2017学年八年级数学下第二次月考试卷(鄂州市鄂城区有答案和解释)

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2017学年八年级数学下第二次月考试卷(鄂州市鄂城区有答案和解释)

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2016-2017学年湖北省鄂州市鄂城区八年级(下)第二次月考数学试卷
 
一、选择题(本大题共10小题,共30分)
1.(3分)下列二次根式中,属于最简二次根式的是 (  )
A.  B.  C.  D.
2.(3分)正方形面积为36,则对角线的长为(  )
A.6 B.  C.9 D.
3.(3分)如图,菱形ABCD中对角线相交于点O,且OE⊥AB,若AC=8,BD=6,则OE的长是(  )
 
A.2.5 B.5 C.2.4 D.不确定
4.(3分)已知直角三角形两边的长为 3和4,则此三角形的周长为(  )
A.12 B.7+  C.12或7+  D.以上都不对
5.(3分)如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠,点D落在D′处,则重叠部分△AFC的面积是(  )
 
A.8 B.10 C.20 D.32
6.(3分)已知 =﹣x ,则(  )
A.x≤0 B.x≤﹣3 C.x≥﹣3 D.﹣3≤x≤0
7.(3分)满足下列条件的三角形:
①三边长之比为3:4:5;
②三内角之比为3:4:5;
③n2﹣1,2n,n2+1;
④ , ,6.
其中能组成直角三角形的是(  )
A.①③ B.②④ C.①② D.③④
8.(3分)小明准备测量一段河水的深度,他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,则河水的深度为(  )
A.2m B.2.5m C.2.25m D.3m
9.(3分)如图,以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB=(  )
 
A.30° B.45° C.22.5° D.135°
10.(3分)已知:如图,在正方形ABCD外取一点E,连接AE、BE、DE.过点A作AE的垂线交DE于点P.若AE=AP=1,PB= .下列结论:
①△APD≌△AEB;
②点B到直线AE的距离为 ;
③EB⊥ED;
④S△APD+S△APB=1+ ;
⑤S正方形ABCD=4+ .
其中正确结论的序号是(  )
 
A.①③④ B.①②⑤ C.③④⑤ D.①③⑤
 
二.填空题(本大题共9小题,共27分)
11.(3分)已知xy=8,求代数式x +y =     .
12.(3分)计算:  =     .
1 3.(3分)要在一个长方体中放入一细直木条,现知长方体的长为2,宽为 ,高为 ,则放入木盒的细木条最大长度为     .
14.(3分)若a,b,c是直角三角形的三条边长,斜边c上的高的长是h,给出下列结论:
①以a2,b2,c2的长为边的三条线段能组成一个三角形
②以 的长为边的三条线段能组成一个三角形
③以a+b,c+h,h的长为边的三条线段能组成直角三角形
④以 的长为边的三条线段能组成直角三角形
其中所有正确结论的序号为     .
15.(3分)如图,点P是▱ABCD内的任意一点,连接PA、PB、PC、PD,得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA,设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4,给出如下结论:
①S1+S3=S2+S4    
②如果S4>S2,则S3>S1
③若S3=2S1,则S4=2S2
④若S1﹣S2=S3﹣S4,则P点一定在对角线BD上.
其中正确的结论的序号是     (把所有正确结论的序号都填在横线上).
 
16.(3分)矩形ABCD的∠A的平分线AE分BC成两部分的比为1:3,若矩形ABCD的面积为36,则其周长为     .
17.(3分)如图所示,ABCD是一个正方形,其中几块阴影部分的面积如图所示,则四边形BMQN的面积为     .
 
18.(3分)在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为:A(﹣2,1),B(﹣3,﹣1),C(1,﹣1).若以A,B,C,D为顶点的四边形为平行四边形,那么点D的坐标是     .
19.(3分)如图,正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合,将△AEF绕其顶点A旋转,在旋转过程中,当BE=DF时,∠BAE的大小是     .
 
 
三.解答题(本大题共7小题,共66分)
20.(8分)计算:
(1) ;
(2) .
21.(5分)先化简,再求值: ,其中 .
22.(10分)如图,某公园内有一棵大树,为测量树高,小明C处用侧角仪测得∠ADE=30°,量出DC=2m,BC=30m,请帮助小明计算出树高AB.
 
