2016年睢宁县八年级数学下期中试卷(附答案和解释)

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2016年睢宁县八年级数学下期中试卷(附答案和解释)

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源莲山 课
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2015-2016学年江苏省徐州市睢宁县八年级(下)期中数学试卷
 
一、选择题(本大题共8小题.每小题3分,共24分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请将正确选项的字母填写在下面的答题栏处)
1.下列图形中,是中心对称图形的是(  )
A.  B.  C.  D.
2.下列成语所描述的事件是必然事件的是(  )
A.瓮中捉鳖 B.守株待兔 C.拔苗助长 D.水中捞月
3.以下问题,不适合用全面调查的是(  )
A.旅客上飞机前的安检
B.学校招聘教师,对应聘人员的面试
C.了解全校学生的课外读书时间
D.了解一批灯泡的使用寿命
4.分别过一个三角形的3个顶点作对边的平行线,这些平行线两两相交,则构成的平行四边形的个数是(  )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.用两块边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是(  )
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形
6.如图所示是由四根木棒搭成的平行四边形框架,AB=8cm,AD=6cm,在此位置上,使AB固定,逆时针转动AD.则关于▱ABCD面积变化情况叙述正确的是(  )
 
A.先变大,再变小
B.先变小,再变大
C.保持不变
D.转动过程中,▱ABCD面积没有最大值
7.正方形具有而菱形不具有的性质是(  )
A.对角线互相平分 B.对角线相等
C.对角线互相垂直且平分 D.对角线互相垂直
8.如果依次连接四边形各边的中点所得四边形是矩形,那么原来的四边形的两条对角线(  )
A.相等 B.互相垂直
C.互相平分 D.互相平分且相等
 
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
9.调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准,这种调查适用      .(填全面调查或者抽样调查)
10.为了解我县8900名九年级毕业生的体育成绩,从中抽取了300名考生的体育成绩进行统计,在这个问题中,样本是      .
11.在四边形ABCD中,AB=CD,要使四边形ABCD是中心对称图形,只需添加一个条件,这个条件可以是      .(只要填写一种情况)
12.一个不透明的袋子中有1个红球,2个黄球,3个白球,除颜色不同外,其他各方面都相同,现从中随机摸出一个球:①这球是“红球”;②这球是“黄球”;③这球是“白球”,将这些事件的序号按发生的可能性从大到小的顺序排列为      .
13.矩形的两条对角线的夹角为120°,较短的一边为4,则其对角线长为      .
14.如图,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A′B′C′D′的位置,旋转角为a (0°<a<90°).若∠1=110°,则a=      .
 
15.两个全等菱形如图所示摆放在一起,其中B、C、D和G、C、F分别在同一条直线上,若较短的对角线长为10,点G与点D的距离是24,则此菱形边长为      .
 
16.如图,菱形ABCD的对角线长分别为a、b,以菱形ABCD各边的中点为顶点作矩形A1B1C1D1,然后再以矩形A1B1C1D1的中点为顶点作菱形A2B2C2D2,…,如此下去,得到四边形A2016B2016C2016D2016的面积用含a,b的代数式表示为      .
 
 
三、解答题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)
17.如图,在▱ABCD中,∠D=45°,∠CAD=35°,求∠B和∠BAC的度数.
 
18.一个不透明的袋子中有编有序号的5个球(从1号到5号),其中3个黄球(从1号到3号),2个白球(从4号到5号),这些球除颜色不同外其他完全相同.
(1)从袋子中随机摸出一个球是1~5号中的一个,一共有几种结果,这个事件是等可能的吗?摸到黄球和白球是等可能的吗?
(2)“从袋子中随机摸出一个球是红球”是      事件;
(3)从袋子中随机摸出一个球是黄球的概率是多少?
19.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,A、B、C都是格点.
(1)画出△ABC关于BC对称的△A′B′C′;
(2)将△ABC绕图中的格点C顺时针旋转90°,得到△A1B1C1;
(3)画出△ABC关于点O成中心对称的△A2B2C2.
 
