2018九年级数学上3.4相似三角形的判定与性质教案新版湘教版

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2018九年级数学上3.4相似三角形的判定与性质教案新版湘教版

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3.4 相似三角形的判定与性质
3.4.1 相似三角形的判定
第1课时 相似三角形的判定(1)
教学目标
【知识与技能】
经历三角形相似的判定定理“平行于三角形的一边的直线与其它两边相交,截得的三角形与原三角形相似”和“两角分别相等的两个三角形相似”的探索及证明过程.
【过程与方法】
让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程,培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.
【情感态度】
通过学生积极参与,激发学生学习数学的兴趣,体验数学的探索与创造的快乐.
教学重点】
三角形相似的判定定理及应用.
【教学难点】
三角形相似的判定定理及应用.
教学过程
一、情景导入,初步认知
现有一块三角形玻璃ABC,不小心打碎了,只剩下∠A和∠B比较完整.如果用这两个角去配制一块完全一样的玻璃,能成功吗?
【教学说明】选择以旧孕新为切入点,创设问题情境,引入新课.
二、思考探究,获取新知
1.在△ABC中,D为AB上任意一点,过点D作BC的平行线DE,交AC于点E.
(1)△ADE与△ABC的三个角分别相等吗?
(2)分别度量△ADE与△ABC的边长,它们的边长是否对应成比例?
(3)△ADE与△ABC之间有什么关系?平行移动DE的位置,你的结论还成立吗?
 
【归纳结论】平行于三角形的一边的直线与其他两边相交,截得的三角形与原三角形相似.
2.如图,D、E分别是△ABC的AB与AC边的中点,求证:△ADE与△ABC相似.
 
证明:∵D、E分别是△ABC的AB与AC边的中点,
∴DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC.
3.任意画△ABC与△A′B′C′,使∠A′=∠A,∠B′=∠B.
(1)∠C′=∠C吗?
(2)分别度量这两个三角形的边长,它们是否对应成比例?
(3)把你的结果与同学交流,你们的结论相同吗?由此你有什么发现?
【教学说明】此时,教师鼓励学生大胆猜想,得出命题.如果学生还能从不同角度研究,或许还有新的方法进行证明,要大胆鼓励.
【归纳结论】两角分别相等的两个三角形相似.
4.如图,在△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F.求证:△DEH∽△BCA.
 
证明:∵DE⊥AB,DF⊥BC,
∴∠D+∠DHE= ∠B+∠BHF=90°,
而∠BHF=∠DHE,
∴∠D=∠B,
又∵∠HED=∠C=90°,
∴△DEH∽△BCA.
三、运用新知,深化理解
1.见教材P78例2、P80例4.
2.判断题:
(1)有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似.(  )
(2)所有的直角三角形都相似.(  )
(3)有一个角相等的两个等腰三角形相似.(   )
(4)顶角相等的两个等腰三角形相似.(  )
【答案】(1)√;(2)×;(3)×;(4)√
3.如图:点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F,则△AGD∽______∽________.
 
解析:关键是找“角相等”,除已知条件中已明确给出的以外,还应结合具体的图形,利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角.本例除公共角∠G外,由BC∥AD可得∠1=∠2,所以△AGD∽△EGC.再∠1=∠4(对顶角),由AB∥DG可得∠3=∠G,所以△EGC∽△EAB.
【答案】△EGC △EAB
4.已知:在△ABC和△DEF中,∠A=40°,∠B=80°,∠E=80°,∠F=60°.
求证:△ABC∽△DEF.
 
证明:∵在△ABC中,∠A=40°,∠B=80°,
∴∠C=180°-∠A-∠B
=180°-40°-80°
=60°,
∵在△DEF中,∠E=80°,∠F=60°,
∴∠B=∠E,∠C=∠F,
∴△ABC∽△DEF.(两角对应相等,两三角形相似)
5.已知△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD是角平分线,求证:△ABC∽△BCD.
 
