2016无锡市锡北片八年级数学下期中试卷(含答案和解释)

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2016无锡市锡北片八年级数学下期中试卷(含答案和解释)

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章 来源莲山课件 ww w.
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2015-2016学年江苏省无锡市锡北片八年级(下)期中数学试卷
 
一、选择题
1.下面的图形中,是中心对称图形的是(  )
A.  B.  C.  D.
2.“小明数学期中考试得满分”这是一个(  )
A.必然事件 B.不可能事件
C.随机事件 D.以上说法都不对
3.下列各式 、 、 、 +1、 中分式有(  )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
4.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是(  )
A.对角相等 B.对边相等
C.对角线相等 D.对角线互相平分
5.如果把分式 中的m和n都扩大3倍,那么分式的值(  )
A.不变 B.扩大3倍 C.缩小3倍 D.扩大9倍
6.有四条线段,长度分别是2cm,3cm,4cm,5cm,从中任取三条,能构成三角形的概率是(  )
A.  B.  C.  D.1
7.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=82°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,垂足为E,连接DF,则∠CDF等于(  )
 
A.67° B.57° C.60° D.87°
8.为了早日实现“绿色太仓,花园之城”的目标,太仓对4000米长的城北河进行了绿化改造.为了尽快完成工期,施工队每天比原计划多绿化10米,结果提前2天完成.若原计划每天绿化x米,则所列方程正确的是(  )
A.  B.
C.  D.
9.如图,正方形ABCD的面积为16,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为(  )
 
A.  B.3 C.4 D.
10.如图,菱形OABC的顶点O在坐标系原点,顶点A在x轴上,∠B=120°,OA=2,将菱形OABC绕原点O顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置,则点B′的坐标为(  )
 
A.(﹣ , ) B.( ,﹣ ) C.(2,﹣2) D.( ,﹣ )
 
二、填空题
11.当x=      时,分式 的值为0.
12.小燕抛一枚硬币10次,有7次正面朝上,当她抛第11次时,正面向上的概率为      .
13.在▱ABCD中,若∠A=3∠B,则∠C=      °.
14.某校根据去年初三学生参加中考的数学成绩的等级,绘制成如图的扇形统计图,则图中表示A等级的扇形的圆心角的大小为      .
 
15.如果分式方程 无解,则a=      .
16.如图,在菱形ABCD中,AC、BD相交于点O,E为AB的中点,若OE=3,则菱形ABCD的周长是      .
 
17.关于x的方程:x+ =c+ 的解是x1=c,x2= ,x﹣ =c﹣ 解是x1=c,x2=﹣ ,则x+ =c+ 的解是      .
18.如图,在平面直角坐标系中,A(1,4),B(3,2),点C是直线y=﹣4x+20上一动点,若OC恰好平分四边形OACB的面积,则C点坐标为      .
 
 
三、解答题:
19.计算
(1)a﹣1﹣
(2)先化简,再求值: ,其中x=2 ﹣1.
20.解方程
(1) =
(2) +3= .
21.若关于x的分式方程 的解是正数,求a的取值范围.
22.如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的三个顶点分别是A(﹣4,2)、B(0,4)、C(0,2),
(1)画出△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C;平移△ABC,若点A的对应点A2的坐标为(0,﹣4),画出平移后对应的△A2B2C2;
(2)△A1B1C和△A2B2C2关于某一点成中心对称,则对称中心的坐标为      .
 
23.某儿童娱乐场有一种游戏,规则是:在一个装有6个红球和若干个白球(2016春•无锡期中)我区某校为了解八年级学生体育测试情况,以八年级(1)班学生的体育测试成绩为样本,按A,B,C,D四个等级进行统计,并将统计结果绘制成如下的统计图,结合图中所给信息可知:
 
(1)本次调查的样本容量是      ,样本中D等级的学生人数占全班学生人数的百分比是      ;
(2)把条形统计图补充完整;
(3)若该校八年级有300名学生,请根据此样本,估计体育测试中达到A级和B级的学生人数约为      人.
25.如图,在平行四边形ABCD中,E是AD边上的中点,连接BE,并延长BE交CE的延长线于点F.证明:FD=AB.
 
