象经过第一、二、三象限,m的取值范围     .
15.(3分)如图,平行四边形ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,若∠EAF=60°,BE=2cm,FD=3cm,则平行四边形ABCD的面积为     cm2.
 
16.(3分)如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是     .
 
17.(3分)如图在平行四边形ABCD中,BC=2AB,CE⊥AB于E,F为AD中点,∠AEF=52°,则∠A=     °.

18.(3分)如图,在平行四边形ABCD中,F是AD中点,延长BC到E,CE= BC,连结DE、CF,∠B=60°,AB=3,AD=4,则DE=     .
 
19.(3分)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D为射线CB上一点,连接AD,以AD为一边在AD右侧作正方形ADEF,连接CF,则∠ACF的大小为     .
20.(3分)如图在菱形ABCD中,∠A=60°,点E在边BC上,CE=6,F是CD延长线上一点,DF=8,连结 DE、BF,∠DEB=2∠F,则AB=     .
 
 
三.解答题
21.(7分)已知一次函数的图象经过点(1,﹣1)和点(﹣1,2),求这个函 数的解析式.
22.(7分)在所给的网格中,每个小正方形的网格边长都为1,按要求画出四边形,使它的四个顶点都在小正方形的顶点上.
(1)在网格1中画出面积为20的菱形(非正方形);
(2)在网格2中画出以线段AC为对角线、面积是24的矩形ABCD;直接写出矩形ABCD的周长     .
 
23.(8分)张师傅驾车运送荔枝到某地出售,汽车出发前油箱有油50升,行驶若干小时后,途中在加油站加油若干升,油箱中剩余油量y(升)与行驶时间t(小时)之间的关系如图所示.
(1)汽车行驶     小时后加油,中途加油     升;
(2)求加油前油箱剩余油量y与行驶时间t的函数关系式;
(3)已知加油前、后汽车都以70千米/小时匀速行驶,如果加油站距目的地210千米,要到达目的地,问油箱中的油是否够用?请说明理由.
 
24.(8分)如图,在三角形ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,BE=2DE,延长DE到F,使EF=BE,连接CF.
(1)求证:四边形BCFE是菱形;
(2)若CE=4,∠BCF=120°,求菱形BCFE的面积.
 
25.(10分)某校园商店计划从文体批发市场进同一品牌的羽毛球拍和羽毛球,已知一副羽毛球拍的进价比一筒羽毛球多用32元,若用1600元进羽毛球拍和用640元进羽毛球,则所进羽毛球拍的副数是进羽毛球筒数的一半.
(1)求进该品牌的一副羽毛球拍、一筒羽毛球各需要多少元?
(2)经商谈,文体批发市场给予校园商店进一副该品牌的羽毛球拍赠送一筒该品牌的羽毛球的优惠,如果校园商店需要羽毛球的筒数是羽毛球拍副数的11倍还多10,且该商店进羽毛球拍和羽毛球的总费用不超过3680元,那么商店最多可以进多少副该品牌的羽毛球拍?
26.(10分)在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=CD,∠B=90°,点M在边BC上运动,将△ABM沿AM折叠得到△AFM,射线MF交直线CD于点N.
(1)如图1,点N在边CD的延长线上,当∠BCD=45°时,线段FN、DN、 CD之间的数量关系为     ;
(2)如图2,点N在边CD上,当∠BCD=60°时,求证:FN=DN+ CD;
(3)如图3,在(2)的条件下,若点N是线段CD中点,且AD=6,求线段MN的长度.
 
27.(10分)如图,平面直角坐标系中,直线AB:y=﹣x+b交y轴于点A(0,4),交x轴于点B.
( 1)求点B的坐标;
(2)直线l垂直平分OB交AB于点D,交x轴于点E,点P是直线l上一动点,且在点D的上方,设点P的纵坐标为n.
①用含n的代数式表示△ABP的面积;
②当S△ABP=8时,求点P的坐标;
(3)在(2)中②的条件下,以PB为斜边作等腰直角△PBC,求点C的坐标.
 