分析:证明相似三角形应先找相等的角,显然∠C是公共角,而另一组相等的角则可以通过计算来求得.借助于计算也是一种常用的方法.
证明:∵∠A=36°,
△ABC是等腰三角形,
∴∠ABC=∠C=72°,
又BD平分∠ABC,则∠DBC=36°,
在△ABC和△BCD中,
∠C为公共角,∠A=∠DBC=36°,
∴△ABC∽△BCD.
 
6.已知:如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高.
求证:△ACD∽△ABC∽△CBD.
证明:∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB=90°,
∴△ACD∽△ABC,(两角对应相等,两三角形相似)
同理△CBD∽△ABC,
∴△ABC∽△CBD∽△ACD.
【教学说明】学生在独立思考的基础上,小组讨论交流,让学生随时展示自己的想法.从而得到提高.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业:教材“习题3.4”中第2题.
教学反思
通过这节课的教学,绝大多数学生能运用本节课所学的知识进行相关的计算和证明;少数学生在探究两个三角形相似的定理时,不会用学过的知识进行证明.

第2课时 相似三角形的判定(2)
 
教学目标
【知识与技能】
经历三角形相似的判定定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”和“三边成比例的两个三角形相似”的探索及证明过程.
【过程与方法】
让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程,培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.
【情感态度】
在合作、交流、探讨的学习氛围中,体验学习的快乐,树立学习的信心.
【教学重点】
掌握判定定理,会运用判定定理判定两个三角形相似.
【教学难点】
会准确的运用两个三角形相似的条件来判定两个三角形是否相似.
教学过程
一、情景导入,初步认知
问题:(1)相似三角形的定义是什么?
三边成比例,三角分别相等的两个三角形相似.
(2)判定两个三角形相似,你有哪些方法?
方法1:通过定义(不常用);
方法2:通过平行线(条件特殊,使用起来有局限性);
方法3:判定定理1,两角分别相等的两个三角形相似.
【教学说明】引导学生复习学过的知识,承前启后,激发学生学习新知的欲望.
二、思考探究,获取新知
下面我们来探究还可用哪些条件来判定两个三角形相似.
1.我们学习了三角形相似的判定定理1,类似于三角形全等的“SAS”判定方法,你能通过类比的方法猜想到三角形相 似的其它判定方法吗?
2.任意画△ABC与△A′B′C′,使∠A′=∠A,ABA′B′=ACA′C′=k.
(1)分别度量∠B′和∠B,∠C′和∠C的大小,它们分别相等吗?
(2)分别度量BC和B′C′的长,它们的比等于k吗?
(3)改变∠A或k的大小,你的结论相同吗?由此你有什么发现?
【教学说明】引导学生画图,并鼓励证明命题归纳结论.
【归纳结论】两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
3.如图,在△ABC与△DEF中,已知∠C=∠F,AC=3.5cm,BC=2.5cm,DF=2.1cm,EF=1.5cm.求证:△ABC∽△DEF.
 
证明:∵AC=3.5cm,BC=2.5cm,DF=2.1cm,EF=1.5cm,
∴DFAC=2.13.5=35,EFBC=1.52.5=35,
∴DFAC=EFBC,
又∵∠C=∠F,
∴△ABC∽△DEF.
4.我们已经学习了三角形相似的2个判定定理,类似于三角形全等的“SSS”判定方法,你能通过类比的方法猜想三角形相似的其他判定方法吗?
5.你 能证明你的结论吗?
已知:如图,在△A′B′C′和△ABC中,
ABA′B′=ACA′C′=BCB′C′.
求证:△A′B′C′∽△ABC.
 
【教学说明】引导学生证明.
【归纳结论】三边成比例的两个三角形相似.
6.如图,在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,.求证:△ABC∽△A′B′C′.
 
分析:已知两边成比例,只需证明三边成比例就可以证明两个三角形相似.可以利用勾股定 理来证明.
【教学说明】用已学过的知识 解题,并通过解题巩固对判定定理的理解.
 三、运用新知,深化理解
1.见教材P82例6、P84例8.
2.如图,下列每个图形 中,存不存在相似的三角形,如果存在,把它们用字母表示出来,并简要说明识别的根据.
 

