2017中考数学一轮复习-二次函数图像与性质学案

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2017中考数学一轮复习-二次函数图像与性质学案

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w.5 Y k J.cOM 2017年中考数学一轮复习第14讲《二次函数图像与性质》
【考点解析】
知识点一、求二次函数图象的顶点坐标
【例题】(2016河南)已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点,该抛物线的顶点坐标是 (1,4) .
【考点】二次函数的性质;二次函数图象上点的坐标特征.
【分析】把A、B的坐标代入函数解析式,即可得出方程组,求出方程组的解,即可得出解析式,化成顶点式即可.
【解答】解:∵A(0,3),B(2,3)是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点,
∴代入得: ,
解得:b=2,c=3,
∴y=﹣x2+2x+3
=﹣(x﹣1)2+4,
顶点坐标为(1,4),
故答案为:(1,4).
【点评】本题考查了二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征的应用,能求出函数的解析式是解此题的关键.
【变式】
抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是  .
【答案】(1,2).
【解析】已知抛物线的解析式是一般式,用配方法转化为顶点式,根据顶点式的坐标特点,直接写出顶点坐标.
试题解析:∵y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=(x﹣1)2+2,
∴抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是(1,2).
知识点二、二次函数图象的增减性及其其它性质
【例题】(2015江苏常州)已知二次函数 ,当x>1时,y随x的增大而增大,而m的取值范围是(  )
A.       B.       C.       D.
【答案】D.
【分析】根据二次函数的性质即可做出判断.
【解析】抛物线的对称轴为直线 ,∵当x>1时,y的值随x值的增大而增大,∴ ,解得: .故选D.
【点评】本题考查了二次函数的性质,能正确地判断出确定出对称轴是解题的关键.
【变式】
(2016•鄂州)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴正半轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,对称轴为直线x=2,且OA=OC,则下列结论:
①abc>0;②9a+3b+c<0;③c>﹣1;④关于x的方程ax2+bx+c(a≠0)有一个根为﹣
其中正确的结论个数有(  )
 