20.已知:如图,P为矩形ABCD内一点,PC=PD,求证:PA=PB.
 
 
四、解答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分)
21.下面是小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据.
 抛掷次数  100  200 300  400  500
正面朝上的频数m 51  98 153  200  255

正面朝上的频率
    
(1)填写表中的空格;
(2)画出折线统计图;
(3)当试验次数很大时,“正面朝上”的频率在      附近摆动.
 
22.学校统筹安排大课间体育活动,在各班随机选取了一部分学生,分成四类活动:“跳绳”、“羽毛球”、“乒乓球”、“其他”进行调查,整理收集到的数据,绘制成如图的两幅统计图.
(1)学校采用的调查方式是      ;学校在各班随机选取了      名学生;
(2)补全统计图中的数据:羽毛球      人、乒乓球      人、其他      %;
(3)该校共有900名学生,请估计喜欢“跳绳”的学生人数.
 
23.已知:如图,在四边形ABCD中,P、Q、M、N分别是AD、BC、BD、AC的中点.
(1)求证:PQ、MN互相平分;
(2)当四边形ABCD的边满足条件:      时,PQ⊥MN.(不必证明)
 
 
五、解答题(本大题共2小题,每小题10分,共20分)
24.把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠,使顶点B和D重合,折痕为EF.
(1)连接BE,求证:四边形BFDE是菱形,并说明理由;
(2)若AB=8cm,BC=16cm,求线段DF及折痕EF的长.
 
25.将面积为4的正方形ABCD与面积为8的正方形AEFG按图①的位置放置,AD、AE在同一条直线上,AB、AG在同一条直线上.
(1)试判断DG、BE的数量和位置关系,并说明理由;
(2)如图2,将正方形ABCD绕点A逆时针旋转,当点B恰好落在线段DG上时,求此时BE的长;
(3)如图3,将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转,线段DG与线段BE将相交,交点为H,请直接写出△GHE与△BHD面积之和的最大值.
 
2015-2016学年江苏省徐州市睢宁县八年级(下)期中数学试卷
参考答案与试题解析
 
一、选择题(本大题共8小题.每小题3分,共24分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请将正确选项的字母填写在下面的答题栏处)
1.下列图形中,是中心对称图形的是(  )
A.  B.  C.  D.
【考点】中心对称图形.
【分析】根据中心对称的定义,结合所给图形即可作出判断.
【解答】解:A、是中心对称图形,故本选项正确;
B、不是中心对称图形,故本选项错误;
C、不是中心对称图形,故本选项错误;
D、不是中心对称图形,故本选项错误;
故选:A.
 
2.下列成语所描述的事件是必然事件的是(  )
A.瓮中捉鳖 B.守株待兔 C.拔苗助长 D.水中捞月
【考点】随机事件.
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可.
【解答】解:瓮中捉鳖是必然事件,A正确;
守株待兔是随机事件,B错误;
拔苗助长是不可能事件,C错误;
水中捞月是不可能事件,D错误,
故选:A.
 
3.以下问题,不适合用全面调查的是(  )
A.旅客上飞机前的安检
B.学校招聘教师,对应聘人员的面试
C.了解全校学生的课外读书时间
D.了解一批灯泡的使用寿命
【考点】全面调查与抽样调查.
【分析】由普查得到的调查结果比较准确,但所费人力、物力和时间较多,而抽样调查得到的调查结果比较近似.
【解答】解:A、旅客上飞机前的安检,意义重大,宜用全面调查,故A选项错误;
B、学校招聘教师,对应聘人员面试必须全面调查,故B选项错误;
C、了解全校同学课外读书时间,数量不大,宜用全面调查,故C选项错误;
D、了解一批灯泡的使用寿,具有破坏性,工作量大,不适合全面调查,故D选项正确.
故选:D.
 