26.华昌中学开学初在金利源商场购进A、B两种品牌的足球,购买A品牌足球花费了2500元,购买B品牌足球花费了2000元,且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍,已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元.
(1)求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元?
(2)华昌中学响应习总书记“足球进校园”的号召,决定两次购进A、B两种品牌足球共50个,恰逢金利源商场对两种品牌足球的售价进行调整,A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%,B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售,如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3260元,那么华昌中学此次最多可购买多少个B品牌足球?
27.阅读下列材料:
我们定义:若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形,则称这条对角线叫这个四边形的和谐线,这个四边形叫做和谐四边形.如正方形就是和谐四边形.
结合阅读材料,完成下列问题:
(1)下列哪个四边形一定是和谐四边形      
A.平行四边形    B.矩形     C.菱形     D.等腰梯形
(2)如图,等腰Rt△ABD中,∠BAD=90°.若点C为平面上一点,AC为凸四边形ABCD的和谐线,且AB=BC,请直接写出∠ABC的度数.
 
28.如图1,在正方形ABCD中,点E为BC上一点,连接DE,把△DEC沿DE折叠得到△DEF,延长EF交AB于G,连接
DG.
(1)求证:∠EDG=45°.
(2)如图2,E为BC的中点,连接BF.①求证:BF∥DE;②若正方形边长为6,求线段AG的长.
(3)当DE=DG时,求BE:CE.
 

2015-2016学年江苏省无锡市锡北片八年级(下)期中数学试卷
参考答案与试题解析
 
一、选择题
1.下面的图形中,是中心对称图形的是(  )
A.  B.  C.  D.
【考点】中心对称图形.
【分析】根据中心对称图形的概念求解.
【解答】解:A、不是中心对称图形.故错误;
B、不是中心对称图形.故错误;
C、不是中心对称图形.故错误;
D、是中心对称图形.故正确.
故选D.
【点评】本题考查了中心对称图形的概念:中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.
 
2.“小明数学期中考试得满分”这是一个(  )
A.必然事件 B.不可能事件
C.随机事件 D.以上说法都不对
【考点】随机事件.
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可.
【解答】解:“小明数学期中考试得满分”这是一个随机事件,
故选:C.
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下,一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件,不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.
 
3.下列各式 、 、 、 +1、 中分式有(  )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【考点】分式的定义.
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母,如果含有字母则是分式,如果不含有字母则不是分式.
【解答】解: 、 、 的分母中均不含有字母,因此它们是整式,而不是分式.
 、 +1分母中含有字母,因此是分式.
故选:A.
【点评】本题主要考查分式的定义,注意π不是字母,是常数,所以 不是分式,是整式.
 
4.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是(  )
A.对角相等 B.对边相等
C.对角线相等 D.对角线互相平分
【考点】矩形的性质;平行四边形的性质.
【专题】证明题.
【分析】矩形的对角线互相平分且相等,而平行四边形的对角线互相平分,不一定相等.
【解答】解:矩形的对角线相等,而平行四边形的对角线不一定相等.
故选:C.
【点评】本题考查矩形的性质,矩形具有平行四边形的性质,又具有自己的特性,要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质.如,矩形的对角线相等.
 
5.如果把分式 中的m和n都扩大3倍,那么分式的值(  )
A.不变 B.扩大3倍 C.缩小3倍 D.扩大9倍
【考点】分式的基本性质.
【分析】根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式,结果不变,可得答案.
【解答】如果把分式 中的m和n都扩大3倍,那么分式的值不变,
故选:A.
【点评】本题考查了分式的性质,分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式,结果不变.
 