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【分析】由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y轴的交点可分别判断出a、b、c的符号,从而可判断①;由图象可知当x=3时,y<0,可判断②;由OA=OC,且OA<1,可判断③;把﹣ 代入方程整理可得ac2﹣bc+c=0,结合③可判断④;从而可得出答案.
【解答】解:
由图象开口向下,可知a<0,
与y轴的交点在x轴的下方,可知c<0,
又对称轴方程为x=2,所以﹣ >0,所以b>0,
∴abc>0,故①正确;
由图象可知当x=3时,y>0,
∴9a+3b+c>,故②错误;
由图象可知OA<1,
∵OA=OC,
∴OC<1,即﹣c<1,
∴c>﹣1,故③正确;
假设方程的一个根为x=﹣ ,把x=﹣ 代入方程可得 ﹣ +c=0,
整理可得ac﹣b+1=0,
两边同时乘c可得ac2﹣bc+c=0,
即方程有一个根为x=﹣c,
由②可知﹣c=OA,而当x=OA是方程的根,
∴x=﹣c是方程的根,即假设成立,故④正确;
综上可知正确的结论有三个,
故选C.
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质.熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程、不等式的关系是解题的关键.特别是利用好题目中的OA=OC,是解题的关键.
知识点三  二次函数的对称轴 【例题】(2015湖南怀化)二次函数y= +2x的顶点坐标为         ,对称轴是直线        .
【答案】(-1,-1);直线x=-1.
【分析】将二次函数配成顶点式,然后得出顶点坐标和对称轴.
【解析】y= +2x= -1,从而得出抛物线的顶点坐标(-1,-1);对称轴直线x=-1.
【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标,根据对于函数图象的描述能够理解函数的解析式的特点,是解决本题的关键.
【变式】
(2016•四川南充)抛物线y=x2+2x+3的对称轴是(  )   
A.直线x=1 B.直线x=﹣1 C.直线x=﹣2 D.直线x=2
【分析】先把一般式化为顶点式,然后根据二次函数的性质确定抛物线的对称轴方程.
【解答】解:∵y=x2+2x+3=(x+1)2+2,
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1.
故选B.   
【点评】本题考查了二次函数的性质:对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它的顶点坐标是(﹣ , ),对称轴为直线x=﹣ .
知识点四、二次函数的最大(小)值
【例题】(2016•长沙)已知抛物线y=ax2+bx+c(b>a>0)与x轴最多有一个交点,现有以下四个结论:
①该抛物线的对称轴在y轴左侧;
②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根;
③a﹣b+c≥0;
④ 的最小值为3.
其中,正确结论的个数为(  )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【分析】从抛物线与x轴最多一个交点及b>a>0,可以推断抛物线最小值最小为0,对称轴在y轴左侧,并得到b2﹣4ac≤0,从而得到①②为正确;由x=﹣1及x=﹣2时y都大于或等于零可以得到③④正确.
【解答】解:∵b>a>0
∴﹣ <0,
所以①正确;
∵抛物线与x轴最多有一个交点,
∴b2﹣4ac≤0,
∴关于x的方程ax2+bx+c+2=0中,△=b2﹣4a(c+2)=b2﹣4ac﹣8a<0,
所以②正确;
∵a>0及抛物线与x轴最多有一个交点,
∴x取任何值时,y≥0
∴当x=﹣1时,a﹣b+c≥0;
所以③正确;
当x=﹣2时,4a﹣2b+c≥0
a+b+c≥3b﹣3a
a+b+c≥3(b﹣a)
 ≥3
所以④正确.
故选:D.
【点评】本题考查了二次函数的解析式与图象的关系,解答此题的关键是要明确a的符号决定了抛物线开口方向;a、b的符号决定对称轴的位置;抛物线与x轴的交点个数,决定了b2﹣4ac的符号.
【变式】
(2016•天津)已知二次函数y=(x﹣h)2+1(h为常数),在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为(  )
A.1或﹣5 B.﹣1或5 C.1或﹣3 D.1或3
【分析】由解析式可知该函数在x=h时取得最小值1、x>h时,y随x的增大而增大、当x<h时,y随x的增大而减小,根据1≤x≤3时,函数的最小值为5可分如下两种情况:①若1≤x≤3<h,当x=3时,y取得最小值5;②若1≤x≤3<h,当x=3时,y取得最小值5,分别列出关于h的方程求解即可.
【解答】解:∵当x>h时,y随x的增大而增大,当x<h时,y随x的增大而减小,
∴①若h<1≤x≤3,x=1时,y取得最小值5,
可得:(1﹣h)2+1=5,
解得:h=﹣1或h=3(舍);
②若1≤x≤3<h,当x=3时,y取得最小值5,
可得:(3﹣h)2+1=5,
解得:h=5或h=1(舍).
综上,h的值为﹣1或5,
故选:B.
【点评】本题主要考查二次函数的性质和最值,根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键.
知识点五、二次函数图象与系数的关系
【例题】(2016•资阳)已知二次函数y=x2+bx+c与x轴只有一个交点,且图象过A(x1,m)、B(x1+n,m)两点,则m、n的关系为(  )
A.m= n B.m= n C.m= n2D.m= n2
【分析】由“抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点”推知x=﹣ 时,y=0.且b2﹣4c=0,即b2=4c,其次,根据抛物线对称轴的定义知点A、B关于对称轴对称,故A(﹣ ﹣ ,m),B(﹣ + ,m);最后,根据二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论.
【解答】解:∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点,
∴当x=﹣ 时,y=0.且b2﹣4c=0,即b2=4c.
又∵点A(x1,m),B(x1+n,m),
∴点A、B关于直线x=﹣ 对称,
∴A(﹣ ﹣ ,m),B(﹣ + ,m),
将A点坐标代入抛物线解析式,得m=(﹣ ﹣ )2+(﹣ ﹣ )b+c,即m= ﹣ +c,
∵b2=4c,
∴m= n2,
故选D.
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题,根据题意得出抛物线的对称轴方程是解答此题的关键.
【变式】
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,给出下列四个结论:①4ac﹣b2<0;②4a+c<2b;③3b+2c<0;④m(am+b)+b<a(m≠﹣1),其中正确结论的个数是(  )
 