4.分别过一个三角形的3个顶点作对边的平行线,这些平行线两两相交,则构成的平行四边形的个数是(  )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【考点】平行四边形的判定.
【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行画图即可.
【解答】解:如图所示:
▱ACBD,▱ABCF,▱ABEC,
可构成3个平行四边形,
故选:C.
 
 
5.用两块边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是(  )
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形
【考点】图形的剪拼;等边三角形的性质.
【分析】利用等边三角形的性质,以及菱形的判定方法判断即可.
【解答】解:用两块边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是菱形,
故选B
 
6.如图所示是由四根木棒搭成的平行四边形框架,AB=8cm,AD=6cm,在此位置上,使AB固定,逆时针转动AD.则关于▱ABCD面积变化情况叙述正确的是(  )
 
A.先变大,再变小
B.先变小,再变大
C.保持不变
D.转动过程中,▱ABCD面积没有最大值
【考点】平行四边形的性质.
【分析】逆时针转动AD,当∠DAB是直角时,高最大,底AB不变,面积就最大,即可得出结论.
【解答】解:∵▱ABCD面积=AB×高,逆时针转动AD时,高由小到大,再由大到小,
∴▱ABCD面积变化情况是先变大,再变小;
故选:A.
 
7.正方形具有而菱形不具有的性质是(  )
A.对角线互相平分 B.对角线相等
C.对角线互相垂直且平分 D.对角线互相垂直
【考点】正方形的性质;菱形的性质.
【分析】根据正方形的性质以及菱形的性质即可判断.
【解答】解:正方形和菱形都满足:四条边都相等,对角线平分一组对角,对角线垂直且互相平分;
菱形的对角线不一定相等,而正方形的对角线一定相等.
故选B.
 
8.如果依次连接四边形各边的中点所得四边形是矩形,那么原来的四边形的两条对角线(  )
A.相等 B.互相垂直
C.互相平分 D.互相平分且相等
【考点】矩形的判定;三角形中位线定理.
【分析】由于顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形,再由矩形的判定可知,依次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点所得四边形是矩形.
【解答】解:由矩形的性质知,矩形的四个角为直角,即每组邻边互相垂直,故原四边形的对角线应互相垂直.
顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点所得的图形是矩形.
如图:∵E、F、G、H分别为各边中点,
∴EF∥GH∥DB,EF=GH= DB,
EH=FG= AC,EH∥FG∥AC,
∵DB⊥AC,
∴EF⊥EH
∴四边形EFGH是矩形.
故选B.
 
 
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
9.调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准,这种调查适用 抽样调查 .(填全面调查或者抽样调查)
【考点】全面调查与抽样调查.
【分析】由普查得到的调查结果比较准确,但所费人力、物力和时间较多,而抽样调查得到的调查结果比较近似.
【解答】解:由于食品数量庞大,且抽测具有破坏性,适用抽样调查.
故答案为:抽样调查.
 
10.为了解我县8900名九年级毕业生的体育成绩,从中抽取了300名考生的体育成绩进行统计,在这个问题中,样本是 300名九年级毕业生的体育成绩 .
【考点】总体、个体、样本、样本容量.
【分析】总体是指考查的对象的全体,个体是总体中的每一个考查的对象,样本是总体中所抽取的一部分个体,而样本容量则是指样本中个体的数目.我们在区分总体、个体、样本、样本容量,这四个概念时,首先找出考查的对象.从而找出总体、个体.再根据被收集数据的这一部分对象找出样本,最后再根据样本确定出样本容量.
【解答】解:为了解我县8900名九年级毕业生的体育成绩,从中抽取了300名考生的体育成绩进行统计,在这个问题中,样本是300名九年级毕业生的体育成绩,
故答案为:300名九年级毕业生的体育成绩.
 
