八年级数学下第18章平行四边形整合提升试卷(附答案)

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八年级数学下第18章平行四边形整合提升试卷(附答案)

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专训1 判定平行四边形的四种常用方法
名 师点金:
判定平行四边形的方法通常有四种,即定义和三种判定定理,选择判定方法时,一定要结合题目的条件,选择恰当的方法,从而简化解题过程.
  利用两组对边分别平行判定平行四边形
1.如图,在▱ABCD中,E,F分别为AD,BC上的点,且BF=DE,连结AF,CE,BE,DF,AF与BE相交于M点,DF与CE相交于N点.求证:四边形FMEN为平行四边形.
 

  利用两组对边分别相等判定平行四边形
2.如图,已知△ABD,△BCE,△ACF都是等边三角形.
求证:四边形ADEF是平行四边形.
 


  利用一组对边平行且相等判定平行四边形
3.(中考•启东)如图,AB∥CD,AB=CD,点E,F在BC上,且BE=CF.
(1)求证:△ABE≌△DCF;
(2)试证明:以A,F,D,E为顶点的四边形是平行四边形.
 


  利用对角线互相平分判定平行四边形
4.(中考•哈尔滨)如图①,▱ABCD中,点O是对角线AC的中点,E F过点O,与AD,BC分别相交于点E,F,GH过点O,与AB,CD分别相交于点G,H,连结EG,FG,FH,EH.
(1)求证:四边形EGFH是平行四边形;
(2)如图②,若EF∥AB,GH∥BC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平 行四边形(四边形AGHD除外).


专训2 平行四边形的性质与判定的四种常见应用题型
名师点金:
平行四边形的性质与判定定理的应用是中考的重点内容之一,从平行四边形的边、角、对角线等方面进行考查,题型多样,一般以简单题为主,有向解决实际问题方面发展 的趋势.
  利用性质与判定判定平行四边形
1.如图,在▱ABCD中,AE,CF分别是∠DAB,∠BCD的平分线.求证:四边形AFCE是平行四边形.
 

  利用性质与判定探究线段的关系
2.(中考•青岛)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,AE∥BC,CE⊥AE,垂足为E.
(1)求证:△ABD≌△CAE;
(2)连结DE,线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系?请说明理由.
 


  利用性质与判定探究四边形的动点问题
3.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=5,BC=8,M是CD的中点,P是BC边上的一个动点(点P与点B,C不重合),连结PM并延长交AD的延长线于点Q.问:当BP取何值时,四边形ABPQ是平行四边形?请说明理由.

 

  利用性质与判定解决翻折问题
4.如图,在长方形纸片ABCD中,翻折∠B,∠D,使BC,AD都恰好落在AC上,F,H分别是B,D落在AC上的两点,E,G分别是折痕CE,AG与AB,CD的交点.
(1)求证:四边形AECG是平行四边形;
(2)若AB=4 cm,BC=3 cm,求线段EF的长.


专训3 全章热门考点整合应用
名师点金:
本章是中考必考内容,主要考查平行四边形的判定和性质,也常与其他内容相结合进行综合考查;其主要考点可概括为:一个图形,一个性质,一个判定,两个技巧,一种思想.
  一个图形——平行四边形
 
(第1题)
1.如图,E,F分别为平行四边形ABCD两对边AD,BC的中点,AF与BE交于点G,CE与DF交于点H,连结GH,则图中平行四边形的个数为(  )
A.7个  B.8个  C.9个  D.10个
  一个性质——平行四边形的性质
2.如图,已知D是△ABC的边AB上一 点,CE∥AB,DE交AC于点O,且OA=OC,猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系,并说明理由.
 

  一个判定——平行四边形的判定
3.如图,已知BE∥DF,∠ADF=∠CBE,AF=CE.求证:四边形DEBF是平行四边形.
 


  两个作辅助线技巧
技巧1 连对角线或平移对角线
4.(中考•遂宁)如图,在▱ABCD中,点E,F在对角线BD上,且BE=DF.
求证:(1)AE=CF;
(2)四边形AECF是平行四边形.


技巧2 作平行线间的垂线段
5.如图,已知四边形ABCD为平行四边形.
求证:AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.

  一种思想——转化思想
6.如图,已知点E,F分别在▱ABCD的边DC和CB上,且AE=AF,DG⊥AF,BH⊥AE,点G,H是垂足.
求证:DG=BH.
答案
 

专训1
 1.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.
又∵DE=BF,
∴四边形BFDE为平行四边形.
∴BE∥DF.
同理AF∥CE.
∴四边形FMEN为平行四边形.
2.证明:∵△ABD,△BCE,△ACF都是等边三角形,
∴BA=BD=AD,BC=BE,∠DBA=∠ EBC=60°,AC=AF.
∴∠EBC-∠EBA=∠DBA-∠EBA,
∴∠ABC=∠DBE.
∴△ABC≌△DBE.
∴AF=AC=DE.∴AF=DE.
同理可证△ABC≌△FEC,
∴AB=EF.∴ AD=EF.
∴四边形ADEF是平行四边形.
3.证明:(1)∵AB∥CD,
 
