八年级数学下第16章函数及其图象整合提升试卷(含答案)

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八年级数学下第16章函数及其图象整合提升试卷(含答案)

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文章
来源 莲山课
件 w w w.5 Y K
j.Co M

专训1 用一次函数巧解实际中方案设计的应用
名师点金:
做一件事情,有时有不同的方案,比较这些方案,从中选择最佳方案作为行动计划,是非常必要的.解决这些问题时,先要弄清题意,根据题意构建恰当的函数模型,求出自变量的取值范围,然后再结合实际问题确定最佳方案.
  合理决策问题
1.某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品,经市场调研发现,如果本月初出售,可获利10%,然后将本利再投资其他商品,到下月初又可获利10%;如果下月初出售可获利25%,但要支付仓储费8 000元.设商场投入资金x元,请你 根据商场的资金情况,向商场提出合理化建议,说明何时出售获利较多.
 
  选择方案问题
2.某教育行政部门计划今年暑假组织部分教师到外地进行学习,预订宾馆住宿时,有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择,其收费标准均为每人每天120元,并且各自推出不同的优惠方案.甲家是 35人(含35人)以内的按标准收费,超过35人的,超出部分按九折收费;乙家是45人(含45人)以内的按标准收费,超过45人的,超出部分按八折收费.如果你是这个部门的负责人,你应选择哪家宾馆更实惠些?


  最佳效益问题
3.(中考•包头)甲、乙两个商场出售相同的某种商品,每件售价均为3 000元,并且多买都有一定的优惠.甲商场的优惠条件是:第一件按原售价收费,其余每件优惠30%;乙商场的优惠条件是:每件优惠25%.设所买商品为x件时,甲商场收费为y1元,乙商场收费为y2元.
(1)分别求出y1,y2与x之间的关系式.


(2)当甲、乙两个商场的收费相同时,所买商品为多少件?


(3)当所买商品为5件时,应选择哪个商场更优惠?请说明理由.


专训2 反比例函数与一次函数的综合应用
名师点金:
反比例函数单独考查的时候很少,与一次函数综合考查的情况较多,有时也与二次函数(以后会学到)综合考查.其考查形式有:两种函数图象在同一坐标系中的情况,两种函数的图象与性质,两种函数图象的交点情况、交点坐标,用待定系数法求函数表达式及求与函数图象有关的几何图形的面积等.
  反比例函数图象与一次函数图象的位置判断
1.如图,函数y=k(x-10)和函数y=kx(其中k是不等于0的常数)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能为(  )
 
(第1题)
A.①③  B.①④
C.②③  D.②④
2.一次函数y=kx+b与反比例函数y=kx(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象如图所示,则k,b的取值范围是(  )
A.k>0,b>0  B.k<0,b>0
C.k<0,b<0  D.k>0,b<0
 
(第2题)
 
(第3题)
 
(第4题)
  反比例函数与一次函数的图象与性质
3.(中考•仙桃)如图,正比例函数y1=k1x和反比例函数y2=k2x的图象交于A(1,2),B两点,给出下列结论:
①k1<k2;
②当 x<-1时,y1<y2;
③当y1>y2时,x>1;
④当x<0时,y2随x的增大而减小.
其中正确的有(  )
A.0个  B.1个
C.2个  D.3个
4.已知函数y1=x(x≥0),y2=4x(x>0)的图象如图所示,则以下结论:
①两函数图象的交点A的坐标为(2,2);
②当x>2时,y1>y2;
③图中BC=2;
④两函数图象构成的图形是轴对称图形;
⑤当x逐渐增大时,y1随着x的增大而增大,y2随着x的增大而减小.
其中正确结论的序号是____________.
  反比例函数与一 次函数的有关计算
类型1 求函数表达式
5.如图,已知A(n,-2),B(1,4)是一次 函数y=kx+b的图象和反比例函数y=mx的图象的两个交点,直线AB与y轴交于点C.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)求△AOC的面积.


6.已知反比例函数y=kx(k≠0)和一次函数y=mx+n(m≠0)的图象的一个交点A的坐标为(-3,4),且一次函数的图象与x轴的交点到原点的距离为5,求这两个函数的表达式.
 

类型2 求面积
7.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=2x+n与x轴、y轴分别交于点A,B,与双曲线y=4x在第一象限内交于点C(1,m).
(1)求m和n的值;
(2)过x轴上的点D(3,0)作平行于y轴的直线l,分别与直线AB和双曲线y=4x交于点P,Q,求△APQ的面积.
 