11.在四边形ABCD中,AB=CD,要使四边形ABCD是中心对称图形,只需添加一个条件,这个条件可以是 不唯一,可以是:AB∥CD或AD=BC,∠B+∠C=180°,∠A+∠D=180°等 .(只要填写一种情况)
【考点】中心对称图形.
【分析】根据平行四边形是中心对称图形,可以针对平行四边形的各种判定方法,给出相应的条件,得出此四边形是中心对称图形.
【解答】解:∵AB=CD,
∴当AD=BC,(两组对边分别相等的四边形是平行四边形.)
或AB∥CD(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)时,或∠B+∠C=180°或∠A+∠D=180°等时,四边形ABCD是平行四边形.
故此时是中心对称图象,
故答案为:AD=BC或AB∥CD或∠B+∠C=180°或∠A+∠D=180°等.
 
12.一个不透明的袋子中有1个红球,2个黄球,3个白球,除颜色不同外,其他各方面都相同,现从中随机摸出一个球:①这球是“红球”;②这球是“黄球”;③这球是“白球”,将这些事件的序号按发生的可能性从大到小的顺序排列为 ③②① .
【考点】可能性的大小;随机事件.
【分析】根据概率的求法,找准两点:①全部情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率,即可求出答案.
【解答】解:根据题意可得:袋子中有1个红球,2个黄球,3个白球,共6个,
从袋子中随机摸出一个球,①这球是“红球”的概率是 ;②这球是“黄球”的概率是 ;③这球是“白球”的概率是 ,
故答案为:③②①.
 
13.矩形的两条对角线的夹角为120°,较短的一边为4,则其对角线长为 8 .
【考点】矩形的性质.
【分析】由矩形的性质和已知条件可证明△AOB为等边三角形,再由等边三角形的性质可求出AO的长,进而求出矩形对角线长.
【解答】解:如图所示:
∵四边形为矩形,
∴AC=BD,AO= AC,BO= BD,
∴AO=B0,
∵∠AOD=120°,
∴∠AOB=60°,
∴△AOB为等边三角形,
∴AO=B0=AB=4,
∴AC=BD=2×4=8.
故答案为:8.
 
 
14.如图,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A′B′C′D′的位置,旋转角为a (0°<a<90°).若∠1=110°,则a= 20° .
 
【考点】旋转的性质.
【分析】先利用旋转的性质得到∠ADC=∠D=90°,∠DAD′=α,再利用四边形内角和计算出∠BAD=70°,然后利用互余计算出∠DAD′,从而得到α的值.
【解答】解:∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A′B′C′D′的位置,
∴∠ADC=∠D=90°,∠DAD′=α,
∵∠ABC=90°,
∴∠BAD=180°﹣∠2,
而∠2=∠21=110°,
∴∠BAD=180°﹣110°=70°,
∴∠DAD′=90°﹣70°=20°,
即α=20°.
故答案为20°.
 
 
15.两个全等菱形如图所示摆放在一起,其中B、C、D和G、C、F分别在同一条直线上,若较短的对角线长为10,点G与点D的距离是24,则此菱形边长为 13 .
 
【考点】菱形的性质.
【分析】首先连接AC和BD,根据题意求出BO和OC的长,进而利用勾股定理求出菱形的边长.
【解答】解:连接AC和BD,相交于点O,
∵点G与点D的距离是24,
∴OC=12,
∵较短的对角线长为10,
∴OB=5,
∴在Rt△OBC中,BC= =13,
∴菱形边长为为13,
故答案为13.
 
 
16.如图,菱形ABCD的对角线长分别为a、b,以菱形ABCD各边的中点为顶点作矩形A1B1C1D1,然后再以矩形A1B1C1D1的中点为顶点作菱形A2B2C2D2,…,如此下去,得到四边形A2016B2016C2016D2016的面积用含a,b的代数式表示为 ( )2017ab .
 
