七年级数学上第一章1.2有理数(人教版)

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七年级数学上第一章1.2有理数(人教版)

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1.2 有理数
1.2.1 有理数

1.理解有理数的概念.
2.会判断一个数是整数还是分数,是正数还是负数.
3.懂得有理数的两种分类方法.


阅读教材P6,请你认真思考,你认为整数包括哪些?分数包括哪些?有理数按数的形式可以怎样来分类?你认为正有理数包括哪些?负有理数包括哪些?有理数按性质(符号)可以怎样来分类?
知识探究
1.正整数、0和负整数统称为整数;正分数和负分数统称为分数.
2.整数和分数统称为有理数.
自学反馈
1.把下列各数写在相应的集合里.
-5,10,-4.5,0,+235,-2.15,0.01,+66,-35,15%,227,2 009,-16.
正整数集合:{10,+66,2 009,…}
负整数集合:{-5,-16,…}
负分数集合:{-4.5,-2.15,-35,…}
正分数集合:{+235,0.01,15%,227,…}
整数集合:{-5,10,0,+66,2 009,-16,…}
负数集合:{-5,-4.5,-2.15,-35,-16,…}
正数集合:{10,+235,0.01,+66,15%,227,2 009,…}
有理数集合:{-5,10,-4.5,0,+235,-2.15,0.01,+66,-35,15%,227,2 009,-16,…}
2.有理数的分类(分两类).
解:略.
 有理数的分类标准要统一.


活动1 小组讨论
例1 在数-5,23,0,-0.24,7,4 076,-59,-2中,正数有23,7,4__076,负数有-5,-0.24,-59,-2,整数有-5,0,7,4__076,-2,分数有23,-0.24,-59,有理数有-5,23,0,-0.24,7,4__07 6,-59,-2.
例2 下列说法不正确的是(A)
A.正整数和负整数统称为整数
B.正有理数、负有理数和零统称为有理数
C.整数和分数统称为有理数
D.正分数和负分数统称为分数
例3 有理数:-7,3.5,-12,112,0,π,1317中,正分数有(C)
A.1个    B.2个    C.3个    D.4个
活动2 跟踪训练
1.下列各数:-8,-113,2.03,0.5,67,-44,-0.99,其中整数有-8,-44,负分数有-113,-0.99.
2.下 列说法正确的是(D)
A.一个有理数不是正数就是负数
B.正有理数和负有理数组成有理数
C.有理数是指整数、分数、正有理数、负有理数和零这五类数
D.负整数和负分数统称为负有理数
3.有理数中,是整数而不是负数的是非负整数,是负有理数而不是分数的是负整数.
活动3 课堂小结
通过教师的引导、鼓励和不断完善,以及学生自己的概括,最后归纳出我们已经学过的5类不同的数,它们分别是正整数、零、负整数、正分数、负分数.
 
1.2.2 数轴

1.了解数轴的概念,学会画数轴,知道如何在数轴上表示有理数,能说出数轴上表示有理数的点所表示的数,知道任何一个有理数在数轴上都有唯一的点与之对应.
2.通过现实生活中的例子,从直观认识到理性认识,从而建立数轴概念;通过学习,初步体会对应的思想、数形结合的思想.
3.体会数形结合的思想方法,进而初步认识事物之间的联系,激发学习热情.

阅读教材P7~9,思考和回答以下问题.
1.通过阅读教材(数轴部分),你认为画一条数轴必须包括什么?这就是数轴的三要素.请你在下面画一条数轴.
2.数轴上有些点表示有理数,如下图,指出A、B、C、D、E分别表示什么数?
 
3.完成教材P9的归纳,由此可见要在数轴上确定一个有理数的位置,必须确定哪两个方面?画一条数轴,把2、-3、-1.5、223、0、-214标在数轴上.
4.所有的有理数都能标在数轴上吗?数轴上的所有点都表示有理数吗?
5.数轴上的数都是按照正方向由小到大排列的,左边的数与右边的数大小关系怎样?正数、零、负数的大小关系怎样?由此我们可以根据数轴来比较有理数的大小关系.
知识探究
1.规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.
2.数轴是一条直线,它可以向两端无限延伸.
3.数轴上原点左侧是负数,正数在原点的右侧.
自学反馈
1.数轴的三要素是原点、正方向、单位长度.
2.指出图中所画数轴的错误:
 
解:略.
3.如图,数轴上点A、B表示的数分别是-2.5、2.
 
4.在数轴上表示-1.2的点在(B)
A.-1与0之间     B.-2与-1之间
C.1与2之间  D.-1与1之间
5.数轴上表示-8的点在原点的左侧,距离原点8个单位长度;数轴上点P距原点5个单位长度,且在原点的左侧,则点P表示的数是-5.
6.画一条数轴表示下列各数,并用“<”把这些数连接起来.
13,2,-4.5,0,52,-0.5, -14.
解:略.