类型3 求点的坐标
8.如图,在平面直角坐标系中,过点M(0,2)的直线l与x轴平行,且直线l分别与反比例函数y=6x(x>0)和y=kx(x<0)的图象交于点P、点Q.
(1)求点P的坐标;

(2)若△POQ的面积为8,求k的值.

类型4 有关最值的计算题
9.如图,一次函数y=mx+5的图象与反比例函数y=kx(k≠0)在第一象限的图象交于A(1,n)和B(4,1)两点,过点A作y轴的垂线,垂足为M.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)求△OAM的面积S;
(3)在y轴上求一点P,使PA+PB最小.


专训3 全章热门考点整合应用
名师点金:
本章内容是中考的必考内容,是历年来中考的热点,主要考查一次函数与反比例函数的图象与性质,求函数的表达式,建立一次函数模型解决利润、方案等实际问题,利用反比例函数解决学科内、学科间的综合问题.题型涉及选择题、填空题与解答题.其热门考点可概括为:四个概念、三个图象、两个性质、三个关系、一个方法、两个应用、一个技巧.
  四个概念
概念1 变量与常量
1.(1)设圆柱的底面半径R不变,圆柱的体积V与圆柱的高h的关系式是V=πR2h,在这个变化过程中常量和变量分别是什么?
(2)设圆柱的高h不变,在圆柱的体积V与圆柱的底面半径R的关系式V=πR2h中,常量和变量分别又是什么?

概念2 函数
2.两个变量之间存在的关系式是y2=x+1(其中x是非负整数),y是不是x的函数?如果变为用含y的代数式表示x的形式,x是不是y的函数?请说明原因.
 

概念3 一次函数
3.当m,n为何值时,y=(5m-3)x2-n+(m+n)是关于x的一次函数?当m,n为何值时,y是关于x的正比例 函数?
 

概念4 反比例函数
4.若y=(m-1)x|m|-2是反比例函数,则m的取值为(  )
A.1  B.-1  C.±1  D.任意实数
5.判断下面哪些式子表示y是x的反比例函数:
①xy=-13;②y=5-x;③y=-25x;④y=2ax(a为常数且a≠0).
其中________是反比例函数.(填序号)
  三个图象
图象1 函数的图象
6.“黄金1号”玉米种子的价格为5元/千克,如果一次购买2千克以上的种子,超过2千克部分的种子价格打6折.设购买量为x千克,付款金额为y元,则y与x的函数关系的图象大致是(  )
 
图象2 一次函数的图象
7.若实数a,b,c满足a+b+c=0,且a<b<c,则函数y=ax+c的图象可能是(  )
 
图象3 反比例函数的图象
8.如图,已知A(-4,n),B(2,-4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=mx的图象的两个交点.求:
(1)反比例函数和一次函数的表达式;
(2)直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积;
(3)方程kx+b-mx=0的解(请直接写出答案);
(4)不等式kx+b-mx<0的解集(请直接写出答案).

  两个性质
性质1 一次函数的性质
9.已知一次函数的表达式是y= (k-2)x+12-3k.
(1)当图象与y轴的交点位于原点下方时,判断函数值随着自变量的增大而变化的趋势;
(2)如果函数值随着自变量的增大而增大,且函数图象与y轴的交点位于原点上方,确定满足条件的正整数k的值.

性质2 反比例函数的性质
10.画出反比例函数y=6x的图象,并根据图象回答问题:
(1)根据图象指出当y=-2时x的值;
(2)根据图象指出当-2<x<1且x≠0时y的取值范围;
(3)根据图象指出当-3<y<2且y≠0时x的取值范围.

 

  三个关系
关系1 一次函数与一元一次方程的关系
11.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+1与y=-34x+3交于点A87,157,两直线分别交x轴于点B和点C.
(1)求点B,C的坐标;
(2)求△ABC的面积.

关系2 一次函数与二元一次方程(组)的关系
12.如图,一次函数y=k1x+b1的图象l1与y=k2x+b2的图象l2相交于点P,则方程组y=k1x+b1,y=k2x+b2的解是(  ) 
 
(第12题)
A.x=-3,y=2
B.x=2,y=-3
C.x=3,y=2
D.x=-3,y=-2
关系3 一次函数与不等式(组)的关系
13.(中考•武汉)已知一次函数y=kx+3的图象经过点(1,4).
(1)求这个一次函数的表达式;
(2)求关于x的不等式kx+3≤6的解集.