 
 

2016-2017学年黑龙江省哈尔滨八年级(下)月考数学试卷(3月份)(五四学制)
参考答案与试题解析
 
一.选择题(3×10=30分)
1.(3分)平行四边形不一定具有的特征是(  )
A.两组对边分别平行 B.两组对角分别相等
C.对角线相等 D.内角和为360°
【解答】解:平行四边形具有的特征是:A、两组对边分别平行;B、两组对角分别相等;D、内角和为360°;
平行四边形不一定具有的特征是:C、对角线相等.
故选:C.
 
2.(3分)在平行四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=2:3:2,则∠D=(  )
A.36° B.108° C.72° D.60°
【解答】解:在▱ABCD中,∠A:∠B:∠C :∠D=2:3:2:3,
设每份比为x,则得到2x+3x+2x+3x=360°,
解得x=36°
则∠D=108°.
故选:B.
 
3.(3分)下列关系式:(1)y= (2 )y=x2(3)|y|=x(4)y+1=x(5)y2=x+3,y不是x的函数有(  )个.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解答】解:(3)|y|=x不是函数,
(5)y2=x+3不是函数,
故选:B.
 
4.(3分)菱形的周长是8,一条对角线的长是2 ,则另一条对角线的长是(  )
A.4 B.  C.2 D.2
【解答】解:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AB=AD=CD=BC= ×8=2,BO=OD= BD= ,AC=2OA,
在Rt△AOB中,由勾股定理得:AO= =1,
∴AC=2OA=2,
故选:C.
 
5.(3分)若kb<0,且b﹣k>0,则函数y=kx+b的图象大致是(  )
A.  B.  C.  D.
【解答】解:因为kb<0,且b﹣k>0,
可得:b>0,k<0,
所以过一、二、四象限,
故选:B.
 
6.(3分)如图,四边形ABCD中,对角线相交于点O,E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点,要使四边形EFGH是菱形,则四边形ABCD需满足的条件是(  )
 
A.AB=AD B.AC=BD C.AD=BC D.AB=CD
【解答】解:∵点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点,
∴EF=GH= AB,EH=FG= CD,
∵当EF=FG=GH=EH时,四边形EFGH是菱形,
∴当AB=CD时,四边形EFGH是菱形.
故选:D.
 
7.(3分)如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,AC、BE相交于点F,则∠BFC为(  )
 
A.45° B.55°  C.60° D.75°
【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,
又∵△ADE是等边三角形,
∴AE=AD=DE,∠DAE=60°,
∴AB=AE,
∴∠ABE=∠AEB,∠BAE=90°+60°=150°,
∴∠ABE=(180°﹣150°)÷2=15°,
又∵∠BAC=45°,
∴∠BFC=45°+15°=60°.
故选:C.
 
8.(3分)在下列命题中,正确的个数是(  )
(1)一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形;
(2)两组邻角互补的四边形是平行四边形;
(3)对角线相等的四边形是矩形;
(4)对角线相等的菱形是正方形.
A.1 B.2 C.3 D.4
【解答】解:(1)一组对边平行,另一组对边相等的四边形还可能是等腰梯形,故错误;
(2)两组邻角互补的四边形是平行四边形,正确;
(3)对角线相等的平行四边形是矩形,故错误;
(4)对角线相等的菱形是正方形,正确;
故选:B.
 
9.(3分)如图,把矩形ABCD沿EF翻折,点B恰好落在AD边B′处,若AE=3,DE=9,∠AEF=120°,则矩形ABCD的面积是(  )
 
A.36 B.36  C.48 D.48
【解答】解:在矩形ABCD中,
∵∠AEF=120°,
∴∠DEF=60°,
∵AD∥BC,
∴∠DEF=∠EFB=60°,
∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处,
∴∠EFB=∠EFB′=60°,∠B=∠A′B′F=90°,∠A=∠A′=90°,AE=A′E=3,AB=A′B′,
在△EFB′中,
∵∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60°
∴△EFB′是等边三角形,
Rt△A′EB′中,
∵∠A′B′E=90°﹣60°=30°,
∴B′E=2A′E,而A′E=3,
∴B′E=6,
∴A′B′=3 ,即AB=3 ,
∵AE=3,DE=9,
∴AD=AE+DE=3+9=12,
∴矩形ABCD的面积=AB•AD=3 ×12 =36 .
故选:B.
 