解:(1)△ADE∽△ABC,两角相等;
(2)△ADE∽△ACB,两角相等;
(3)△CDE∽△CAB,两角相等;(4)△EAB∽△ECD,两边成比例且夹角相等;(5)△ABD∽△ACB,两边成比例且夹角相等;(6)△ABD∽△ACB,两边成比例且夹角相等.
3.在△ABC和△A′B′C′中,已知下列条件成立,判断这两个三角形是否相似,并说明理由.
(1)AB=5,AC=3,∠A=45°,
A′B′=10,A′C′=6,∠A′=45°;
(2)∠A=38°,∠C=97°,
∠A′=38°,∠B′=45°;
(3)AB=2,BC=2,AC=10,
A′B′=2,B′C′=1,A′C′=5.
解:(1)SAS,相似;
(2)AA,相似;
(3)SSS,相似.
4.如图,BC与DE相交于点O.问
(1)当∠B满足什么条件时,△ABC∽△ADE?
(2)当AC∶AE满足什么条件时,△ABC∽△ADE?
(学生小组合作交流、讨论,教师巡视引导.)
 
解:(1)∵∠A=∠A,
∴当∠B=∠D时,△ABC∽△ADE.
(2)∵∠A=∠A,
∴当AC∶AE=AB∶AD时,
△ABC∽△ADE.
5.如图,在等腰直角三角形ABC中,顶点为C,∠MCN=45°,试说明△BCM∽△ANC.
 
解:∵△ACB是等腰直角三角形,
∴∠A=∠B=45°.
又∵∠MCN=45°,
∠CNA=∠B+∠BCN=45°+∠BCN,
∠MCB=∠MCN+∠NCB=45°+∠BCN.
∴∠CNA=∠MCB,
在△BCM和△ANC中,
∠A=∠B∠CNA=∠MCB,
∴△BCM∽△ANC.
6.如图,已知△ABC、△DEB均为等腰直角三角形,∠ACB=∠E DB=90°,点E在边AC上,CB、ED交于点F.证明:△ABE∽△CBD.
 
证明:∵△ABC、△DEB均为等腰直角三角形,
∴∠DBE=∠CBA=45°,
∴∠DBE-∠CBE=∠CBA-∠CBE.
即∠ABE=∠CBD,又EBBD=ABBC=2,
∴△ABE∽△CBD.
7.在平行四边形ABCD中,M,N为对角线BD上两点,连接AM交BC于E,连接EN并延长交AD于F.试说明△AMD∽△EMB.
 
解:∵ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∠ADB=∠DBC,
∠MAD=∠MEB,
∴△MAD∽△MEB.
8.如图,已知△ABD∽△ACE,求证:△ABC∽△ADE.
 
分析:由于△ABD∽△ACE,则∠BAD=∠CAE,因此∠BAC=∠DAE,如果再进一步证明ABAD=ACAE,则问题得证.

证明:∵△ABD∽△ACE,
∴∠BAD=∠CAE.
又∵∠BAC=∠BAD+∠DAC,
∠DAE=∠DAC+∠CAE,
∴∠BAC=∠DAE.
∵△ABD∽△ACE,∴ABAD=ACAE.
在△ABC和△ADE中,
∵∠BAC=∠DAE,ABAD=ACAE,
∴△ABC∽△ADE.
【教学说明】通过练习,使学生能够综合运用相似三角形的判定定理解决问题.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业:教材“习题3.4”中第1、3、4题.
教学反思
相似三角形的判定主要介绍了四种方法,从练习的结果来看,不是很理想,绝大部分学生对定理的应用不是很熟练,特别对于“两边对应成比例且夹角相等”不能灵活运用,夹角也不能准确找到.我想问题的主要原因在于学生对图形的认知不深,对定理的理解不透,一味死记结论.不能理解每个量所表示的含义.我想在下一阶段中应培养他们认识图形的能力,合情推理的能力,争取这方面有所提高.