  一个方法——待定系数法
14.如图,一个正比例函数的图象与一个一次函数的图象交于点A(3,4),且一次函数的图象与y轴相交于点B(0,-5). 
(1)求这两个函数的表达式;
(2)求三角形AOB的面积.


15.已知反比例函数y=kx的图象与一次函数y=x+b的图象在第一象限内相交于点A(1,-k+4).试确定这两个函数的表达式.
 

  两个应用
应用1 利用一次函数解实际问题
16.(中考•河南)某游泳馆普通票价20元/张,暑期为了促销,新推出两种优惠卡:
①金卡售价600元/张,每次凭卡不再收费;
②银卡售价150元/张,每次凭卡另收10元.
暑期普通票正常出售,两种优惠卡仅限暑期使用,不限次数.设游泳x次时,所需总费用为y元.
(1)分别写出选择银卡、普通票消费时,y与x之间的函数关系式;
(2)在同一个坐标系中,若三种消费方式对应的函数图象如图所示,请求出点A,B,C的坐标;
(3)请根据函数图象,直接写出选择哪种消费方式更合算.
 

应用2 利用反比例函数解实际问题
17.某厂仓库储存了部分原料,按原计划每小时消耗2吨,可用60小时.由于技术革新,实际生产能力有所提高,即每小时消耗的原料量大于计划消耗的原料量.设现在每小时消耗原料x(单位:吨),库存的原料可使用的时间为y(单位:小时).
(1)写出y关于x的函数表达式,并求出自变量的取值范围.
(2)若恰好经过24小时才有新的原料进厂,为了使机器不停止运转,则x应控制在什么范围内?
 

  一个技巧:用k的几何性质巧求图形的面积
18.如图,A,B是双曲线y=kx(k≠0)上的两点,过A点作AC⊥x轴,交OB于D点,垂足为C.过B点作BE⊥x轴,垂足为E.若△ADO的面积为1,S△BOE=4S△DOC,则k的值为(  )
A.43  B.83  C.3  D.4
 
(第18题)
   
(第19题)
19.如图,过x轴正半轴上的任意一点P作y轴的平行线交反比例函数y=2x和y=-  的图象于A,B两点,C是y轴上任意一点,则△ABC的面积为________.

答案
 

专训1
1.解:设如果商场本月初出售,下月初可获利y1元,
则y1=10%x+(1+10%)x•10%=0.1x+0.11x=0.21x,
设如果商场下月初出售,可获利y2元,则y2=25%x-8 000=0.25x-8 000.
当y1=y2时,0.21x=0.25x-8 000,解得x=200 000;
当y1>y2时,0.21x>0.25x -8 000,解得x<200 000;
当y1<y2时,0.21x<0.25x-8 000,解得x>200 000.
所以若商场投入资金为20万元,两种出售方式获利相同;若商场投入资金少于20万元,本月初出售获利较多;若投入资金多于20万元,下月初出售获利较多.
2.分析:设总人数是x人,当x≤35时,选择两家宾馆是一样的;当35<x≤45时,选择甲宾馆比较实惠;当x>45时,两家宾馆的收费可以表示成人数x的函数,比较两个函数值的大小即可.
解:设总人数是x人,甲宾馆的收费为y甲元,乙宾馆的收费为y乙元,
当x≤35时,两家宾馆的费用是一样的;
当35<x≤45时,选择甲宾馆比较实惠;
当x>45时,甲宾馆的收费y甲=35×120+0.9×120×(x-35),即y甲=108x+420,
乙宾馆的收费y乙=45×120+0.8×120(x-45)=96x+1 080.
当y甲=y乙时,108x+420=96x+1 080,解得x=55;
当y甲>y乙时,108x+420>96x+1 080,解得x>55;
当y甲<y乙时,108x+420<96x+1 080,解得x<55.
综上可得,当x≤35或x=55时,两家宾馆的费用是一样的;
当35<x<55时,选择甲宾馆比较实惠;
当x>55时,选择乙宾馆比较实惠.
3.解:(1)当x=1时,y1=3 000;当x>1时,y1=3 000+3 000(x-1)×(1-30%)=2 100x+900.
所以y1=3 000(x=1),2 100x+900(x>1,x为整数).
y2=3 000x(1-25%)=2 250x(x为正整数).
(2)当甲、乙两个商场的收费相同时,2 100x+900=2 250x,解得x=6.故甲、乙两个商场的收费相同时,所买商品为6件.
(3)应选择乙商场更优惠,理由如下:当x=5时,y1=2 100x+900=2 100×5+900=11 400,y2=2 250x=2 250×5=11 250,因为11 400>11 250,所以当所买商品为5件时,应选择乙商场更优惠.