  A.4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】B
【解析】
试题分析:∵抛物线和x轴有两个交点,
∴b2﹣4ac>0,
∴4ac﹣b2<0,∴①正确;
∵对称轴是直线x﹣1,和x轴的一个交点在点(0,0)和点(1,0)之间,
∴抛物线和x轴的另一个交点在(﹣3,0)和(﹣2,0)之间,
∴把(﹣2,0)代入抛物线得:y=4a﹣2b+c>0,
∴4a+c>2b,∴②错误;
∵把(1,0)代入抛物线得:y=a+b+c<0,
∴2a+2b+2c<0,
∵b=2a,
∴3b,2c<0,∴③正确;
∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1,
∴y=a﹣b+c的值最大,
即把(m,0)(m≠0)代入得:y=am2+bm+c<a﹣b+c,
∴am2+bm+b<a,
即m(am+b)+b<a,∴④正确;
即正确的有3个,
故选B.
知识点六、二次函数图象的平移
【例题】(2015黑龙江牡丹江)抛物线y=3x2+2x﹣1向上平移4个单位长度后的函数解析式为(  ).
A.y=3x2+2x﹣5            B.y=3x2+2x﹣4
C.y=3x2+2x+3             D.y=3x2+2x+4
【答案】C.
【分析】利用平移规律“上加下减”即可得出平移后的抛物线解析式.
【解析】利用平移规律“上加下减”,抛物线y=3x2+2x﹣1向上平移4个单位长度,解析式中常数项加4,所以是y=3x2+2x﹣1+4=3x2+2x+3,故选C.
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换:由于抛物线平移后的形状不变,故a不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式.
【变式】
(2016•山东省滨州市•3分)在平面直角坐标系中,把一条抛物线先向上平移3个单位长度,然后绕原点选择180°得到抛物线y=x2+5x+6,则原抛物线的解析式是(  )
A.y=﹣(x﹣)2﹣  B.y=﹣(x+)2﹣  C.y=﹣(x﹣)2﹣ D.y=﹣(x+)2+
【考点】二次函数图象与几何变换.
【分析】先求出绕原点旋转180°的抛物线解析式,求出向下平移3个单位长度的解析式即可.
【解答】解:∵抛物线的解析式为:y=x2+5x+6,
∴绕原点选择180°变为,y=﹣x2+5x﹣6,即y=﹣(x﹣)2+,
∴向下平移3个单位长度的解析式为y=﹣(x﹣)2+﹣3=﹣(x﹣)2﹣ .
故选A.
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键.
【典例解析】
【例题1】(2016•舟山)二次函数y=﹣(x﹣1)2+5,当m≤x≤n且mn<0时,y的最小值为2m,最大值为2n,则m+n的值为(  )
A.  B.2 C.  D.
【分析】结合二次函数图象的开口方向、对称轴以及增减性进行解答即可.
【解答】解:二次函数y=﹣(x﹣1)2+5的大致图象如下:
 .
①当m≤0≤x≤n<1时,当x=m时y取最小值,即2m=﹣(m﹣1)2+5,
解得:m=﹣2.
当x=n时y取最大值,即2n=﹣(n﹣1)2+5,
解得:n=2或n=﹣2(均不合题意,舍去);
②当当m≤0≤x≤1≤n时,当x=m时y取最小值,即2m=﹣(m﹣1)2+5,
解得:m=﹣2.
当x=1时y取最大值,即2n=﹣(1﹣1)2+5,
解得:n= ,
所以m+n=﹣2+ = .
故选:D.
【点评】本题考查了二次函数的最值问题,二次函数的增减性,根据函数解析式求出对称轴解析式是解题的关键.
【例题2】(2016•兰州)点P1(﹣1,y1),P2(3,y2),P3(5,y3)均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是(  )
A.y3>y2>y1B.y3>y1=y2C.y1>y2>y3D.y1=y2>y3
【分析】根据函数解析式的特点,其对称轴为x=1,图象开口向下,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小,据二次函数图象的对称性可知,P1(﹣1,y1)与(3,y1)关于对称轴对称,可判断y1=y2>y3.
【解答】解:∵y=﹣x2+2x+c,
∴对称轴为x=1,
P2(3,y2),P3(5,y3)在对称轴的右侧,y随x的增大而减小,
∵3<5,
∴y2>y3,
根据二次函数图象的对称性可知,P1(﹣1,y1)与(3,y1)关于对称轴对称,
故y1=y2>y3,
故选D.
【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系,同时考查了函数的对称性及增减性.
【例题3】(2016广西南宁3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函数y= x的图象如图所示,则方程ax2+(b﹣ )x+c=0(a≠0)的两根之和(  )
 
A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.不能确定
【考点】抛物线与x轴的交点.
【分析】设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,由二次函数的图象可知x1+x2>0,a>0,设方程ax2+(b﹣ )x+c=0(a≠0)的两根为a,b再根据根与系数的关系即可得出结论.
【解答】解:设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,
∵由二次函数的图象可知x1+x2>0,a>0,
∴﹣ >0.
设方程ax2+(b﹣ )x+c=0(a≠0)的两根为a,b,则a+b=﹣ =﹣ + ,
∵a>0,
∴ >0,
∴a+b>0.
故选C.
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点,熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键.
【例题4】(2016•四川攀枝花)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)图象的顶点为D,其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3,则下列结论正确的是(  )
 