23.(10分)去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合大学.为了方便A、B两地师生的交往,学校准备在相距2km的A、B两地之间修筑一条笔直公路AB.经测量,在A地的北偏东60°方向,B地的北偏西45°方向的C处有一个半径为0.7km的公园.
(1)在图中画出点C.
(2)问计划修筑的这条公路会不会穿过公园,为什么?
 
24.(10分)如图,把长方形纸片ABCD沿EF折叠后.点D与点B重合,点C落在点C′的位置上.若∠1=60°,AE=1.
(1)求∠2、∠3的度数;
(2)求长方形纸片ABCD的面积S.
 
25.(10分)如图1,在△ABC中,AB=BC,P为AB边上一点,连接CP,以PA、PC为邻边作▱APCD,AC与PD相交于点E,已知∠ABC=∠AEP=α(0°<α<90°).
(1)求证:∠EAP=∠EPA;
(2)▱APCD是否为矩形?请说明理由;
(3)如图2,F为BC中点,连接FP,将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度,得到∠MEN(点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点).猜想线段EM与EN之间的数量关系,并证明你的结论.
 
26.(10分)如图,以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形,即△ABD、△BCE、△ACF,请回答下列问题:
(1)四边形ADEF是什么四边形?
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是矩形?
(3)当△ABC满足什么条件时,以A、D、E、F为顶点的四边形不存在?
 
 
 

2016-2017学年湖北省鄂州市鄂城区八年级(下)第二次月考数学试卷
参考答案与试题解析
 
一、选择题(本大题共10小题,共30分)
1.(3分)下列二次根式中,属于最简二次根式的是(  )
A.  B.  C.  D.
【考点】74:最简二次根式.
【解答】解:A、 的被开方数中含有分母,故不是最简二次根式,故A选项错误;
B、 =2 ,二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数,故不是最简二次根式,故B选项错误;
C、 =2,二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数,故不是最简二次根式,故C选项错误;
D、 符合最简二次根式的定义,是最简二次根式,故D选项正确.
故选:D.
 
2.(3分)正方形面积为36,则对角线的长为(  )
A.6 B.  C.9 D.
【考点】LE:正方形的性质.
【解答】解:设对角线长是x.则有
 x2=36,
解得:x=6 .
故选:B.
 
3.(3分)如图,菱形ABCD中对角线相交于点O,且OE⊥AB,若AC=8,BD=6,则OE的长是(  )
 
A.2.5 B.5 C.2.4 D.不确定
【考点】L8:菱形的性质;KQ:勾股定理.
【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥DB,AO= AC,BO= BD,
∵AC=8,BD=6,
∴AO=4,BO=3,S菱形ABCD= ×8×6=24,
∴AB= =5,S△AOB=6,
∵ •AB•EO= ×AO×BO,
∴5EO=4×3,
EO= ,
故选:C.
 
4.(3分)已知直角三角形两边的长为3和4,则此三角形的周长为(  )
A.12 B.7+  C.12或7+  D.以上都不对
【考点】KQ:勾股定理.
【解答】解:设Rt△ABC的第三边长为x,
①当4为直角三角形的直角边时,x为斜边,
由勾股定理得,x=5,此时这个三角形的周长=3+4+5=12;
②当4为直角三角形的斜边时,x为直角边,
由勾股定理得,x= ,此时这个三角形的周长=3+4+ ,
故选C.
 
5.(3分)如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠,点D落在D′处,则重叠部分△AFC的面积是(  )
 
A.8 B.10 C.20 D.32
【考点】PB:翻折变换(折叠问题).
【解答】解:重叠部分△AFC的面积是矩形ABCD的面积减去△FBC与△AFD’的面积再除以2,
矩形的面积是32,
∵AB∥CD,
∴∠ACD=∠CAB,
∵△ACD′由△ACD翻折而成,
∴∠ACD=∠ACD′,
∴∠ACD′=∠CAB,
∴AF=CF,
∵BF=AB﹣AF=8﹣AF,
∴CF2=BF2+BC2
∴AF2=(8﹣AF)2+42
∴AF=5,BF=3
∴S△AFC=S△ABC﹣S△BFC=10.
故选B.
 