6.有四条线段,长度分别是2cm,3cm,4cm,5cm,从中任取三条,能构成三角形的概率是(  )
A.  B.  C.  D.1
【考点】列表法与树状图法;三角形三边关系.
【分析】从四条线段中任意选取三条,找出所有的可能,以及能构成三角形的情况数,即可求出所求的概率.
【解答】解:从四条线段中任意选取三条,所有的可能有:2,3,4;2,3,5;2,4,5;3,4,5共4种,
其中构成三角形的有2,3,4;2,4,5;3,4,5共3种,
则P(构成三角形)= .
故选C.
【点评】此题考查了列表法与树状图法,以及三角形的三边关系,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
 
7.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=82°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,垂足为E,连接DF,则∠CDF等于(  )
 
A.67° B.57° C.60° D.87°
【考点】菱形的性质;线段垂直平分线的性质.
【分析】根据菱形的性质求出∠ADC=98°,再根据垂直平分线的性质得出AF=DF,从而计算出∠CDF的值.
【解答】解:连接BD,BF,
∵∠BAD=82°,
∴∠ADC=98°,
又∵EF垂直平分AB,AC垂直平分BD,
∴AF=BF,BF=DF,
∴AF=DF,
∴∠FAD=∠FDA=41°,
∴∠CDF=98°﹣41°=57°.
故选:B.
 
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质和菱形的性质,有一定的难度,解答本题时注意先先连接BD,BF,这是解答本题的突破口.
 
8.为了早日实现“绿色太仓,花园之城”的目标,太仓对4000米长的城北河进行了绿化改造.为了尽快完成工期,施工队每天比原计划多绿化10米,结果提前2天完成.若原计划每天绿化x米,则所列方程正确的是(  )
A.  B.
C.  D.
【考点】由实际问题抽象出分式方程.
【分析】关键描述语是:“提前2天完成绿化改造任务”.等量关系为:原计划的工作时间﹣实际的工作时间=2.
【解答】解:若设原计划每天绿化(x)m,实际每天绿化(x+10)m,
原计划的工作时间为: ,实际的工作时间为:
方程应该为: ﹣ =2.
故选:A.
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程,列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系.本题主要用到的关系为:工作时间=工作总量÷工作效率.
 
9.如图,正方形ABCD的面积为16,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为(  )
 
A.  B.3 C.4 D.
【考点】轴对称-最短路线问题;正方形的性质.
【分析】由于点B与D关于AC对称,所以连接BE,与AC的交点即为P点.此时PD+PE=BE最小,而BE是等边△ABE的边,BE=AB,由正方形ABCD的面积为16,可求出AB的长,从而得出结果.
【解答】解:设BE与AC交于点P',连接BD.
∵点B与D关于AC对称,
∴P'D=P'B,
∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE最小.
∵正方形ABCD的面积为16,
∴AB=4,
又∵△ABE是等边三角形,
∴BE=AB=4.
故选C.
 
【点评】本题考查的是正方形的性质和轴对称﹣最短路线问题,熟知“两点之间,线段最短”是解答此题的关键.
 
10.如图,菱形OABC的顶点O在坐标系原点,顶点A在x轴上,∠B=120°,OA=2,将菱形OABC绕原点O顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置,则点B′的坐标为(  )
 
A.(﹣ , ) B.( ,﹣ ) C.(2,﹣2) D.( ,﹣ )
【考点】菱形的性质;坐标与图形变化-旋转.
【分析】首先连接OB,OB′,过点B′作B′E⊥x轴于E,由旋转的性质,易得∠BOB′=105°,由菱形的性质,易证得△AOB是等边三角形,即可得OB′=OB=OA=2,∠AOB=60°,继而可求得∠AOB′=45°,由等腰直角三角形的性质,即可求得答案.
【解答】解:连接OB,OB′,过点B′作B′E⊥x轴于E,
根据题意得:∠BOB′=105°,
∵四边形OABC是菱形,
∴OA=AB,∠AOB= ∠AOC= ∠ABC= ×120°=60°,
∴△OAB是等边三角形,
∴OB=OA=2,
∴∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=105°﹣60°=45°,OB′=OB=2,
∴OE=B′E=OB′•sin45°=2× = ,
∴点B′的坐标为:( ,﹣ ).
故选B.
 
【点评】此题考查了旋转的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质.此题难度不大,注意掌握旋转前后图形的对应关系,注意辅助线的作法
 
二、填空题
11.当x= ﹣1 时,分式 的值为0.
【考点】分式的值为零的条件.
【分析】根据分式值为零的条件得x+1=0且x﹣2≠0,再解方程即可.
【解答】解:由分式的值为零的条件得x+1=0,且x﹣2≠0,
解得:x=﹣1,
故答案为:﹣1.
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件,关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零.
 