活动1 小组讨论
例 (1)画一条数轴,并表示出如下各点:±0.5,±0.1,±0.75;
(2)画一条数轴,并表示出如下各点:1 000,5 000,-2 000;
(3)画一条数轴,在数轴上标出到原点的距离小于3的整数;
(4)画一条数轴,在数轴上标出-5和+5之间的所有整数.
解:略.
  数轴的三要素、画法、适当地选择单位长度和原点的位置.
活动2 跟踪训练
1.画出数轴并表示下列有理数:1.5,-2,2,-2.5,412,0.
解:略.
2.如图,写出数轴上点A,B,C,D,E所表示的数.
 
解:0,-2,1,2.5,-3.
3.在数轴上,表示数-3,2.6,-35,0,413,-223,-1的点中,在原点左边的点有4个.
4.在数轴上点A表示的数是-4,如果把原点向负方向移动1.5个单位长度,那么在新数轴上点A表示的数是(C)
A.-512  B.-4
C.-212  D.212
5.一个点在数轴上表示的数是-5,这个点先向左边移动3个单位长度,然后再向右边移动6个单位长度,这时它表示的数是多少呢?如果按上面的移动规律,最后得到的点是2,则开始时它表示什么数?
解:-2,-1.
 利用数轴,数形结合解题.
活动3 课堂小结
1.数轴的出现对数学的发展起了重要作用,师生共同研究,什么是数轴?如何画数轴?如何在数轴上表示有理数?
2.利用数轴,很多数学问题都可以借助图直观地表示.
 
1.2.3 相反数

1.理解相反数的意义.
2.掌握求一个已知数的相反数的方法.
3.提高观察、归纳和概括的能力.

阅读教材P9~10,思考并回答以下问题.
1.在数轴上,到原点的距离等于3的点有两个,这两个点表示的数是-3和 3,像这样,只有符号不同的两个数叫做互为相反数.也就是说:3是-3的相反数,-3是3的相反数.
2.数a的相反数记作-a,5的相反数记作-5,-5的相反数记作-(-5),而-5的相反数是5,因此-(-5)=5.
知识探究
1.相反数的定义:只有符号不同的两个数叫做互为相反数.
2.在数轴上表示相反数的两个点的特点是关于原点对称.
3.我们规定:0的相反数是0.
自学反馈
1.数轴上表示互为相反数的两个点相互之间的距离是8.4,则这两个数是±4.2.
2.-2.3的相反数是2.3;0.01是-0.01的相反数.
3.相反数等于本身的数是0.
4.已知有理数a,则a的相反数可用-a表示.
5.表示下列各数的相反数,并求出相反数的值:
①7;②+6.3;③-334;④+(-23);⑤-(+356);⑥-(-2.6);⑦0.
解:-7,-(+6.3)=-6.3,-(-334)=334,-[+(-23)]=23,-[-(+356)]=356,-[-(-2.6)]=-2.6,0.

活动1 小组讨论
例1 化简下列各数,你能发现什么规律?
(1)-[-(-3)];
(2)-[+(-3.5)];
(3)+[-(-6)];
(4)-[-(+7)].
规律:负号个数为奇数时,化简得的结果为负;负号个数为偶数时,化简得的结果为正.
例2 化简下列各数,并总结一个有理数符号简化的规律.
(1)-(-13);
(2)+(+10);
(3)+(-412);
(4)-{+[-(-2)]}.
解:略.
例3 已知a、b在数轴上的位置如图所示.
(1)在数轴上作出它们的相反数;
(2)用“<”按从小到大的顺序将这四个数连接起来.
 
解:略.
 相反数的特点和定义:到原点的距离相等,符号相反.
活动2 跟踪训练
1.-74的相反数是74;13的相反数是-13;0的相反数是0;a+1的相反数是-a-1.
2.若x=-4,则-(-x)=-4;若-y=3.1,则y+3.1=0;若-a=-(-3),则a=-3;b-a与a-b互为相反数.
3.负数的相反数比它本身大,正数的相反数比它本身小,0的相反数和它本身相等.
4.若a=-2,则-a=2;若-b=74,则b=-74;若-c=-8,则c=8.
5.若x的相反数仍是x,则x=0.
6.已知a与b互为相反数,a与b应满足关系式a+b=0.
7.一个数的相反数是最大的负整数,那么这个数 是1.
活动3 课堂小结
相反数的概念使有理数的各个运算法则容易表述,也揭示了两个特殊数的特征.这两个特殊数在数量上具有相同的绝对值,它们的和为零,在数轴 上表示时,离原点的距离相等等性质均有广泛的应用.
 
1.2.4 绝对值
第1课时 绝对值

1.理解绝对值的几何意义和代数意义.
2.会求一个有理数的绝对值.

