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| 第一章集合与简易逻辑章末总结 |
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| 作者：未知 资料来源：原创 点击数： 更新时间：2008-10-5 21:50:31 |
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第一章集合与简易逻辑章末总结
一、本章数学思想方法
1、分类讨论思想
（1）分类讨论问题已成为高考考查学生的知识与能力的热点问题，这是因为：其一，分类讨论问题一般都覆盖知识点较多，有利于知识面的考查；其二，解分类讨论问题需要有一定的分析能力，一定的分类思想与分类技巧，有利于对学生能力的考查；其三，分类思想与生产实践和高等数学都紧密相关。
（2）解分类讨论问题的实质：整体问题化为若干个部分来解决，化成部分后从而增加了题设的条件，从而将问题解答进行到底，这正是我们要分类讨论的根本原因。
（3）分类讨论要注意的几点：
(1)根据问题实际，做到分类不重不漏；
(2)熟练地掌握基础知识，做到融汇贯通，是解好分类讨论问题的前提条件；
(3)不断地的总结经验和教训，克服分类讨论中的主观性和盲目性；
(4)要注意简化或避免分类讨论，优化解题过程。
【例1】 已知三元素集 ， 且A=B，求x与y的值。
【解】∵0∈B，A=B，∴0∈A。又集合为3元素集，
∴x≠xy,∴x≠0．又0∈B，y∈B,∴y≠0，从而x－y=0，即x=y
这时 ， ，∴|x|=x2．则x=0(舍去)x=±1
当x=1时，A={1，1，0}舍去；当x=－1时，A={－1，1，0}，B={0，1，－1}满足A=B，∴x=y=－1．
【点评】 此题若开始就讨论x=0，xy=0，x－y=0则较繁琐，故先分析，后讨论．
【例2】 解不等式
分析 将定义区域，划分为三段，x<－9，－9≤x≤ ，x> 分别讨论．
解 (1)当x<－9时，－(x＋9)＋(3x－4)＋2＞0，2x－11＞0．x＞ ，与x＜－9矛盾，原不等式无解；
(2)当－9≤x≤ 时，(x＋9)＋(3x－4)＋2＞0，得x＞ ，∴ ＜x≤
(3)当x＞ 时，(x＋9)－(3x－4)＋2＞0得x＜ ，∴ ＜x＜
综上可得原不等式解集为{x│ ＜x＜ }
【点评】 例2中绝对值的存在是解题的一大障碍，因此必须去掉绝对值；如何去掉绝对值呢?须对问题的定义域划分区间，分类讨论，才能去掉绝对值符号，这正是解这个问题分类讨论的原因．分点的确定、划分区间至关重要，它是分类讨论解题关键一环．
2、数形结合思想
数形结合既是数学学科的重要思想，又是数学研究的常用方法．纵观历年高考试题。以数形结合的思想方法巧妙运用解决的问题比比皆是．
认清集合的特征，准确地转化为图形关系，借助图形使问题直观、具体、准确地得到解决，因此处理集合问题要重视数形结合思想方法的运用(如数轴、几何图形、文氏图等)．
【例3】 设全集为U，在下列条件中，是B A的充要条件的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（1） （2） （3） （4）
解析 本题可以利用文氏图，化抽象为直观，从而化难为易，选D．
【例4】 已知 ，
，且 ，求实数a的取值范围．
解： 方程组 有解
圆 与直线 有公共点
≤ ≤ ≤
故 的取值范围是
【点评】 将集合之间的运算转化为图形之间的运算，将集合语言转化为图形语言，然后用代数的方法解决．
3、集合思想：
集合问题与函数、方程、不等式以及与整个中学数学知识有关，要正确运用集合的思想将问题相互转化，特别是数与形、代数与几何之间的转化．
【例5】 已知 ， ，求 的充要条件．
【解】 考虑 的充要条件是方程组
至少有一个实数解，即 至少有一个非负根，
由△≥0得a≤5，又因为上述方程有两个负根的充要条件是 且 ，即
且 ，解得a<－3，于是这个方程至少有一个非负根的a的取值范围是－3≤a≤5，此即为所求的充要条件．
【点评】 本题从正面求 的充要条件比较困难，故首先将集合问题转化为方程的问题，然后用补集思想来加以解决．
二、课堂小结：
本章包括两个互相关联又相对独立的内容：集合、简易逻辑，这两个内容都是中学数学的基础．高考命题热点之一是集合，主要考查以下两方面：一是对集合基本概念的认识和理解的水平，如集合的表示法，元素与集合的关系，集合与集合的关系，集合的运算；第二是考查对集合知识的应用水平，如求不等式和不等式组的解集，列不等式或不等式组，解决相关问题．在考查集合知识的同时突出考查准确使用数学语言的能力和用数形结合的思想解决问题的能力．
高考命题热点之二是简易逻辑，主要考查两方面：一是命题的四种形式及原命题与逆否命题的等价性，二是充要条件的判定．在考查命题知识的同时主要考查命题转换、逻辑推理和分析问题的能力．
三、作业：《威州中学课时作业》
四、课后记：
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