12.小燕抛一枚硬币10次,有7次正面朝上,当她抛第11次时,正面向上的概率为   .
【考点】概率的意义.
【分析】求出一次抛一枚硬币正面朝上的概率即可.
【解答】解:∵抛硬币正反出现的概率是相同的,不论抛多少次出现正面或反面的概率是一致的,
∴正面向上的概率为 .
故答案为: .
【点评】本题考查的是概率的意义,注意抛硬币只有两种情况,每次抛出的概率都是一致的,与次数无关.
 
13.在▱ABCD中,若∠A=3∠B,则∠C= 135 °.
【考点】平行四边形的性质.
【分析】平行四边形中,利用邻角互补可求得∠A的度数,利用对角相等,即可得∠C的值.
【解答】解:如图所示,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A+∠B=180°,
∵∠A=3∠B,∴∠A=∠C=135°.
故答案为:135.
 
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质,利用邻角互补的结论求四边形内角度数是阶解题关键.
 
14.某校根据去年初三学生参加中考的数学成绩的等级,绘制成如图的扇形统计图,则图中表示A等级的扇形的圆心角的大小为 108° .
 
【考点】扇形统计图.
【专题】计算题.
【分析】根据C等级的人数与所占的百分比计算出参加中考的人数,再求出A等级所占的百分比,然后乘以360°计算即可得解.
【解答】解:参加中考的人数为:60÷20%=300人,
A等级所占的百分比为: ×100%=30%,
所以,表示A等级的扇形的圆心角的大小为360°×30%=108°.
故答案为:108°.
【点评】本题考查扇形统计图及相关计算.在扇形统计图中,每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比.
 
15.如果分式方程 无解,则a= 4 .
【考点】分式方程的解.
【分析】根据分式方程无解,可得x的值,根据分式方程的增根满足整式方程,可得关于a的方程,根据解方程,可得答案.
【解答】解:方程两边都乘以(x﹣4),得
x=2x﹣8+a.
由分式方程 无解,得
x=4,
将x=4代入x=2x﹣8+a,得
4=8﹣8+a,
解得a=4,
故答案为:4.
【点评】本题考查了分式方程的解,利用分式方程的增根满足整式方程得出关于a的方程是解题关键.
 
16.如图,在菱形ABCD中,AC、BD相交于点O,E为AB的中点,若OE=3,则菱形ABCD的周长是 24 .
 
【考点】菱形的性质;三角形中位线定理.
【分析】根据菱形的角平分线互相平分可得AO=CO,然后判断出OE是△ABC的中位线,根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出BC的长,再根据菱形的周长公式列式进行计算即可得解.
【解答】解:在菱形ABCD中,AO=CO,
∵E为AB的中点,
∴OE是△ABC的中位线,
∴BC=2OE=2×3=6,
∴菱形ABCD的周长=4×6=24.
故答案为:24.
【点评】本题考查了菱形的对角线互相平分的性质,三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质,以及菱形的周长公式,判断出OE是△ABC的中位线是解本题的关键.
 
17.关于x的方程:x+ =c+ 的解是x1=c,x2= ,x﹣ =c﹣ 解是x1=c,x2=﹣ ,则x+ =c+ 的解是 x1=c,x2= +3 .
【考点】分式方程的解.
【专题】计算题.
【分析】根据题中方程的解归纳总结得到一般性规律,所求方程变形后确定出解即可.
【解答】解:所求方程变形得:x﹣3+ =c﹣3+ ,
根据题中的规律得:x﹣3=c﹣3,x﹣3= ,
解得:x1=c,x2= +3,
故答案为:x1=c,x2= +3
【点评】此题考查了分式方程的解,归纳总结得到题中方程解的规律是解本题的关键.
 
18.如图,在平面直角坐标系中,A(1,4),B(3,2),点C是直线y=﹣4x+20上一动点,若OC恰好平分四边形OACB的面积,则C点坐标为 ( , ) .
 