 
10.(3分)如图,E、F分别为正方形ABCD的边CD、CB上的点,DE=CE,∠1=∠2,EG⊥AF,以下结论:①AF=BC+CF;②∠CGD=90°;③AF=BF+DE;④AF2=AE2+EF2.其中正确的结论是(  )
 
A.①②③④ B.①②④ C.②③④ D.②④
【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=CD=BC=AD,∠ADC=∠BCD=90°,
∵∠1=∠2,EG⊥AF,ED⊥AD,
∴ED=EG=EC,
∴△DGC是直角三角形,故②正确,
∵AE=AE,DE=EG,EF=EF,EG=EC,
∴Rt△AED≌Rt△AEG,Rt△EFG≌Rt△EFC,
∴AD=AG=BC,FG=FC,
∴AF=AG+GF=BC+CF,故①正确,
∴AF=BF+2CF,
易证△ADE∽△ECF,
∴ = =2,
∴EC=2CF,
∵DE=EC,
∴DE=2CF,
∴AF=BF+DE,故③正确,
∵Rt△AED≌Rt△AEG,Rt△EFG≌Rt△EFC,
∴∠AED=∠AEG,∠FEC=∠FEG,
∴∠AEF=90°,
∴AF2=AE2+EF2.故④正确,
故选:A.
 
 
二.填空题(3×10=30分)
11.(3分)函数 中,自变量x的取值范围是 x≥3 .
【解答】解:根据题意得:x﹣3≥0,
解得:x≥3.
故答案是:x≥3.
 
12.(3分)已知函数y=(k﹣1)x+k2﹣4为正比例函数,若y值随x值的增大而增大,则k= 2 .
【解答】解:根据y随x的增大而增大,知:k﹣1>0,k2﹣4=0,
即k=2.
故答案为:2.
 
13.(3分)平行四边形的一条边长为6,一条对角线为8,则另一条对角线的范围是 4<BD<20 .
【解答】解:如图所示:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC= AC=4,OB=OD= BD,
在△BOC中,BC=6,OC=4,
∴OB的取值范围是BC﹣OC<OB<BC+OC,
即2<OB<10,
∴BD的取值范围是4<BD<20.
故答案为:4<BD<20.
 
 
14.(3分)已知一次函数y=(m﹣3)x+2m﹣1的图象经过第一、二、三象限,m的取值范围 m>3 .
【解答】解:∵一次函数y=(m﹣3)x+2m﹣1的图象经过第一、二、三象限,
∴ ,
解得m的取值范围是:m>3.
故答案为:m>3.
 
15.(3分)如图,平行四边形ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,若∠EAF=60°,BE=2cm,FD=3cm,则平行四边形ABCD的面积为 12  cm2.
 
【解答】解:
∵AE⊥BC,AF⊥CD,∠EAF=60°,
∴∠AEB=∠AEC=∠AFC=∠AFD=90°,
∴∠C=120°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,AD∥BC,∠B=∠D,
∴∠B+∠C=180°,
∴∠B=∠D=60°,
∴∠BAE=∠FAD=30°,
∵BE=2cm,FD=3cm,
∴AB=4cm,BC=AD=6cm,AF=3 ,
∴S▱ABCD=CD•AF=4×3 =12 cm2.
故答案为:12 .
 
16.(3分)如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是   .
 
【解答】解:∵正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=3,
∴AB=BC=1,CE=EF=3,∠E=90°,
延长AD交EF于M,连接AC、CF,
则AM=BC+CE=1+3=4,FM=EF﹣AB=3﹣1=2,∠AMF=90°,
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形,
∴∠ACD=∠GCF=45°,
∴∠ACF=90°,
∵H为AF的中点,
∴CH= AF,
在Rt△AMF中,由勾股定理得:AF= = =2 ,
∴CH= ,
故答案为: .
 
 
17.(3分)如图在平行四边形ABCD中,BC=2AB,CE⊥AB于E,F为AD中点,∠AEF=52°,则∠A= 104 °.
 