 

 

 


3.4.2 相似三角形的性质
教学目标
【知识与技能】
理解掌握相似三角形对应线段(高、中线、角平分线)及相似三角形的面积、周长比与相似比之间的关系.
【过程与方法】
对性质定理的探究,学生经历观察——猜想——论证——归纳的过程,培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度.
【情感态度】
在学习和探讨的过程中,体验从特殊到一般的认知规律.
【教学重点】
相似三角形性质的应用.
【教学难点】
相似三角形性质的应用.
教学过程
一、情景导入,初步认知
1.什么叫相似三角形?相似比指的是什么?
2.全等三角形是相似三角形吗?全等三角形的相似比是多少?
3.相似三角形的判定方法有哪些?
【教学说明】复习相关知识,为本节课的学习做准备.
二、思考探究,获取新知
1.根据相似三角形的概念可知相似三角形有哪些性质?
【归纳结论】相似三角形的基本性质:相似三角形的对应角相等,对应边成比例.
2.如图,△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形,相似比为k,其中,AD、A′D′分别为BC、 B′C′边上的高,那么,AD和A′D′之间有什么关系?
 
证明:∵△ABC∽△A′B′C′,
∴∠B=∠B′,
又∵AD⊥BC,A′D′⊥B′C′,
∴∠ADB=∠A′D′B′=90°,
∴△ABD∽△A′B′D′,
∴AB︰A′B′=AD︰A′D′=k.
你能得到什么结论?
【归纳结论】相似三角形对应边上的高的比等于相似比.
3.如图,△A′B′C′和△ABC是两个相似三角形,相似比为k,求这两个三角形的角平分线A′D′与AD的比.
 
解:∵△A′B′C′∽△ABC,
∴∠B′=∠B,∠A′B′C′=∠ABC,
∵A′D′,AD分别是△A′B′C′与△ABC的角平分线,∴∠B′A′D′=∠BAD,
∴△A′B′D′∽△ABD.(有两个角对应相等的两个三角形相似).
∴A′D′AD=A′B′AB=k.
根据上面的探究,你能得到什么结论?
【归纳结论】相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
4.在上图中,如果AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的中线,那么,AD和A′D′之间有什么关系?你能证明你的结论吗?
【归纳结论】相似三角形对应边上的中线的比等于相似比.
5.如图,△ABC∽△A′B′C′,ABA′B′=k,AD、A′D′为高线.
(1)这两个相似三角形周长比为多少?
(2)这两个相似三角形面积比为多少?
 
分析:(1)由于△ABC∽△A′B′C′,
所以AB︰A′B′=BC︰B′C′=AC︰A′C′=k.
由合比的性质可知,
(AB+BC+AC)︰(A′B′+B′C′+A′C′)=k.
(2)由题意可知,
因为△ABD∽△A′B′D′,
所以AB︰A′B′=AD︰A′D′=k.
因此可得,
△ABC的面积︰△A′B′C′的面积
=(AD·BC)︰(A′D′·B′C′)=k2.
【归纳总结】相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.
【教学说明】通过这两个问题,引导学生通过合情推理,得出结论.学生可以通过合作交流,找出解决问题的方法.
三、运用新知,深化理解
1.见教材P86例9、P88例11、例12.
2.已知△ABC∽△A′B′C′,BD和B′D′是它们的对应中线,且ACA′C′=32,B′D′=4,则BD的长为____.
分析:因为△ABC∽△A′B′C′,BD和B′D′是它们的对应中线,根据对应中线的比等于相似比,BDB′D ′=ACA′C′,即BD4=32,∴BD=6.
【答案】6
3.在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D,如果△ABC的周长是16,面积是12,那么△DEF的周长、面积依次为(  )
A.8,3   B.8,6   C.4,3   D.4,6
分析:根据相似三角形周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方可得周长为8,面积为3,所以选A.
【答案】A
4.已知△ABC∽△A′B′C′且S△ABC∶S△A′B′C′=1∶2,则AB∶A′B′=________.
分析:根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可求AB∶A′B′=1∶2.
【答案】1∶2
5. 把一个三角形改做成和它相似的三角形,如果面积缩小到原来的12,那么边长应缩小到原来的____.
分析:根据面积比等于相似比的平方可得相似比为22,所以边长应缩小到原来的22.
【答案】22
6.如图,CD 是Rt△ABC的斜边AB上的高.
(1)则图中有几对相似三角形;
(2)若AD=9cm,CD=6cm,求BD;
(3)若AB=25cm,BC=15cm,求BD.
 