 

专训2
1.C 2.C 3.C
4.①②④⑤
5.解:(1)将B(1,4)的坐标代入y=mx中,得m=4,所以y=4x.
将A(n,-2)的坐标代入y=4x中,得n=-2.
将A(-2,-2),B(1,4)的坐标分别代入y=kx+b中,
得-2k+b=-2,k+b=4,解 得k=2,b=2.所以y=2x+2.
(2)对于y=2x+2,令x=0,则y=2,所以OC=2,
所以S△AOC=12×2×2=2.
6.解:∵函数y=kx的图象经过点A(-3,4), 
∴4=k-3.∴k=-12.∴反比例函数的表达式为y=-12x.
又由题意知,一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点坐标为(5,0)或(-5,0).
当直线y=mx+n经过点(-3,4)和(5,0)时,
有4=-3m+n,0=5m+n,解得m=-12,n=52,
∴y=-12x+52;
当直线y=mx+n经过点(-3,4)和(-5,0)时,
有4=-3m+n,0=-5m+n,解得m=2,n=10,
∴y=2x+10.
∴一次函数的表达式为y=-12x+52或y=2x+10.
技巧点拨:此题是一次函数和反比例函数相结合的小型综合题,要特别注意距离与坐标的关系,考虑问题要全面.
7.解:(1)把(1,m)代入y=4x,得m=41,
∴m=4.
∴点C的坐标为(1,4).
把(1,4)代入y=2x+n,得4=2×1+n,解得n=2.
(2)对于y=2x+2,令x=3,则y=2×3+2=8,
∴点P的坐标为(3,8).
令y=0,则2x+2=0,得x=-1,
∴点A的坐标为(-1,0).
对于y=4x,令x=3,则y=43.
∴点Q的坐标为3,43.
∴△APQ的面积=12AD•PQ=12×(3+1)×8-43=403.
点拨:注意反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两个函数的表达式,解答这类题通常运用方程思想.
8.解:(1)∵PQ∥x轴,
∴点P的纵坐标为2.
把y=2代入y=6x得x=3,
∴点P的坐标为(3,2).
(2)∵S△POQ=S△OMQ+S△OMP,
∴12|k|+12×|6|=8,
∴|k|=10.又∵k<0,∴k=-10.
9.解:(1)将B(4,1)的坐标代入y=kx,得1=k4,∴k=4.∴y=4x.
将B(4,1)的坐标代入y=mx+5,
得1=4m+5,∴m=-1.∴y=-x+5.
(2)对于y=4x,令x=1,则y=4,
∴A(1,4).∴S=12×1×4=2.
 
(第9题)
 (3)如图,作点A关于y轴的对称点N,则N(-1,4),作直线BN,交y轴于点P,点P即为所求.
设直线BN对应的函数表达式为y=ax+b,将B(4,1),N(-1,4)的坐标分别代入y=ax+b,
得4a+b=1,-a+b=4,解得a=-35,b=175,
∴y=-35x+175.∴P0,175.