 
6.(3分)已知 =﹣x ,则(  )
A.x≤0 B.x≤﹣3 C.x≥﹣3 D.﹣3≤x≤0
【考点】73:二次根式的性质与化简.
【解答】解:∵ =﹣x ≥0,
∴x≤0,x+3≥0,
∴﹣3≤x≤0,
故选D.
 
7.(3分)满足下列条件的三角形:
①三边长之比为3:4:5;
②三内角之比为3:4:5;
③n2﹣1,2n,n2+1;
④ , ,6.
其中能组成直角三角形的是(  )
A.①③ B.②④ C.①② D.③④
【考点】KS:勾股定理的逆定理;K7:三角形内角和定理.
【解答】解:①三边长之比为3:4:5;则有(3x)2+(4x)2=(5x)2,为直角三角形;
②三个内角度数之比为3:4:5,
则各角度数分别为180°× =45°,180°× =60°,180°× =75°,不是直角三角形;
③∵(n2﹣1)2+(2n)2=(n2+1)2,∴是直角三角形,∠C是直角.
④∵( +1)2+( ﹣1)2≠62,∴不是直角三角形;
故选:A.
 
8.(3分)小明准备测量一段河水的深度,他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,则河水的深度为(  )
A.2m B.2.5m C.2.25m D.3m
【考点】KU:勾股定理的应用.
【解答】解:若假设竹竿长x米,则水深(x﹣0.5)米,由题意得,
x2=1.52+(x﹣0.5)2解之得,x=2.5
所以水深2.5﹣0.5=2米.
故选A.
 
 
9.(3分)如图,以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB=(  )
 
A.30° B.45° C.22.5° D.135°
【考点】L8:菱形的性质;LE:正方形的性质.
【解答】解:因为AC为正方形ABCD的对角线,则∠CAE=45°,又因为菱形的每一条对角线平分一组对角,则∠FAB=22.5°,
故选:C.
 
10.(3分)已知:如图,在正方形ABCD外取一点E,连接AE、BE、DE.过点A作AE的垂线交DE于点P.若AE=AP=1,PB= .下列结论:
①△APD≌△AEB;
②点B到直线AE的距离为 ;
③EB⊥ED;
④S△APD+S△APB=1+ ;
⑤S正方形ABCD=4+ .
其中正确结论的序号是(  )
 
A.①③④ B.①②⑤ C.③④⑤ D.①③⑤
【考点】LE:正方形的性质;KB:全等三角形的判定;KU:勾股定理的应用.
【解答】解:①∵∠EAB+∠BAP=90°,∠PAD+∠BAP=90°,
∴∠EAB=∠PAD,
又∵AE=AP,AB=AD,
∴△APD≌△AEB(故①正确);
③∵△APD≌△AEB,
∴∠APD=∠AEB,
又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP,∠APD=∠AEP+∠PAE,
∴∠BEP=∠PAE=90°,
∴EB⊥ED(故③正确);
②过B作BF⊥AE,交AE的延长线于F,
∵AE=AP,∠EAP=90°,
∴∠AEP=∠APE=45°,
又∵③中EB⊥ED,BF⊥AF,
∴∠FEB=∠FBE=45°,
又∵BE= = = ,
∴BF=EF= (故②不正确);
④如图,连接BD,在Rt△AEP中,
∵AE=AP=1,
∴EP= ,
又∵PB= ,
∴BE= ,
∵△APD≌△AEB,
∴PD=BE= ,
∴S△ABP+S△ADP=S△ABD﹣S△BDP= S正方 形ABCD﹣ ×DP×BE= ×(4+ )﹣ × × = + .(故④不正确).
⑤∵EF=BF= ,AE=1,
∴在Rt△ABF中,AB2=(AE+EF)2+BF2=4+ ,
∴S正方形ABCD=AB2=4+ (故⑤正确);
故选:D.
 
 
二.填空题(本大题共9小题,共27分)
11.(3分)已知xy=8,求代数式x +y = ±4  .
【考点】78:二次根式的加减法.
【解答】解:∵xy=8,
∴当x<0,y<0时,原式=  +  =﹣2 =﹣4 ;
当x>0,y>0时,原式=4 .
故答案为:±4
 
12.(3分)计算:  = 5﹣2  .
【考点】79:二次根式的混合运算.
【解答】解:原式=[(2 +5)(2 ﹣5)2007•(2 ﹣5)
=(24﹣25)2007•(2 ﹣5)
=﹣(2 ﹣5)
=5﹣2 .
故答案为5﹣2 .
 