解:(1)∵CD⊥AB,
∴∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°.
在△ADC和△ACB中,
∠ADC=∠ACB=90°,∠A=∠A,
∴△ADC∽△ACB,
同理可知,△CDB∽△ACB.
∴△ADC∽△CDB.所以图中有三对相似三角形.
(2)∵△ACD∽△CBD,∴ADCD=CDBD,
即96=6BD,∴BD=4cm.
(3)∵△CBD∽△ABC,∴BCBA=BDBC,∴1525=BD15,
∴BD=15×1525=9cm.
7.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.
(1)求证:△CDF∽△BGF;
(2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交A D于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.
 
(1)证明:∵在梯形ABCD中,AB∥CD,
∴∠CDF=∠FGB,∠DCF=∠GBF,
∴△CDF∽△BGF.
(2)由(1)知△CDF∽△BGF,
又F是BC的中点,∴BF=FC,
∴△CDF≌△BGF,
∴DF=FG,CD=BG.
又∵EF∥CD,AB∥CD,
∴EF∥AG,得2EF=AB+BG.
.∴BG=2EF-AB=2×4-6=2,
∴CD=BG=2cm.
8.已知△ABC的三边长分别为5、12、13,与其相似的△A′B′C′的最大边长为26,求△A′B′C′的面积S.
分析:由△ABC的三边长可以判断出△ABC为直角三角形,又因为△ABC∽△A′B′C′,所以△A′B′C′也是直角三角形,那么由△A′B′C′的最大边长为26,可以求出相似比,从而求出△A′B′C′的两条直角边长,再求得△A′B′C′的面积.
解:设△ABC的三边依次为:
BC=5,AC=12,AB=13,
∵AB2=BC2+AC2,∴∠C=90°.
又∵△ABC∽△A′B′C′,∴∠C′=∠C=90 °.
BCB′C′=ACA′C′=ABA′B′=1326=12,
又BC=5,AC=12,
∴B′C′=10,A′C′=24.
∴S=12A′C′×B′C′=12×24×10=120.
9.(1)已知x2=y3=z5,且3x+4z-2y=40.求x,y,z的值;
(2)已知:两相似三角形对应高的比为3∶10,且这两个三角形的周长差为560cm,求它们的周长.
分析:(1)用同一个字母k表示出x,y,z.再根据已知条件列方程求得k的值,从而进行求解;
(2)根据相似三角形周长的比等于对应高的比,求得周长比,再根据周长差进行求解.
解:(1)设x2=y3=z5=k,那么x=2k,y=3k,z=5k,由于3x+4z-2y=40,
∴6k+20k-6k=40,
∴k=2,∴x=4,y=6,z=10.
(2)设一个三角形周长为Ccm,
则另一个三角形周长为(C+560)cm,
则CC+560=310,
∴C=240,C+560=800,
即它们的周长为240cm,800cm.
【教学说明】通过例题的拓展延伸,体会类比的数学思想,培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的习惯,提高分析问题和解决问题的能力.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业:教材“习题3.4”中第6、7、9题.
教学反思
本节的主要内容是导出相似三角形的性质定理,并进行初步运用,让学生经历相似三角形性质探索的过程,提高数学思考、分析和探究活动的能力,体会相似三角形中的变量与不变量,体会其中蕴涵的数学思想.

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