【解答】解:
延长EF交CD的延长线于点G,连接CF,如图,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴CD∥AB,且CD=AB,BC=AD,
∴∠G=∠AEF=52°,
∵F为AD的中点,
∴AF=DF,
在△AEF和△DGF中
 
∴△AEF≌△DGF(AA S),
∴EF=GF,
∵CE⊥AB,
∴∠GCE=∠CEB=90°,
∴CF=FG,
∴∠GCF=∠G=52°,
∵BC=2AB,
∴AD=2CD=2DF,
∴DF=DC,
∴∠DFC=∠DCF=52°,
∴∠GDF=2∠DCF=104°,
∴∠A=∠GDF=104°,
故答案为:104
 
 
18.(3分)如图,在平行四边形ABCD中,F是AD中点,延长BC到E,CE= BC,连结DE、CF,∠B=60°,AB=3,AD=4,则DE=   .
 
【解答】解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC.
又∵F是AD的中点,
∴FD= AD.
∵CE= BC,
∴FD=CE.
又∵FD∥CE,
∴四边形CEDF是平行四边形,
∴DE=CF.
过D作DG⊥CE于点G,如图,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,CD=AB=3,BC=AD=4.
∴∠DCE=∠B=60°.
在Rt△CDG中,∠DGC=90°,
∴∠CDG=30°,
∴CG= CD= .
由勾股定理,得DG= = .
∵CE= BC=2,
∴GE= .
在Rt△DEG中,∠DGE=90°,
∴DE= = ,
故答案为: .
 
 
19.(3分)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D为射线CB上一点,连接AD,以AD为一边在AD右侧作正方形ADEF,连接CF,则∠ACF的大小为 45°或135° .
【解答】解:①如图1中,当点D在BC边上时,
∵四边形ADEF是正方形,
∴AD=AF,∠DAF=90°,
∵∠BAC=90°,AB=AC
∴∠BAC=∠DAF,∠B=∠ACB=45°,
∴∠BAD=∠CAF,
在△ABD和△ACF中,
 ,
∴△BAD≌△CAF,
∠ACF=∠B=45°.
②如图2 中,当点D在CB的延长线上时,同理可证△ABD≌△ACF,
∴∠ACF=∠ABD=180°﹣45°=135°,
综上所述∠ACF=45°或135°.
故答案为45°或135°.
 
 
 
20.(3分)如图在菱形ABCD中,∠A=60°,点E在边BC上,CE=6,F是CD延长线上一点,DF=8,连结DE、BF,∠DEB=2∠F,则AB= 16 .
 
【解答】解:如图作∠BED的平分线EG交AD于G,GE的延长线交DC的延长线于H,作EK⊥CD于K,连接BD.设AB=x,CH=y.
 
∵四边形ABCD是菱形,∠A=60°,
∴AB=AD=BD=BC=CD=x,△ABD,△BCD都是等边三角形,
∵∠BED=2∠F,∠HEC=∠BEG=∠DEG,
∴∠F=∠HEC,∵∠FDB=∠ECH=120°,
∴△FBD∽△EHC,
∴ = ,
∴ = = ,
∵EC∥DG,
∴∠DGE=∠BEG=∠DEG,
∴DG=DE,
∴ = = = ,
∴DG=14,
在Rt△ECK中,∵∠ECK=60°,EC=6,
∴CK=3,EK=3 ,
在Rt△DEK中,DK= = =13,
∴CD=DK+CK=13+3=16,
∴AB=CD=16.
故答案为16.
 
三.解答题
21.(7分)已知一次函数的图象经过点(1,﹣1)和点(﹣1,2),求这个函数的解析式.
【解答】解:设一次函数解析式为:y=kx+b,
把点(1,﹣1)和点(﹣1,2)代入得:
 ,
解得: ,
故这个函数的解析式为:y=﹣ x+ .
 
22.(7分)在所给的网格中,每个小正方形的网格边长都为1,按要求画出四边形,使它的四个顶点都在小正方形的顶点上.
(1)在网格1中画出面积为20的菱形(非正方形);
(2)在网格2中画出以线段AC为对角线、面积是24的矩形ABCD;直接写出矩形ABCD的周长 16  .
 