13.(3分)要在一个长方体中放入一细直木条,现知长方体的长为2,宽为 ,高为 ,则放入木盒的细木条最大长度为 3 .
【考点】KU:勾股定理的应用.
【解答】解:由题意可知FG= 、EF=2、CG= ,连接EG、CE,
在直角△EFG中,
EG= = = ,
在Rt△EGC中,EG= ,CG= ,
由勾股定理得CE= =3,
故答案为:3.
 
 
14.(3分)若a,b,c是直角三角形的三条边长,斜边c上的高的长是h,给出下列结论:
①以a2,b2,c2的长为边的三条线段能组成一个三角形
②以 的长为边的三条线段能组成一个三角形
③以a+b,c+h,h的长为边的三条线段能组成直角三角形
④以 的长为边的三条线段能组成直角三角形
其中所有正确结论的序号为 ②③ .
【考点】KS:勾股定理的逆定理;K6:三角形三边关系.
【解答】解:(1)直角三角形的三条边满足勾股定理a2+b2=c2,因而以a2,b2,c2的长为边的三条线段不能满足两边之和>第三边,故不能组成一个三角形,故错误;

(2)直角三角形的三边有a+b>c(a,b,c中c最大),而在 三个数中 最大,如果能组成一个三角形,则有 成立,即 ,即a+b+ ,(由a+b>c),则不等式成立,从而满足两边之和>第三边,则以 的长为边的三条线段能组成一个三角形,故正确;

(3)a+b,c+h,h这三个数中c+h一定最大,(a+b)2+h2=a2+b2+2ab+h2,(c+h)2=c2+h2+2ch
又∵2ab=2ch=4S△ABC
∴(a+b)2+h2=(c+ h)2,根据勾股定理的逆定理
即以a+b,c+h,h的长为边的三条线段能组成直角三角形.故正确;

(4)若以 的长为边的3条线段能组成直角三角形,
假设a=3,b=4,c=5,
∵( )2+( )2≠( )2,
∴以这三个数的长为线段不能组成直角三角形,故错误.
故填②③.
 
15.(3分)如图,点P是▱ABCD内的任意一点,连接PA、PB、PC、PD,得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA,设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4,给出如下结 论:
①S1+S3=S2+S4    
②如果S4>S2,则S3>S1
③若S3=2S1,则S4=2S2
④若S1﹣S2=S3﹣S4,则P点一定在对角线BD上.
其中正确的结论的序号是 ①④ (把所有正确结论的序号都填在横线上).
 
【考点】L5:平行四边形的性质.
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,
设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h1、h2、h3、h4,
则S1= ABh1,S2= BCh2,S3= CDh3,S4= ADh4,
∵ ABh1+ CDh3= AB•hAB,  BCh2+ ADh4= C•hBC,
又∵S平行四边形ABCD=AB•hAB=BC•hBC
∴S2+S4=S1+S3,故①正确;
根据S4>S2只能判断h4>h2,不能判断h3>h1,即不能得出S3>S1,∴②错误;
根据S3=2S1,能得出h3=2h1,不能推出h4=2h2,即不能推出S4=2S2,∴③错误;
∵S1﹣S2=S3﹣S4,
∴S1+S4=22+S3=S平行四边形ABCD,
此时S1+S4=S2+S3=S△ABD=S△BDC= S平行四边形ABCD,
即P点一定在对角线BD上,
∴④正确;
故答案为:①④.
 
16.(3分)矩形ABCD的∠A的平分线AE分BC成两部分的比为1:3,若矩形ABCD的面积为36,则其周长为 30或14  .
【考点】LB:矩形的性质.
【解答】解:
∵AE平分∠DAB,
∴∠DAE=∠EAB,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,DC=AB,AD∥BC,
∴∠DEA=∠BEA,
∴∠EAB=∠BEA,
∴AB=BE,
①设BE=x,CE=3x,则AD=4x,AB=x,
∵矩形ABCD的面积为36,
∴x•4x=36,
解得:x=3,
即AD=BC=4x=12,AB=CD=x=3,
∴矩形的周长为:AB+BC+CD+AD=2×(3+12)=30;
②设BE=3x,CE=x,则AD=4x,AB=3x,
∵矩形ABCD的面积为36,
∴3x•4x=36,
解得:x= ,
即AD=BC=4x=4 ,AB=CD=3x=3 ,
∴矩形的周长为:AB+BC+CD+AD=2×(4 +3 )=14 ;
故答案为:30或14 .
 