【考点】一次函数综合题.
【分析】OC恰好平分四边形OACB的面积,则OC和AB的交点就是AB的中点,求得AB的中点D,然后利用待定系数法即可求得OD的解析式,然后求OD的解析式与直线y=4x+20的交点即可.
【解答】解:AB的中点D的坐标是:( , ),即(2,3),
设直线OD的解析式是y=kx,则2k=3,
解得:k= ,
则直线的解析式是:y= x,
根据题意得: ,
解得: ,
则C的坐标是:( , ).
故答案是:( , ).
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式,以及直线交点的求法,理解AC一定经过AB的中点是关键.
 
三、解答题:
19.计算
(1)a﹣1﹣
(2)先化简,再求值: ,其中x=2 ﹣1.
【考点】分式的化简求值.
【分析】(1)先通分,再把分子相加减即可;
(2)先通分,再把分子相加减,最后把x的值代入进行计算即可.
【解答】解:(1)原式=
=﹣ ;

(2)原式=
=
= ,
当x=2 ﹣1时,原式= = .
【点评】本题考查的是分式的化简求值,分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简,代入,求值.许多问题还需运用到常见的数学思想,如化归思想(即转化)、整体思想等,了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助.
 
20.解方程
(1) =
(2) +3= .
【考点】解分式方程.
【专题】计算题.
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到未知数的值,经检验即可得到分式方程的解.
【解答】解:(1)去分母得:2x+1=5x﹣5,
解得:x=2,
经检验x=2是分式方程的解;
(2)去分母得:1+3y﹣6=y﹣1,
解得:y=2,
经检验y=2是增根,分式无解.
【点评】此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.
 
21.若关于x的分式方程 的解是正数,求a的取值范围.
【考点】分式方程的解.
【专题】计算题.
【分析】先解关于x的分式方程,求得x的值,然后再依据“解是正数”建立不等式求a的取值范围.
【解答】解:去分母,得2x+a=2﹣x
解得:x= ,∴ >0
∴2﹣a>0,
∴a<2,且x≠2,
∴a≠﹣4
∴a<2且a≠﹣4.
【点评】由于我们的目的是求a的取值范围,因此也没有必要求得x的值,求得3x=2﹣a即可列出关于a的不等式了,另外,解答本题时,易漏掉a≠﹣4,这是因为忽略了x﹣2≠0这个隐含的条件而造成的,这应引起同学们的足够重视.
 
22.如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的三个顶点分别是A(﹣4,2)、B(0,4)、C(0,2),
(1)画出△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C;平移△ABC,若点A的对应点A2的坐标为(0,﹣4),画出平移后对应的△A2B2C2;
(2)△A1B1C和△A2B2C2关于某一点成中心对称,则对称中心的坐标为 (2,﹣1) .
 
【考点】作图-旋转变换;作图-平移变换.
【专题】作图题.
【分析】(1)根据网格结构找出点A、B关于点C成中心对称的点A1、B1的位置,再与点A顺次连接即可;根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A2、B2、C2的位置,然后顺次连接即可;
(2)根据中心对称的性质,连接两组对应点的交点即为对称中心.
【解答】解:(1)△A1B1C如图所示,
△A2B2C2如图所示;

(2)如图,对称中心为(2,﹣1).
 
【点评】本题考查了利用旋转变换作图,利用平移变换作图,熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键.
 
23.某儿童娱乐场有一种游戏,规则是:在一个装有6个红球和若干个白球(2016春•无锡期中)我区某校为了解八年级学生体育测试情况,以八年级(1)班学生的体育测试成绩为样本,按A,B,C,D四个等级进行统计,并将统计结果绘制成如下的统计图,结合图中所给信息可知:
 
(1)本次调查的样本容量是 50 ,样本中D等级的学生人数占全班学生人数的百分比是 10% ;
(2)把条形统计图补充完整;
(3)若该校八年级有300名学生,请根据此样本,估计体育测试中达到A级和B级的学生人数约为 198 人.
【考点】条形统计图;总体、个体、样本、样本容量;用样本估计总体;扇形统计图.
【分析】(1)利用A类有10人,占总体的20%,求出样本容量,再求出D等级的学生人数的百分比;
(2)先求出D等级的学生人数,再据此可补全条形图即可;
(3)利用总人数乘A、B级所占的百分比即可.
【解答】解:(1)读图可得:A类有10人,占总体的20%,所以样本容量为10÷20%=50人,
D等级的学生人数为50﹣10﹣23﹣12=5人.
样本中D等级的学生人数占全班学生人数的百分比是 ×100%=10%.
故答案为:50,10%.