【考点】矩形的性质;菱形的性质.
【分析】根据三角形中位线定理,逐步推理出各小长方形的面积,总结出规律,用规律解答即可.
【解答】解:∵四边形ABCD中,AC=a,BD=b,且AC丄BD,
∴S四边形ABCD= ab;
由三角形的中位线的性质可以推知,每得到一次四边形,它的面积变为原来的一半,
∴四边形A2016B2016C2016D2016的面积为( ab.
故答案为:  ab.
 
三、解答题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)
17.如图,在▱ABCD中,∠D=45°,∠CAD=35°,求∠B和∠BAC的度数.
 
【考点】平行四边形的性质.
【分析】根据平行四边形的性质可知:∠D=∠B═45°,AB∥CD,得出∠BAD+∠D=180°,求出∠BAD的度数,即可得出∠BAC的度数.
【解答】解:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴∠B=∠D=45°,AB∥CD,
∴∠BAD+∠D=180°,
∴∠BAD=180°﹣45°=135°,
∴∠BAC=∠BAD﹣∠CAD=135°﹣35°=100°.
 
18.一个不透明的袋子中有编有序号的5个球(从1号到5号),其中3个黄球(从1号到3号),2个白球(从4号到5号),这些球除颜色不同外其他完全相同.
(1)从袋子中随机摸出一个球是1~5号中的一个,一共有几种结果,这个事件是等可能的吗?摸到黄球和白球是等可能的吗?
(2)“从袋子中随机摸出一个球是红球”是 不可能 事件;
(3)从袋子中随机摸出一个球是黄球的概率是多少?
【考点】概率公式.
【分析】(1)共有5个球,于是可判断有5种等可能的结果数,由于黄球与白球的个数不等,所以摸到黄球和白球不是等可能的;
(2)根据确定事件的定义求解;
(3)根据概率公式求解.
【解答】解:(1)从袋子中随机摸出一个球是1~5号中的一个,一共有5种结果,这个事件是等可能的,摸到黄球和白球不是等可能;
(2)“从袋子中随机摸出一个球是红球”是不可能事件;
(3)从袋子中随机摸出一个球是黄球的概率= .
故答案为不可能.
 
19.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,A、B、C都是格点.
(1)画出△ABC关于BC对称的△A′B′C′;
(2)将△ABC绕图中的格点C顺时针旋转90°,得到△A1B1C1;
(3)画出△ABC关于点O成中心对称的△A2B2C2.
 
【考点】作图-旋转变换;作图-轴对称变换.
【分析】(1)利用对称轴的性质画出点A的对应点A′即得到△A′B′C′;
(2)利用网格特点和旋转的性质分别画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1,从而得到△A1B1C1;
(3)利用网格特点和旋转的性质分别画出点A、B、C的对应点A2、B2、C2,从而得到△A2B2C2.
【解答】解:(1)如图,△A′B′C′为所作;
(2)如图,△A1B1C1为所作;
(3)如图,△A2B2C2为所作.
 
 
20.已知:如图,P为矩形ABCD内一点,PC=PD,求证:PA=PB.
 
【考点】矩形的性质;全等三角形的判定与性质.
【分析】欲证明PA=PB只要证明△PAD≌PBC即可.
【解答】证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,∠ADC=∠BCD=90°,
∵PD=PC,
∴∠PDC=∠PCD,
∴∠ADP=∠BCP,
在△PAD和△PBC中,
 ,
∴△PAD≌△PBC,
∴PA=PB.
 
 
四、解答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分)
21.下面是小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据.
 抛掷次数  100  200 300  400  500
正面朝上的频数m 51  98 153  200  255

正面朝上的频率
    
(1)填写表中的空格;
(2)画出折线统计图;
(3)当试验次数很大时,“正面朝上”的频率在 0.51 附近摆动.
 
【考点】利用频率估计概率;频数(率)分布折线图.
【分析】(1)利用正面朝上的频数÷抛掷次数=正面朝上的频率分别求出即可;
(2)利用(1)中所求画出折线图即可;
(3)利用(1)所求,进而估计出,“正面朝上”的频率.
【解答】解:(1)填表如下:
 抛掷次数  100  200 300  400  500
正面朝上的频数m 51  98 153  200  255

正面朝上的频率
0.51  0.49 0.51 0.5  0.51
(2)如图所示:
 ;

(3)当试验次数很大时,“正面朝上”的频率在0.51附近摆动.
故答案为:0.51.
 