17.(3分)如图所示,ABCD是一个正方形,其中几块阴影部分的面积如图所示,则四边形BMQN的面积为 24 .
 
【考点】LE:正方形的性质.
【解答】解:S四边形BMQN=S正方形ABCD﹣(S△ADN+S△DMC﹣S四边形PQRD)﹣S△APM﹣S△CNR
=S正方形ABCD﹣S正方形ABCD+S四边形PQRD﹣S△APM﹣S△CNR
=51﹣15﹣12
=24.
故答案为:24.
 
18.(3分)在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为:A(﹣2,1),B(﹣3,﹣1),C(1,﹣1).若以A,B,C,D为顶点的四边形为平行四边形,那么点D的坐标是 (﹣6,1)或(2,1)或(0,﹣3) .
【考点】D5:坐标与图形性质 ;L5:平行四边形的性质.
【解答】解:过点A、D作AE⊥BC、DF⊥BC,垂足分别为E、F
∵以A,B,C,D为顶点的四边形为平行四边形,
∴AD∥BC,B(﹣3,﹣1)、C(1,﹣1);
∴BC∥x轴∥AD,又A(﹣2,1).
∴点D纵坐标为1;
∵▱ABCD中,AE⊥BC,DF ⊥BC.
∴△ABE≌△DCF
∴CF=BE=1;
∴点D横坐标为1+1=2
∴点D(2,1).
同理可得D点坐标还可以为(﹣6,1)或(2,1)或(0,﹣3);
故点D为(﹣6,1)或(2,1)或(0,﹣3).
 
 
19.(3分)如图,正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合,将△AEF绕其顶点A旋转,在旋转过程中,当BE=DF时,∠BAE的大小是 15°或165° .
 
【考点】R2:旋转的性质;KK:等边三角形的性质;LE:正方形的性质.
【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=90°,AB=AD,
∵△AEF是等边三角形,
∴AE=AF,∠EAF=60°,
分两种情况:
①如图,当正△AEF在正方形ABCD内部时,
在△ABE和△ADF中,
∴△ABE≌△ADF(SSS),
∴∠BAE=∠DAF= (90°﹣60°)=15°
②如图,当正△AEF在正方形ABCD外部时,
在△ABE和△ADF中,
∴△ABE≌△ADF(SSS),
∴∠BAE=∠DAF= (360°﹣90°+60°)=165°
故答案为:15°或165°.
 
 
 
三. 解答题(本大题共7小题,共66分)
20.(8分)计算:
(1) ;
(2) .
【考点】79:二次根式的混合运算.
【解答】解:(1)原式=5+2 +2﹣(5﹣2 +2)
=7+2 ﹣7+2
=4 ;
(2)原式=(9 + ﹣2 )÷4
=8 ÷4
=2.
 
21.(5分)先化简,再求值: ,其中 .
【考点】6D:分式的化简求值.
【解答】解:原式= • = • = ,
当a= ﹣1时,原式= .
 
22.(10分)如图,某公园内有一棵大树,为测量树高,小明C处用侧角仪测得∠ADE=30°,量出DC=2m,BC=30m,请帮助小明计算出树高AB.
 
【考点】KU:勾股定理的应用.
【解答】解:∵在D处用测角仪测得树顶端A的仰角为30°,
∴∠ADE=30°, ED=CB=30cm,
∴AE=DE•tan30°=30× =10 ,
∵DC=2m,
则树高AB=AE+EB=AE+DC=(10 +2)m.
答:树高AB约为(10 +2)米.
 
23.(10分)去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合大学.为了方便A、B两地师生的交往,学校准备在相距2km的A、B两地之间修筑一条笔直公路AB.经测量,在A地的北偏东60°方向,B地的北偏西45°方向的C处有一个半径为0.7km的公园.
(1)在图中画出点C.
(2)问计划修筑的这条公路会不会穿过公园,为什么?
 