(第3题)
∴∠B=∠C.
∵在△ABE与△DCF中,AB=DC,∠B=∠C,BE=CF,
∴△ABE≌△DCF(S.A.S.).
(2)如图,连结AF,DE.由(1)知,△ABE≌△DCF,∴AE=DF,∠AEB=∠DFC,∴∠AEF=∠DFE,∴AE∥DF,∴四边形AFDE是平行四边形,即以A,F,D,E为顶点的四边形是平行四边形.
4.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,OA=OC,
∴∠EAO= ∠FCO.
在△OAE与△OCF中,
∠EAO=∠FCO,OA=OC,∠AOE=∠COF,
∴△OAE≌△OCF,∴OE=OF.
同理OG=OH,
∴四边形EGFH是平行四边形.
(2)解:与四边形AGHD面积相等的平行四边形有▱GBCH,▱ABFE,▱EFCD,▱EGFH.
 

专训2
1.证明:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴DC∥AB,∠BCD=∠DAB.
又∵AE,CF分别是∠DAB,∠BCD的平分线,∴∠EA B=12∠DAB,∠DCF=12∠DCB.∴∠EAB=∠DCF.
∵DC∥AB,∴∠DCF+∠CFA=180°.
∴∠EAB+∠CFA=180°.∴AE∥CF.
又∵DC∥AB,
∴四边形AFCE是平行四边形.
2.(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.
又∵AD是BC边上的中线,
∴AD⊥BC.即∠ADB=90°.
∵AE∥BC,∴∠EAC=∠ACB.
∴∠B=∠EAC.
∵CE⊥AE,∴∠CEA=90°.
∴∠ADB=∠CEA.
又∵AB=CA,
∴△ABD≌△CAE(A.A.S).
(2)解:DE∥AB且DE=AB.理由如下:
∵△ABD≌△CAE,∴AE=BD.
又∵AE∥BD,
∴四边形ABDE是平行四边形.
∴DE∥AB且DE=AB.
3.解:当BP=132时,四边形ABPQ是平行四边形.
理由:设PC=x,则BP=8-x.
因为M是CD的中点,所以DM=CM.
因为AD∥BC,所以∠Q=∠MPC.
又因为∠DMQ=∠CMP,
所以△DMQ≌△CMP.
所以DQ=PC=x.
所以AQ=AD+DQ=5+x.
因为BP=AQ,所以8-x=5+x.
解得x=32.
所以BP=8-32=132.
故当BP=132时,四边形ABPQ是平行四边形.
4.(1)证明:由翻折可得∠GAH=12∠DAC,∠ECF=12∠ACB.
∵四边形ABCD是长方形,
∴DA∥BC.∴∠DAC=∠ACB.
∴∠GAH=∠ECF.
∴AG∥CE.
又∵AE∥CG,
∴四边形AECG是平行四边形.
(2)解:易得AC=5 cm,∴AF=2 cm,
设EF=BE=x cm,则AE=(4-x)cm,
∴在Rt△AEF中,AE2=AF2+EF2.
即(4-x)2=22+x2,
解得x=32.
∴线段EF的长为32 cm.

专训3
1.B
2.解:线段CD与线段AE平行且相等.
理由:∵CE∥AB,
∴∠DAO=∠ECO.
又∵OA=OC,∠AOD=∠COE,
∴△AOD≌△COE,
∴OD=OE.又∵OA=OC,
∴四边形ADCE为平行四边形,
∴CD与AE平行且相等.
3.证明:∵BE∥DF,
∴∠AFD=∠CEB.
又∵∠ADF=∠CBE,AF=CE,
∴△ADF≌△CBE(A.A.S.).
∴DF=BE.
又∵BE∥DF,
∴四边形DEBF是平行四边形.
4.证明:(1)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD.
∴∠ABE=∠CDF.
在△ABE和△CDF中,
AB=CD,∠ABE=∠CDF,BE=DF,
∴△ABE≌△CDF.∴AE=CF.
(2)如图,连结AC,与BD交于点O.
∵ 四边形ABCD为平行四边形,
∴AO=CO,BO=DO.
又∵BE=DF,∴EO=FO.
∴四边形AECF是平行四边形.
 
(第4题)
5.证明:如图,过点A作AE⊥BC于点E,过点D作DF⊥BC,交BC的延长线于点F,
∴AC2=AE2+CE2=AB2-BE2+(BC-BE)2=AB2+BC2-2BE•BC,
BD2=DF2+BF2=(CD2-CF2)+(BC+CF)2=CD2+BC2+2BC•CF.
∴AC2+BD2=AB2+CD2+BC2+BC2+2BC•CF-2BE•BC.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB∥CD且AB=DC,DA=BC.
∴∠ABE=∠DCF.
∵∠AEB=∠DFC=90°,
∴△ABE≌△DCF.∴BE=CF.
∴AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.
 
(第5题)
6.证明:如图,连结BE,DF.
易得S△ABE=12S▱ABCD,S△ADF=12S▱ABCD,
所以S△ABE=S△ADF.
所以12AE•BH=12AF•DG.
又因为AE=AF,所以DG=BH.

 
(第6题)
点拨:这里运用了转化思想.将线段相等的问题转化为面积相等的问题,使问题迎刃而解.

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