(2)D级的学生人数为50﹣10﹣23﹣12=5人,
据此可补全条形图;
 

(3)A级和B级的学生人数为300×(46%+20%)=198(人).
故答案为:198.
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.
 
25.如图,在平行四边形ABCD中,E是AD边上的中点,连接BE,并延长BE交CE的延长线于点F.证明:FD=AB.
 
【考点】平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质.
【专题】证明题.
【分析】由在平行四边形ABCD中,E是AD边上的中点,易证得△ABE≌△DFE(AAS),继而证得FD=AB.
【解答】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠ABE=∠F,
∵E是AD边上的中点,
∴AE=DE,
在△ABE和△DFE中,
 ,
∴△ABE≌△DFE(AAS),
∴FD=AB.
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质.注意平行四边形的对边平行.
 
26.华昌中学开学初在金利源商场购进A、B两种品牌的足球,购买A品牌足球花费了2500元,购买B品牌足球花费了2000元,且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍,已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元.
(1)求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元?
(2)华昌中学响应习总书记“足球进校园”的号召,决定两次购进A、B两种品牌足球共50个,恰逢金利源商场对两种品牌足球的售价进行调整,A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%,B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售,如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3260元,那么华昌中学此次最多可购买多少个B品牌足球?
【考点】分式方程的应用;一元一次不等式的应用.
【分析】(1)设一个A品牌的足球需x元,则一个B品牌的足球需x+30元,根据购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍列出方程解答即可;
(2)设此次可购买a个B品牌足球,则购进A牌足球(50﹣a)个,根据购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3260元,列出不等式解决问题.
【解答】解:(1)设一个A品牌的足球需x元,则一个B品牌的足球需x+30元,由题意得
 = ×2
解得:x=50
经检验x=50是原方程的解,
x+30=80
答:一个A品牌的足球需50元,则一个B品牌的足球需80元.
(2)设此次可购买a个B品牌足球,则购进A牌足球(50﹣a)个,由题意得
50×(1+8%)(50﹣a)+80×0.9a≤3260
解得a≤31
∵a是整数,
∴a最大等于31,
答:华昌中学此次最多可购买31个B品牌足球.
【点评】此题考查二元一次方程组与分式方程的应用,找出题目蕴含的等量关系与不等关系是解决问题的关键.
 
27.阅读下列材料:
我们定义:若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形,则称这条对角线叫这个四边形的和谐线,这个四边形叫做和谐四边形.如正方形就是和谐四边形.
结合阅读材料,完成下列问题:
(1)下列哪个四边形一定是和谐四边形 C 
A.平行四边形    B.矩形     C.菱形     D.等腰梯形
(2)如图,等腰Rt△ABD中,∠BAD=90°.若点C为平面上一点,AC为凸四边形ABCD的和谐线,且AB=BC,请直接写出∠ABC的度数.
 
【考点】等腰梯形的性质;等腰直角三角形;平行四边形的性质;菱形的性质;矩形的性质.
【专题】新定义.
【分析】(1)有和谐四边形的定义即可得到菱形是和谐四边形;
(2)首先根据题意画出图形,然后由AC是四边形ABCD的和谐线,可以得出△ACD是等腰三角形,从图1,图2,图3三种情况运用等边三角形的性质,正方形的性质和30°的直角三角形性质就可以求出∠ABC的度数.
【解答】解:(1)∵菱形的四条边相等,
∴连接对角线能得到两个等腰三角形,
∴菱形是和谐四边形;
(2)解:∵AC是四边形ABCD的和谐线,
∴△ACD是等腰三角形,
在等腰Rt△ABD中,
∵AB=AD,
∴AB=AD=BC,
如图1,当AD=AC时,
∴AB=AC=BC,∠ACD=∠ADC
∴△ABC是正三角形,
∴∠ABC=60°.
如图2,当AD=CD时,
∴AB=AD=BC=CD.
∵∠BAD=90°,
∴四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°;
如图3,当AC=CD时,过点C作CE⊥AD于E,过点B作BF⊥CE于F,
∵AC=CD.CE⊥AD,
∴AE= AD,∠ACE=∠DCE.
∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°,
∴四边形ABFE是矩形.
∴BF=AE.
∵AB=AD=BC,
∴BF= BC,
∴∠BCF=30°.
∵AB=BC,
∴∠ACB=∠BAC.
∵AB∥CE,
∴∠BAC=∠ACE,
∴∠ACB=∠BAC= ∠BCF=15°,
∴∠ABC=150°,
综上:∠ABC的度数可能是:60°90°150°.
 