【解答】解:(1)如图1所示,菱形ABCD即为所求;
 
(2)如图2所示,矩形ABCD即为所求.
∵AD=BC=2 ,AB=CD=6 ,
∴矩形ABCD的周长为16 .
故答案为:16 .
 
23.(8分)张师傅驾车运送荔枝到某地出售,汽车出发前油箱有油50升,行驶若干小时后,途中在加油站加油若干升,油箱中剩余油量y(升)与行驶时间t(小时)之间的关系如图所示.
(1)汽车行驶 3 小时后加油,中途加油 31 升;
(2)求加油前油箱剩余油量y与行驶时间t的函数关系式;
(3)已知加油前、后汽车都以70千米/小时匀速行驶,如果加油站距目的地210千米,要到达目的地,问油箱中的油是否够用?请说明理由.
 
【解答】解:(1)3,31.

(2)设y与t的函数关系式是y=kt+b(k≠0),根据题意,将(0,50)(3,14)代入
得:
因此,加油前油箱剩油量y与行驶时间t的函数关系式是:y=﹣12t+50.

(3)由图可知汽车每小时用油(50﹣14)÷3=12(升),
所以汽车要准备油210÷70×12=36(升),因为45升>36升,所以油箱中的油够用.
 
24.(8分)如图,在三角形ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,BE=2DE,延长DE到F,使EF=BE,连接CF.
(1)求证:四边形BCFE是菱形;
(2)若CE=4,∠BCF=120°,求菱形BCFE的面积.
 
【解答】(1)证明:∵D、E分别是AB、AC的中点,
∴DE∥BC且2DE=BC,
又∵BE=2DE,EF=BE,
∴EF=BC,EF∥BC,
∴四边形BCFE是 平行四边形,
又∵BE=FE,
∴四边形BCFE是菱形;

(2)解:∵∠BCF=120°,
∴∠EBC=60°,
∴△EBC是等边三角形,
∴菱形的边长为4,高为2 ,
∴菱形的面积为4×2 =8 .
 
25.(10分)某校园商店计划从文体批发市场进同一品牌的羽毛球拍和羽毛球,已知一副羽毛球拍的进价比一筒羽毛球多用32元,若用1600元进羽毛球拍和用640元进羽毛球,则所进羽毛球拍的副数是进羽毛球筒数的一半.
(1)求进该品牌的一副羽毛球拍、一筒羽毛球各需要多少元?
(2)经商谈,文体批发市场给予校园商店进一副该品牌的羽毛球拍赠送一筒该品牌的 羽毛球的优惠,如果校园商店需要羽毛 球的筒数是羽毛球拍副数的11倍还多10,且该商店进羽毛球拍和羽毛球的总费用不超过3680 元,那么商店最多可以进多少副该品牌的羽毛球拍?
【解答】解:(1)设进一副羽毛球拍需要x元,则进一筒羽毛球各需要(x+32)元,由题意得
 = • ,
解得:x=8,
经检验x=8是原分式方程的解,
则x+32=40.
答:进一副羽毛球拍需要8元,则进一筒羽毛球各需要40元.
(2)设进a副该品牌的羽毛球拍,则还需购进羽毛球(11a+10﹣a)筒,由题意得
40a+8(11a+10﹣a)≤3680,
解得a≤30.
答:商店最多可以进30副该品牌的羽毛球拍.
 
26.(10分)在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=CD,∠B=90°,点M在边BC上运动,将△ABM沿AM折叠得到△AFM,射线MF交直线CD于点N.
(1)如图1,点N在边CD的延长线上,当∠BCD=45°时,线段FN、DN、 CD之间的数量关系为 FN+DN= CD ;
(2)如图2,点N在边CD上,当∠BCD=60°时,求证:FN=DN+ CD;
(3)如图3,在(2)的条件下,若点N是线段CD中点,且AD=6,求线段MN的长度.
 
【解答】(1)解:结论:FN+DN= CD.
理由:如图1中,作DE⊥BC于E,AH⊥CD于H,连接AN,则四边形ABED是矩形.
 