阅读教材P11,思考下面的问题.
1.在数轴上和原点相距3个单位长度的点表示的数是什么?-5在原点的哪一侧,与原点相距几个单位长度?你能在数轴上标出这些距离吗?
2.通过学习,你能写出绝对值的定义吗?
3.一个有理数a的相反数怎样表示?通过本节的学习你知道一个有理数a的绝对值怎样表示吗?
知识探究
1.一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值.
2.一个正数的绝对值是它本身,即:若a>0,则a=a;一个负数的绝对值是它的相反数,即:若a<0,则a=-a;0的绝对值是0(双重性).
自学反馈
1.数轴上有一点到原点的距离为6.03,那么这个点表示的数是±6.03.所以6.03=6.03,-6.03=6.03.
2.计算:(1)|+13|=13;(2)|-8|=8;(3)|+315|=315;(4)|-8.22|=8.22.
3.-213的绝对值是213,绝对值等于213的数是±213,它们是一对相反数.
4.已知|a|=3,|b|=5,a与b异号,求a、b两数在数轴上所表示的点之间的距离.
解:8.
5.在|-7|,5,-(+3),-|0|中,负数共有(A)
A.1个   B.2个   C.3个   D.4个
6.一个数的绝对值等于这个数本身,这个数是(D)
A.1  B.+1,-1,0
C.1或-1  D.非负数
 非负数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数.

活动1 小组讨论
例1 -2的相反数是(B)
A.2  B.-2  C.0.5  D.-0.5
例2 下列四组数中不相等的是(C)
A.-(+3)和+(-3)  B.+(-5)和-5
C.+(-7)和-(-7)  D.-(-1)和|-1|
例3 下列说法正确的是(B)
A.一个数的绝对值的相反数一定不是负数
B.一个数的绝对值一定不是负数
C.一 个数的绝对值一定是正数
D.一个数的绝对值一定是非正数
例4 若|x-3|+|y-2|=0,则x=3,y=2.
活动2 跟踪训练
1.绝对值小于2的整数有3个,它们分别是±1,0.
2.指出下列各式中a的取值.
(1)若|a|=-a,则a为非正数;
(2)若|-a|=a,则a为非负数;
(3)若|a-1|=0,则a为1.
3.已知a,b是有理数,且满足|a+1|+|2-b|=0,求a+b的值.
解:1.
 注意绝对值的非负性.
活动3 课堂小结
1.绝对值的定义:有理数到原点的距离.
 
2. 求一个有理数的相反数.
3.化简绝对值.
|a|=a(a>0),0(a=0),-a(a<0).
 
第2课时 比较大小

1.理解比较有理数大小的规则的合理性.
2.会比较有理数的大小.

阅读教材P12~13,思考和回答下列问题.
1.研究两个有理数,按照正数、负数、零分类,有怎样的几种情况?
(1)正数与正数;(2)正数与零;(3)正数与负数;(4)零与负数;(5)负数与负数.
2.教材引导我们利用数轴进行有理数的大小比较.
在数轴上表示有理数,它们从左到右的顺序,就是从小到大的顺序,即左边的数小于右边的数.
知识探究
1.在数轴上表示的两个有理数,左边的数小于右边的数.
2.正数大于0,0大于负数,正数大于负数;两个负数,绝对值大的反而小.
自学反馈
1.比较-78和-67;-|-(+5)|和-[-(+5)]的大小,并写出比较过程.
解:-78<-67,-|-(+5)|<-[-(+5)].
 先化简,再比较.
2.求同时满足:①│a│=6,②-a<0这两个条件的有理数a.
解:a=6.

活动1 小组讨论
例1 将有理数:-(-4),0,-│-312│,-│+2│,-│-(+1.5)│,-(-3),│-(+212)│表示到数轴上,并用“<”把它们连接起来.
解:略.
例2 有理数x、y在数轴上的位置如图所示:
 
(1)在数轴上表示-x,-y;
(2)试把x、y、0、-x、-y这五个数用“>”连接起来.
 解:(1)
(2)x>-y>0>y>-x.
 数轴上的点表示的数右边的总比左边的大.
活动2 跟踪训练
1.下面四个结论中,正确的是(D)
A.|-2|>|-3|       B.|2|>|3|
C.2>|-3|  D.|-2|<|-3|
2.比较大小(填“>”或“<”).
(1)-23>-34;
(2)-2 0072 008>-2 0082 009;
(3)-(-19)>--110.
3.在数轴上表示下列各数:+223,-12,-(-6),-7,-(+3),1,0,-1.5.并用“<”将它们连接起来.
解:略.
4.已知有理数a,b在数轴上的位置如图所示,请比较a,b,|a|,|b|的大小.
 
解:
即|b|>|a|>a>b.
活动3 课堂小结
1.两个负数比较大小,绝对值大的反而小.
2.正数大于零,零大于负数,正数大于负数.

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