 
 
【点评】此题考查了等腰直角三角形的性质,等腰三角形的性质、矩形的性质、正方形的性质,菱形的性质,此题难度较大,注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用.
 
28.如图1,在正方形ABCD中,点E为BC上一点,连接DE,把△DEC沿DE折叠得到△DEF,延长EF交AB于G,连接
DG.
(1)求证:∠EDG=45°.
(2)如图2,E为BC的中点,连接BF.①求证:BF∥DE;②若正方形边长为6,求线段AG的长.
(3)当DE=DG时,求BE:CE.
 
【考点】四边形综合题.
【分析】(1)根据正方形的性质可得DC=DA.∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°,根据翻折前后两个图形能够完全重合可得∠DFE=∠C,DC=DF,∠1=∠2,再求出∠DFG=∠A,DA=DF,然后利用“HL”证明Rt△DGA和Rt△DGF全等,根据全等三角形对应角相等可得∠3=∠4,然后求出∠2+∠3=45°,从而得解;
(2)①根据折叠的性质和线段中点的定义可得CE=EF=BE,∠DEF=∠DEC,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠5=∠DEC,然后利用同位角相等,两直线平行证明即可;
②设AG=x,表示出GF、BG,根据点E是BC的中点求出BE、EF,从而得到GE的长度,再利用勾股定理列出方程求解即可;
(3)根据等腰三角形三线合一的性质可得F是EG的中点,再利用“HL”证明Rt△ADG和Rt△CDE全等,根据全等三角形对应边相等可得AG=CE,再求出BG=BE,然后根据等腰直角三角形的性质可得BF⊥GE,从而得到BE:EF的值,即为BE:EC.
【解答】(1)证明:如图1,
 
∵四边形ABCD是正方形,
∴DC=DA.∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°,
∵△DEC沿DE折叠得到△DEF,
∴∠DFE=∠C,DC=DF,∠1=∠2,
∴∠DFG=∠A=90°,DA=DF,
在Rt△DGA和Rt△DGF中, ,
∴Rt△DGA≌Rt△DGF(HL),
∴∠3=∠4,
∴∠EDG=∠3+∠2= ∠ADF+ ∠FDC,
= (∠ADF+∠FDC),
= ×90°,
=45°;
(2)①证明:如图2,
 
∵△DEC沿DE折叠得到△DEF,E为BC的中点,
∴CE=EF=BE,∠DEF=∠DEC,
∴∠5=∠6,
∵∠FEC=∠5+∠6
∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6,
∴2∠5=2∠DEC,
即∠5=∠DEC,
∴BF∥DE;
②解:设AG=x,则GF=x,BG=6﹣x,
∵正方形边长为6,E为BC的中点,
∴CE=EF=BE= ×6=3,
∴GE=EF+GF=3+x,
在Rt△GBE中,根据勾股定理得:(6﹣x)2+32=(3+x)2,
解得x=2,
即,线段AG的长为2;
(3)∵DE=DG,∠DFE=∠C=90°,
∴点F是EG的中点,
在Rt△ADG和Rt△CDE中,
 ,
∴Rt△ADG≌Rt△CDE(HL),
∴AG=CE,
∴AB﹣AG=BC﹣CE,
即BG=BE,
∴△BEG是等腰直角三角形,
∴BF⊥GE,
∴BE:EF= ,
即BE:EC= ,
故答案为: .
【点评】本题是四边形综合题,主要考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,勾股定理的应用,翻折变换的性质,熟记各性质是解题的关键.


章 来源莲山课件 ww w.
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