2017-2018学年八年级数学下专题整合训练(1)三角形的证明(北师大含答案)

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2017-2018学年八年级数学下专题整合训练(1)三角形的证明(北师大含答案)

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专题整合训练

专题一 等腰三角形的性质与判定
 
1.(2017•山东滨州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且DA=DC,BD=BA,则∠B的大小为(B )
                
A.40° B.36° C.30° D.25°
 
2.如图所示,点D,E在△ABC的边BC上,连接AD,AE.
①AB=AC;②AD=AE;
③BD=CE.
以此三个等式中的两个作为命题的题设,另一个作为命题的结论,构成三个命题:①②⇒③;①③⇒②;②③⇒①.
(1)以上三个命题是真命题的为(直接作答)     ;
(2)请选择一个真命题进行证明(先写出所选命题,然后证明).
(1)解①②⇒③,①③⇒②,②③⇒①.
(2)证明①②⇒③
 
方法一:∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
又AD=AE,
∴∠ADG=∠AEG.
∵∠ADG=∠B+∠BAD,∠AEG=∠C+∠CAE,∴∠BAD=∠CAE.
在△ABD与△ACE中,AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,则△ABD≌△ACE(SAS).
∴BD=CE.
方法二:过点A作△ABC的高AG,
∵AB=AC,AG⊥BC,∴BG=CG.
又AD=AE,AG⊥DE,∴DG=EG.
∵BD=BG-DG,CE=CG-GE,
∴BD=CE.
专题二 等边三角形的性质与判定
 
3. 导学号99804031如图,在△ABC中,D是AB边上的一点,且AD=DC=DB,∠B=30°.求证:△ADC是等边三角形.
证明∵DC=DB,
∴∠B=∠DCB=30°(等边对等角).
∴∠ADC=∠DCB+∠B=60°.
又AD=DC,∴△ADC是等边三角形(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形).
 
4. 导学号99804032如图,△ABC是等边三角形,∠1=∠2=∠3,求∠BEC的度数.
解∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=CA,∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°.
∵∠1=∠2=∠3,∴∠BAC-∠1=∠ABC-∠2=∠BCA-∠3,即∠CAF=∠ABD=∠BCE.
在△ABD和△BCE和△CAF中,
{■(∠1=∠2=∠3"," @AB=BC=CA"," @∠ABD=∠BCE=∠CAF"," )┤
∴△ABD≌△BCE≌△CAF(ASA).
∴AD=BE=CF,BD=CE=AF.
∴AD-AF=BE-BD=CF-CE,
即FD=DE=EF.
∴△DEF是等边三角形.∴∠FED=60°.
∴∠BEC=180°-∠FED=180°-60°=120°.
 
5. 导学号99804033如图所示,等边△ABC和等边△DCE在直线BCE的同一侧,AE交CD于点P,BD交AC于点Q,求证:△PQC为等边三角形.
证明
 
在等边△ABC和等边△DCE中,BC=AC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°,
所以∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠BCD=∠ACE.
在△BCD和△ACE中,{■(BC=AC"," @∠BCD=∠ACE"," @CD=CE"." )┤
所以△BCD≌△ACE(SAS).
所以∠1=∠2.
因为∠ACB=∠DCE=60°,
所以∠ACD=180°-∠ACB-∠DCE=60°.
所以∠BCQ=∠ACP.
在△BCQ和△ACP中,{■(∠1=∠2"," @BC=AC"," @∠BCQ=∠ACP"," )┤
所以△BCQ≌△ACP.所以CQ=CP.
又因为∠QCP=60°,所以△PQC为等边三角形.
专题三 直角三角形的性质与判定
 
6.如图所示,在△ABC中,CD是AB边上的高,且CD2=AD•BD.求证:△ABC是直角三角形.
证明在Rt△ACD中,由勾股定理得AC2=AD2+CD2.
在Rt△BCD中,由勾股定理得BC2=BD2+CD2.
∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD•BD+BD2=(AD+BD)2=AB2.
∴△ABC是直角三角形.
7. 导学号99804034如图所示,点P是等边三角形ABC内的一点,连接PA,PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且PB=BQ,连接CQ,若PA∶PB∶PC=3∶4∶5,连接PQ.求证:△PQC是直角三角形.
 
证明∵PA∶PB∶PC=3∶4∶5,
∴设PA=3a,PB=4a,PC=5a.
在△PBQ中,∵PB=BQ=4a,且∠PBQ=60°,
∴△PBQ是等边三角形.∴PQ=4a.
在△PQC中,∵PQ2+QC2=16a2+9a2=25a2=PC2,∴△PQC是直角三角形.
专题四 线段垂直平分线与角平分线性质的应用
8.(2016•贵州毕节中考)到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的(D )
A.三条高的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条边的垂直平分线的交点
 
9.(2017•湖南益阳中考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,DE是线段AC的垂直平分线,若BE=a,AE=b,则用含a,b的代数式表示△ABC的周长为2a+3b .
10.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB的垂直平分线DE交AC于点E,交BC的延长线于点F,若∠F=30°,DE=1,求BE的长.
 
解∵∠ACB=90°,FD⊥AB,
∴∠ACB=∠FDB=90°.
∵∠F=30°,∴∠A=∠F=30°.
又AB的垂直平分线DE交AC于点E,
∴∠EBA=∠A=30°.
∴Rt△DBE中,BE=2DE=2.
 
11. 导学号99804035如图,已知AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.求证:AD垂直平分EF.
证明∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.
∴点D在EF的垂直平分线上.
在Rt△ADE和Rt△ADF中,AD=AD,DE=DF,∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL).
∴AE=AF.
∴点A在EF的垂直平分线上.
∵两点确定一条直线,∴直线AD是线段EF的垂直平分线.

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