【考点】TB:解直角三角形的应用﹣方向角问题.
【解答】解:(1)根据题意如图:
 

(2)过点C作CD⊥AB于D,
设CD为xkm,则BD为xkm,AD为 km,则有x+ x=2,
解得:x= ﹣1≈0.7321>0.7,
则计划修筑的这条公路不会穿过公园.
 
24.(10分)如图,把长方形纸片ABCD沿EF折叠后.点D与点B重合,点C落在点C′的位置上.若∠1=60°,AE=1.
(1)求∠2、∠3的度数;
(2)求长方形纸片ABCD的面积S.
 
【考点】PB:翻折变换(折叠问题);LB:矩形的性质.
【解答】解:(1)∵AD∥BC,
∴∠2=∠1=60°;
又∵∠4=∠2=60°,
∴∠3=180°﹣60°﹣60°=60°.

(2)在直角△ABE中,由(1)知∠3=60°,
∴∠5=90°﹣60°=30°;
∴BE=2AE=2,
∴AB= = ;
∴AD=AE+DE=AE+BE=1+2=3,
∴长方形纸片ABCD的面积S为:AB•AD= ×3=3 .
 
 
25.(10分)如图1,在△ABC中,AB=BC,P为AB边上一点,连接CP,以PA、PC为邻边作▱APCD,AC与PD相交于点E,已知∠ABC=∠AEP=α(0°<α<90°).
(1)求证:∠EAP=∠EPA;
(2)▱APCD是否为矩形?请说明理由;
(3)如图2,F为BC中点,连接FP,将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度,得到∠MEN(点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点).猜想线段EM与EN之间的数量关系,并证明你的结论.
 
【考点】R2:旋转的性质;KB:全等三角形的判定;KH:等腰三角形的性质;L5:平行四边形的性质;LC:矩形的判定.
【解答】(1)证明:在△ABC和△AEP中,
∵∠ABC=∠AEP,∠BAC=∠EAP,
∴∠ACB=∠APE,
在△ABC中,AB=BC,
∴∠AC B=∠BAC,
∴∠EPA=∠EAP.

(2)解:▱APCD是矩形.理由如下:
∵四边形APCD是平行四边形,
∴AC=2EA,PD=2EP,
∵由(1)知∠EPA=∠EAP,
∴EA=EP,
则AC=PD,
∴▱APCD是矩形.

(3)解:EM=EN.
证明:∵EA=EP,
∴∠EPA= = =90°﹣ α,
∴∠EAM=180°﹣∠EPA=180°﹣(90°﹣ α)=90°+ α,
由(2)知∠CPB=90°,F是BC的中点,
∴FP=FB,
 ∴∠FPB=∠ABC=α,
∴∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90°﹣ α+α=90°+ α,
∴∠EAM=∠EPN,
∵∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度,得到∠MEN,
∴∠AEP=∠MEN,
∴∠AEP﹣∠AEN=∠MEN﹣∠AEN,即∠MEA=∠NEP,
在△EAM和△EPN中,
 
∴△EAM≌△EPN(ASA),
∴EM=EN.
 
26.(10分)如图,以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形,即△ ABD、△BCE、△ACF,请回答下列问题:
(1)四边形ADEF是什么四边形?
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是矩形?
(3)当△ABC满足什么条件时,以A、D、E、F为顶点的四边形不存在?
 
【考点】LC:矩形的判定;KD:全等三角形的判定与性质;L6:平行四边形的判定.
【解答】解:(1)四边形ADEF是平行四边形.
理由:∵△ABD,△EBC都是等边三角形.
∴AD=BD=AB,BC=BE=EC
∠DBA=∠EBC=60°
∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA.
∴∠DBE=∠ABC.
在△DBE和△ABC中
∵BD=BA
∠DBE=∠ABC
BE=BC,
∴△DBE≌△ABC.
∴DE=AC.
又∵△ACF是等边三角形,
∴AC=AF.
∴DE=AF.
同理可证:AD=EF,
∴四边形ADEF平行四边形.

(2)∵四边形ADEF是矩形,
∴∠FAD=90°.
∴∠BAC=360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°.
∴∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形.

(3)当∠BAC=60°时,以A,D,E,F为顶点的四边形不存在.
理由如下:
若∠BAC=60°,则∠DAF=360°﹣∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣60°﹣60°﹣60°=180°.
此时,点A、D、E、F四点共线,
∴以A、D、E、F为顶点的四边形不存在.

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