2018版中考数学2.2一元二次方程创新导向

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2018版中考数学2.2一元二次方程创新导向

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§2.2 一元二次方程
 

一、选择题
1.(原创题)若a是方程x2-x-1=0的一个根,则-a3+2a+2 015的值为(  )
A.2 015   B.2 014   C.2 013   D.-2 015
解析 ∵a是方程x2-x-1=0的一个根,∴a2-a-1=0.∴a2=a+1,a2-a=1.∴-a3+2a+2 015=-a•a2+2a+2 015=-a•(a+1)+2a+2 015=-a2-a+2a+2 015=-a2+a+2 015=-(a2-a)+2 015=2 014.故选B.
答案 B
2.(原创题)三角形的两边分别为2和6,第三边是方程x2-10x+21=0的解,则第三边的长为    (  )
A.7   B.3   C.7或3   D.无法确定
解析 原方程可变形为x2-10x+25-4=0,即(x-5)2-4=0.因式分解,得(x-5+2)(x-5-2)=0.∴x-3=0或x-7=0,即x1=3,x2=7.根据三角形三边的关系,第三边还应满足6-2<x<6+2,即4<x<8.所以第三边的长x=7.故选A.
答案 A
3.(改编题)方程x2-bx+2=0有一个根是1,则方程的另一个根是 (  )
A.1   B.2   C.3   D.12
解析 把x=1代入原方程得1-b+2=0,∴b=3,∴原方程为x2-3x+2=0,解得x1=1,x2=2.
答案 B
4.(改编题)方程x(x-5)=0的根是   (  )
A.x=0    B.x=5
C.x1=0,x2=5    D.x1=0,x2=-5
解析 本题考查一元二次方程的解法,应采用因式分解法.∵x(x-5)=0,∴x=0或x-5=0,即x1=0,x2=5.故选C.
答案 C
5.(改编题)如图是某月的日历表,在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6,7,8,13,14,15,20,21,22).若圈出的9个数中,最大数与最小数的积为192,则这9个数的和为  (  )
 
A.32   B.126   C.135   D.144
解析 根据日历表可以得出,圈出的9个数,最大数与最小数的差为16.设最小数为x,则最大数为x+16,根据题意,得x(x+16)=192,解得x1=8,x2=-24(不合题意舍去),故这九个数为8,9,10,15,16,17,22,23,24,这9个数的和为:8+9+10+15+16+17+22+23+24=144.故选D.
答案 D
6.(原创题)若反比例函数y=kx与一次函数y=x+2的图象没有交点,则k的值可以是    (  )
A.-2   B.-1   C.1   D.2
解析 从“形”上看两个函数图象没有交点,反映到“数”上就是组成的方程或方程组无解.∵反比例函数y=kx与一次函数y=x+2的图象没有交点,∴y=kx①y=x+2②无解,即kx=x+2无解,整理得x2+2x-k=0,∴Δ=4+4k<0,解得k<-1,四个选项中只有-2<-1,所以只有A符合条件.
答案 A


二、填空题
7.(原创题)已知方程x2+4x+n=0可以配方成(x+m)2=3,则(m-n)2 014=________.
解析 ∵(x+m)2=3,∴x2+2mx+m2-3=0.
∴2m=4,n=m2-3.∴m=2,n=1.
∴(m-n)2 014=(2-1)2 014=1.
答案 1
8.(改编题)若关于x的方程ax2+2(a+2)x+a=0有实数解,那么实数a的取值范围是________.
解析 当ax2+2(a+2)x+a=0是一元二次方程即a≠0时,Δ=4(a+2)2-4a2≥0,解得a≥-1且a≠0;当a=0时,原方程可化为4x=0,是一元一次方程,有实数解;所以本题答案为a≥-1.
答案 a≥-1
9.(原创题)如果m,n是两个不相等的实数,且满足m2-2m=1,n2-2n=1,那么m+n-mn=________.
解析 ∵m2-2m=1,即m2-2m-1=0,∴可以把m看作是方程x2-2x-1=0的根.∵n2-2n=1,即n2-2n-1=0,∴可以把n看作是方程x2-2x-1=0的根.∴m,n是方程x2-2x-1=0的两个不相等的实数根.∴m+n=2,mn=-1.∴m+n-mn=2-(-1)=3.
答案 3
10.(原创题)若a,b是一元二次方程x(x-2)=x-2的两根,且点A(-a,-b)是反比例函数y=kx图象上的一个点.若自点A向两坐标轴作垂线,两垂线与坐标轴构成的矩形的面积是________.
解析 解方程x(x-2)=x-2,得x1=1,x2=2,即a=1,b=2或a=2,b=1.把(-1,-2)或(-2,-1)代入y=kx都可以得出k=2,∴所求矩形的面积为2.
答案 2


三、解答题
11.(原创题)已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a,b,c分别为△ABC三边的长.
(1)如果x=-1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(3)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.
解 (1)△ABC是等腰三角形;
理由:∵x=-1是方程的根,
∴(a+c)×(-1)2-2b+(a-c)=0,
∴a+c-2b+a-c=0,
∴a-b=0,∴a=b,
∴△ABC是等腰三角形;
(2)∵方程有两个相等的实数根,
∴(2b)2-4(a+c)(a-c)=0,
∴4b2-4a2+4c2=0,∴a2=b2+c2,
∴△ABC是直角三角形;
(3)当△ABC是等边三角形时,
∴(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,可整理为:
2ax2+2ax=0,
∴x2+x=0,解得:x1=0,x2=-1.

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