专训3
1.解:(1)常量是π和R,变量是V和h.
(2)常量是π和h,变量是V和R.
2.解:在y2=x+1中,当x的值是0时,y的值为±1,此时y的值有两个,并不是唯一确定的,因此y不是x的函数.
y2=x+1变形为x=y2-1后,对于y的每一个值,另一个变量x都有唯一确定的值与其对应,因此x是y的函数.
3.解:若y=(5m-3)x2-n+(m+n)是关于x的一次函数 ,
则有5m-3≠0,2-n=1,解得m≠35,n=1.
所以当m≠35且n=1时,y=(5m-3)x2-n+(m+n)是关于x的一次函数.
若y=(5m-3)x2-n+(m+n)是关于x的正比例函数,
则有5m-3≠0,2-n=1,m+n=0,解得m=-1,n=1.
所以当m=-1且n=1时,y=(5m-3)x2-n+(m+n)是关于x的正比例函数.
4.B 5.①③④
6.B 7.A
8.解:(1)将B(2,-4)的坐标代入y=mx,得-4=m2,解得m=-8.
∴反比例函数的表达式为y=-8x.
∵点A(-4,n)在双曲线y=-8x上,
∴n=2.
∴A(-4,2) .
把A(-4,2),B(2,-4)的坐标分别代入y=kx+b,得
-4k+b=2,2k+b=-4,解得k=-1,b=-2.
∴一次函数的表达式为y=-x-2.
(2) 对于y=-x-2,令y=0,则-x-2=0,
解得x=-2.
∴C(-2,0).∴OC=2.
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=12×2×2+12×2×4=6.
(3)x1=-4,x2=2.
(4)-4<x<0或x>2.
9.解:(1)因为图象与y轴的交点位于原点下方,即点(0,12-3k)位于原点下方,所以12-3k<0,解得k>4.所以k-2>4-2>0,所以函数值随着自变量的增大而增大.
(2)因为函数值随着自变量的增大而增大,所以k-2>0,解得k>2.
因为函数图象与y轴的交点位于原点上方,所以12-3k>0,解得k<4.
所以k的取值范围为2<k<4.
所以满足条件的正整数k的值为3.
10.解:如图,由观察可知:(1)当y=-2时,x=-3;(2)当-2<x<1且x≠0时,y<-3或y>6;(3)当-3<y<2且y≠0时,x<-2或x>3.
 
(第10题)
点拨:解决问题时,画出函数图象.由图象观察得知结果.由图象解决相关问题,一定要注意数形结合,学会看图.
11.解:(1)由x+1=0,解得x=-1,
所以点B的坐标是(-1,0).
由-34x+3=0,解得x=4,
所以点C的坐标是(4,0).
(2)因为BC =4-(-1)=5,点A到x轴的距离为157,
所以S△ABC=12×5×157=7514.
12.A
13.解:(1)把点(1,4)的坐标代入y=kx+3中,得4=k+3.
∴k=1.
∴一次函数的表达式为y=x+3.
(2)由(1)知k=1,
∴原不等式为x+3≤6.
∴x≤3.
点拨:(1)把 点(1,4)的坐标代入y=kx+3中,用待定系数法求出k的值.(2)把求出的k值代入不等式kx+3≤6中,求出不等式的解集.
14.解:(1)设正比例函数的表达式为y=k1x,一次函数的表达式为y=k2x+b,把A(3,4)的坐标代入y=k1x得k1=43,把A(3,4),B(0,-5)的坐标分别代入y=k2x+b,解得k2=3,b=-5,故正比例函数的表达式为y=43x,一次函数的表达式为y=3x-5.
(2)因为A点横坐标为3,所以A点到OB的距离为3.又因为B点纵坐标为-5,所以OB=5.
所以三角形AOB的面积为12×5×3=7.5.
15.解:∵反比例函数y=kx的图象经过点A(1,-k+4),
∴-k+4=k1,即-k+4=k,∴k=2,∴A(1,2).
∵一次函数y=x+b的图象经过点A(1,2),
∴2=1+b,∴b=1.
∴反比例函数的表达式为y=2x,
一次函数的表达式为y=x+1.
16.解:(1)银卡:y=10x+150;
普通票:y=20x.
(2)把x=0代入y=10x+150,得y=150,
∴A(0,150).
∵y=20x,y=10x+150,∴x=15,y=300.
∴B(15,300).
把y=600代入y=10x+150,得x=45.
∴C(45,600).
(3)当0<x<15时,选择购买普通票更合算;(注:若写成0≤x<15,也正确)
当x=15时,选择购买银卡、普通票的总费用相同,均比金卡合算;
当15<x<45时,选择购买银卡更合算;
当x=45时,选择购买金卡、银卡的总费用相同,均比普通票合算;
当x>45时,选择购买金卡更合算.
17.解:(1)库存的原料为2×60=120(吨),根据题意可知y关于x的函数表达式为y=120x.
由于生产能力提高,每小时消耗的原料量大于计划消耗的原料量,所以自变量的取值范围是x>2.
(2)根据题意,得y≥24,
所以120x≥24.
解不等式,得x≤5,
即每小时消耗的原料量应控制在大于2吨且不大于5吨的范围内.
点拨:(1)由“每小时消耗的原料量×可使用的时间=原料总量”可得y关于x的函数表达式.(2)要使机器不停止运转,需y≥24,解不等式即可.
18.B 19.3

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