A.2a﹣b=0
B.a+b+c>0
C.3a﹣c=0
D.当a= 时,△ABD是等腰直角三角形
【考点】二次函数图象与系数的关系.
【分析】由于抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1,3,得到对称轴为直线x=1,则﹣ =1,即2a+b=0,得出,选项A错误;
当x=1时,y<0,得出a+b+c<0,得出选项B错误;
当x=﹣1时,y=0,即a﹣b+c=0,而b=﹣2a,可得到a与c的关系,得出选项C错误;
由a= ,则b=﹣1,c=﹣ ,对称轴x=1与x轴的交点为E,先求出顶点D的坐标,由三角形边的关系得出△ADE和△BDE都为等腰直角三角形,得出选项D正确;即可得出结论.
【解答】解:∵抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1,3,
∴抛物线的对称轴为直线x=1,则﹣ =1,
∴2a+b=0,
∴选项A错误;
∴当自变量取1时,对应的函数图象在x轴下方,
∴x=1时,y<0,则a+b+c<0,
∴选项B错误;
∵A点坐标为(﹣1,0),
∴a﹣b+c=0,而b=﹣2a,
∴a+2a+c=0,
∴3a+c=0,
∴选项C错误;
当a= ,则b=﹣1,c=﹣ ,对称轴x=1与x轴的交点为E,如图,
∴抛物线的解析式为y= x2﹣x﹣ ,
把x=1代入得y= ﹣1﹣ =﹣2,
∴D点坐标为(1,﹣2),
∴AE=2,BE=2,DE=2,
∴△ADE和△BDE都为等腰直角三角形,
∴△ADB为等腰直角三角形,
∴选项D正确.
故选D.
 
【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系:当a>0,抛物线开口向上;抛物线的对称轴为直线x=﹣ ;抛物线与y轴的交点坐标为(0,c).
【中考热点】
热点1:(2016•常德)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①b<0;②c>0;③a+c<b;④b2﹣4ac>0,其中正确的个数是(  )
 
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】由二次函数的开口方向,对称轴0<x<1,以及二次函数与y的交点在x轴的上方,与x轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可.
【解答】解:∵二次函数的开口向下,与y轴的交点在y轴的正半轴,
∴a<0,c>0,故②正确;
∵0<﹣ <1,
∴b>0,故①错误;
当x=﹣1时,y=a﹣b+c<0,
∴a+c<b,故③正确;
∵二次函数与x轴有两个交点,
∴△=b2﹣4ac>0,故④正确
正确的有3个,
故选:C.
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小:当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右.(简称:左同右异)③常数项c决定抛物线与y轴交点. 抛物线与y轴交于(0,c).
热点2:(2016贵州毕节3分)一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(  )
A.  B.  C.  D.
【考点】二次函数的图象;一次函数的图象.
【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负,再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致.
【解答】解:A、由抛物线可知,a<0,由直线可知,故本选项错误;
B、由抛物线可知,a>0,x=﹣ >0,得b<0,由直线可知,a>0,b>0,故本选项错误;
C、由抛物线可知,a<0,x=﹣ <0,得b<0,由直线可知,a<0,b<0,故本选项正确;
D、由抛物线可知,a<0,x=﹣ <0,得b<0,由直线可知,a<0,b>0故本选项错误.
故选C.
热点3:(2016•山东省菏泽市•3分)如图,一段抛物线:y=﹣x(x﹣2)(0≤x≤2)记为C1,它与x轴交于两点O,A1;将C1绕A1旋转180°得到C2,交x轴于A2;将C2绕A2旋转180°得到C3,交x轴于A3;…如此进行下去,直至得到C6,若点P(11,m)在第6段抛物线C6上,则m= ﹣1 .
 
【考点】二次函数图象与几何变换;抛物线与x轴的交点.
【专题】规律型.
【分析】将这段抛物线C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点,由旋转的性质可以知道C1与C2的顶点到x轴的距离相等,且OA1=A1A2,照此类推可以推导知道点P(11,m)为抛物线C6的顶点,从而得到结果.
【解答】解:∵y=﹣x(x﹣2)(0≤x≤2),
∴配方可得y=﹣(x﹣1)2+1(0≤x≤2),
∴顶点坐标为(1,1),
∴A1坐标为(2,0)
∵C2由C1旋转得到,
∴OA1=A1A2,即C2顶点坐标为(3,﹣1),A2(4,0);
照此类推可得,C3顶点坐标为(5,1),A3(6,0);
C4顶点坐标为(7,﹣1),A4(8,0);
C5顶点坐标为(9,1),A5(10,0);
C6顶点坐标为(11,﹣1),A6(12,0);
∴m=﹣1.
故答案为:﹣1.
【点评】本题考查了二次函数的性质及旋转的性质,解题的关键是求出抛物线的顶点坐标. 文 章
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