22.学校统筹安排大课间体育活动,在各班随机选取了一部分学生,分成四类活动:“跳绳”、“羽毛球”、“乒乓球”、“其他”进行调查,整理收集到的数据,绘制成如图的两幅统计图.
(1)学校采用的调查方式是 抽样调查 ;学校在各班随机选取了 100 名学生;
(2)补全统计图中的数据:羽毛球 21 人、乒乓球 18 人、其他 25 %;
(3)该校共有900名学生,请估计喜欢“跳绳”的学生人数.
 
【考点】条形统计图;全面调查与抽样调查;用样本估计总体;扇形统计图.
【分析】(1)根据在各班随机选取了一部分学生,即为抽样调查,利用喜欢“篮球”的学生36人,所占百分比为36%,即可得出样本容量;
(2)用1减去篮球、羽毛球、乒乓球所占百分比,得到其他所占百分比,再用样本容量乘以对应百分比,可得羽毛球、乒乓球、其他的人数,即可补全统计图中的数据;
(3)利用样本估计总体,用900乘以喜欢“跳绳”的学生所占的百分比即可得出全校喜欢“跳绳”的学生人数.
【解答】解:(1)学校采用的调查方式是抽样调查;
由题意可得:喜欢篮球的人数为:36人,所占比例为:36%,
所以学校在各班随机选取了学生:36÷36%=100(名);
故答案为:抽样调查,100;

(2)喜欢羽毛球人数为:100×21%=21(人),
喜欢乒乓球人数为:100×18%=18(人),
其他所占百分比为:1﹣36%﹣21%﹣18%=25%,
喜欢其它人数为:100×25%=25(人),
补全统计图如下:
 
故答案为:21,18,25;

(3)900×36%=324.
答:估计喜欢跳绳的人数约为324人.
 
23.已知:如图,在四边形ABCD中,P、Q、M、N分别是AD、BC、BD、AC的中点.
(1)求证:PQ、MN互相平分;
(2)当四边形ABCD的边满足条件: AB=CD 时,PQ⊥MN.(不必证明)
 
【考点】中点四边形.
【分析】(1)连接MP、NP、MQ、NQ,根据三角形中位线定理得到PM= AB,PM∥AB,NQ= AB,NQ∥AB,根据平行四边形的判定定理证明四边形PMQN是平行四边形,根据平行四边形的性质定理证明结论;
(2)根据菱形的判定定理和性质定理解答即可.
【解答】(1)证明:连接MP、NP、MQ、NQ,
∵P、M分别是AD、BD的中点,
∴PM= AB,PM∥AB,
同理NQ= AB,NQ∥AB,
∴PM∥NQ,PM=NQ,
∴四边形PMQN是平行四边形,
∴PQ、MN互相平分;
(2)AB=CD,
∵PM= AB,PN= CD,
当AB=CD时,PM=PN,
则平行四边形PMQN是菱形,
∴PQ⊥MN.
 
 
五、解答题(本大题共2小题,每小题10分,共20分)
24.把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠,使顶点B和D重合,折痕为EF.
(1)连接BE,求证:四边形BFDE是菱形,并说明理由;
(2)若AB=8cm,BC=16cm,求线段DF及折痕EF的长.
 