∵AD∥BC,
∴∠ADH=∠DCE=45°,
∵AD=DC,∠AHD=∠DEC=90°,
∴△AHD≌△DEC,
∴AH=DH=DE=EC= CD,
∵AF=AB=DE,AB=AF,
∴AF=AH,∵AN=AN,
∴Rt△ANH≌Rt△ANF,
∴FN=HN,
∴FN+DN=HN+DN=DH= CD.
故答案为FN+DN= CD.

(2)如图2中,作DE⊥BC于E,AH⊥CD于H,连接AN,则四边形ABED是矩形.
 
∵AD∥BC,
∴∠ADH=∠DCE=60°,
∵AD=DC,∠AHD=∠DEC=90°,
∴△AHD≌△DEC,
∴DH=CE= CD,
∵AF=AB=DE,AB=AF,
∴AF=AH,∵AN=AN,
∴Rt△ANH≌Rt△ANF,
∴FN=HN,
∴FN﹣DN=HN﹣DN=DH= CD,
∴FN=DN+ CD.

(3)如图3中,作DE⊥BC于E,AH⊥CD于H,连接AN,作NF⊥BC于F,则四边形ABED是矩形.
 
由(2)可知,DN=NC=DH=3,FN=NH=6,NF= ,EF=CF= ,AD=BE=CD=6,
设BM=FM=x,
在Rt△MNF中,∵MN2=MF2+FN2,
∴(x+6)2=( ﹣x)2+( )2,
∴x=1,
∴MN=1+6=7.
 
27.(10分)如图,平面直角坐标系中,直线AB:y=﹣x+b交y轴于点A(0,4),交x轴于点B.
(1)求点B的坐标;
(2)直线l垂直平分OB交AB于点D,交x轴于点E,点P是直线l上一动点,且在点D的上方,设点P的纵坐标为n.
①用含n的代数式表示△ABP的面积;
②当S△ABP=8时,求点P的坐标;
(3)在(2)中②的条件下,以PB为斜边作等腰直角△PBC,求点C的坐标.
 
【解答】解:(1)∵把A(0,4)代入y=﹣x+b得b=4
∴直线AB的函数表达式为:y=﹣x+4.
令y=0得:﹣x+4=0,解得:x=4
∴点B的坐标为(4,0).
(2)①∵l垂直平分OB,
∴OE=BE=2.
∵将x=2代入y=﹣x+4得:y=﹣2+4=2.
∴点D的坐标为(2,2).
∵点P的坐标为(2,n),
∴PD=n﹣2.
∵S△APB=S△APD+S△BPD,
∴S△ABP= PD•OE+ PD•BE= (n﹣2)×2+ (n﹣2)×2=2n﹣4.
②∵S△ABP=8,
∴2n﹣4=8,解得:n=6.
∴点P的坐标为(2,6).
③如图1所示:过点C作CM⊥l,垂足为M,再过点B作BN⊥CM于点N.
 
设点C(p,q).
∵△PBC为等腰直角三角形,PB为斜边,
∴PC=CB,∠PCM+∠MCB=90°.
∵CM⊥l,BN⊥CM,
∴∠PMC=∠BNC=90°,∠MPC+∠PCM=90°.
∴∠MPC=∠NCB.
在△PCM和△CBN中,
 ,
∴△PCM≌△CBN.
∴CM=BN,PM=CN.
∴ ,解得 .
∴点C的坐标为(6,4).
如图2所示:过点C作CM⊥l,垂足为M,再过点B作BN⊥CM于点N.
 
设点C(p,q).
∵△PBC为等腰直角三角形,PB为斜边,
∴PC=CB,∠PCM+∠MCB=90°.
∵CM⊥l,BN⊥CM,
∴∠PMC=∠BNC=90°,∠MPC+∠PCM=90°.
∴∠MPC=∠NCB.
在△PCM和△CBN中,
 ,
∴△PCM≌△CBN.
∴CM=BN,PM=CN.
∴ ,解得 .
∴点C的坐标为(0,2).
综上所述点C的坐标为(6,4)或(0,2).

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