【考点】菱形的判定;翻折变换(折叠问题).
【分析】(1)由EF垂直并平分BD  BD与EF交于点O,四边形ABCD是矩形,易证得△DOE≌△BOF,继而证得DE=BE=BF=DF,则可得四边形BFDE是菱形;
(2)首先设DF=x,则FC=16﹣x,在Rt△EBF中,利用勾股定理即可求得菱形的边长,再过点E作EG⊥BC于G,即可求得答案.
【解答】解:(1)四边形BFDE是菱形.
由折叠可知:EF垂直并平分BD  BD与EF交于点O,
则BE=DE  BF=DF,
∵四边形ABCD是矩形,
∴DE∥BF,
∴∠EDO=∠FBO,
在△DOE和△BOF中,
 ,
∴△DOE≌△BOF(ASA),
∴DE=BF,
∴DE=BE=BF=DF,
∴四为形BFDE为菱形;

(2)设DF=x,则FC=16﹣x,
在Rt△EBF中,由勾股定理得:FC2+DC2=DF2,
即82+(16﹣x)2=x2,
解得:x=10,
即DF的长为10,
过点E作EG⊥BC于G,则GF=4,
由勾股定理得:EF= =4 .
 
 
25.将面积为4的正方形ABCD与面积为8的正方形AEFG按图①的位置放置,AD、AE在同一条直线上,AB、AG在同一条直线上.
(1)试判断DG、BE的数量和位置关系,并说明理由;
(2)如图2,将正方形ABCD绕点A逆时针旋转,当点B恰好落在线段DG上时,求此时BE的长;
(3)如图3,将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转,线段DG与线段BE将相交,交点为H,请直接写出△GHE与△BHD面积之和的最大值.
 
【考点】四边形综合题.
【分析】(1)由正方形的性质可证△ADG≌△ABE(SAS),因此可证得∠AGD=∠AEB,如图1,延长EB交DG于点H,然后由三角形的内角和和直角三角形的两锐角互余可证得结论;由正方形的性质和等量代换可证△ADG≌△ABE(SAS),因此可证得DG=BE,
(2)如图2,过点A作AM⊥DG交DG于点M,根据正方形的性质可证得DM=AM= ,然后根据勾股定理可求得GM的长,进而可求得BE=DG=DM+GM.
(3)对于△EGH,点H在以EG为直径的圆上,所以当点H与点A重合时,△EGH的高最大,对于△BDH,点H在以BD为直径的圆上,所以当点H与点A重合时,△BDH的高最大,因此求出这时的面积,再相加即可.
【解答】解:(1)如图1,
 
四边形ABCD与四边形AEFG是正方形,
∴AD=AB,∠DAG=∠BAE=90°,AG=AE,
∴△ADG≌△ABE(SAS),
∴∠AGD=∠AEB,
延长EB交DG于点H,
△ADG中∠AGD+∠ADG=90°,
∴∠AEB+∠ADG=90°,
△DEH中,∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°,
∴∠DHE=90°,
∴DG⊥BE,
(2)四边形ABCD与四边形AEFG是正方形,
∴AD=AB,∠DAB=∠GAE=90°,AG=AE,
∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG,
∴∠DAG=∠BAE,
AD=AB,∠DAG=∠BAE,AG=AE,
∴△ADG≌△ABE(SAS),
∴DG=BE,
 
如图2,过点A作AM⊥DG交DG于点M,
∠AMD=∠AMG=90°
BD是正方形ABCD的对角线,
∴∠MDA=45°,
∵面积为4的正方形ABCD与面积为8的正方形AEFG
∴AD=2,AE=2 ,
在Rt△AMD中,∠MDA=45°,
∴COS45°= ,
∴DM= ,
∴AM= ,
在Rt△AMG中,GM= = ,
∵DG=DM+GM= + ,
∴BE=DG= + ,
(3)面积的最大值为6.
如图,
 
对于△EGH,点H在以EG为直径的圆上,
所以当点H与点A重合时,△EGH的高最大,
∴S△EGH= AG×AE= ×8=4,
对于△BDH,点H在以BD为直径的圆上,
所以当点H与点A重合时,△BDH的高最大,
∴S△BDH= AD×AB= ×4=2,
∴△GHE与△BHD面积之和的最大值是4+2=6.

2016年8月21日

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