《对数函数的图像和性质》教案

作者:佚名 教案来源:网络 点击数:    有奖投稿

《对数函数的图像和性质》教案

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《对数函数的图像和性质》教案


一、设计思路

指导思想

数学是一门具有严密推理能力和抽象概括能力的学科。本课以发展学生思维能力为核心,以学生发展为本,从本班学生的实际出发,培养学生观察能力,探究能力和抽象概括能力。

教材分析

本节课是学生在已知函数概念,并且已经掌握了函数的一般性质和简单的对数运算性质的基础上,进一步研究一类具体函数——对数函数,深化学生对函数概念的理解与认识,使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法,同时也为今后进一步学习函数的知识打下坚实的基础。因此,本节课的内容十分重要,它对知识起到了承上启下的作用。

 

教学目标

1、知识目标:理解对数函数的定义,掌握对数函数的图像、性质及其简单应用

2、能力目标:通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力,体会数形结合和分类讨论思想,以及从特殊到一般等学习数学的方法,并体会数形结合思想

3、情感目标: 通过学习,学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系,构建和谐的课堂氛围,培养学生勇于提问,善于探索的思维品质。

教学重点

 通过对对数函数图像的的探究,得出的对数函数图像及其性质,以及图像和性质的简单应用,是本节课的重点。

教学难点

1.     底数a的变化对对数函数图像及性质的有较大的影响,是本节课的一大难点。

2.     底数不同时,如何比较两个对数的大小是本节课的又一个难点

教学准备

    1、认真研究教材,与同课头老师探讨教学思路,听取有经验老师的意见!。

 2、精心制作PPT课件和几何画板课件辅助教学。

    3、安排学生预习。

 

教学过程设计

一.复习提问,引入新课

师:对数函数的概念?定义域是什么?

生:一般地,函数  ,(a>0且a≠1)叫做对数函数,其中定义域是(0,+∞)

师:对数的运算性质有哪些?

生:(1)  ;

(2)   ;

(3)  . 

(4)对数的换底公式 

 (  ,且  ,  ,且  ,   )

设计思路:从对数函数概念以及对运算性质引出课题,寻找学习最近发展区,为后面研究对数函数的图象和性质埋下了伏笔。

 


二. 性质探究

   1.探究 一:对数函数的图像

操作1:同指数函数一样,在学习了函数定义之后,我们要画函数的图象。

在同一坐标系内画出函数  和  的图象。

师:画函数都有哪些步骤呢?

生:列表、描点、连线。

(学生动手画图后,教师利用多媒体演示画图过程)

x

1/4

1/2

1

2

4

8

 

-2

-1

0

1

2

3

y=log0.5x

   2

 1

  0

 -1

-2

-3

 

 

 

 

操作2:继续在同一坐标系中,画出下列函数图像

 

设计思路:通过描点法在同一坐标画出不同底数函数的图像,既有利于培养学生的动手能力,又有利于学生感知对数函数的图像的变化规律。

2.探究二

师:老师布置学习任务和组织学生探究:

请各小组根据同一坐标系中所画底数不同时对数函数的图像,归纳总结出对数函数具有哪些性质?最终请各小组派代表起来汇报本小组的探究结果。

生:各小组积极探讨,把发现的性质归纳总结,记录下来。其中重点包含(但不限于)如下内容:

v  定义域与值域分别是什么

v  当底数a变化时,对数函数图像如何变化?

v  经过哪个定点?

v  y=logax与y=  图像有什么关系

v  函数的单调性?

v  函数的奇偶性?

v  函数值何时取正值,何时取负值?

 

设计思路:小组探究,有利于培养学生合作意识和团队精神;开放式的探究,更有利于培养学生观察能力以及发现问题,提出问题能力。

三. 成果展示

师:教师轮流要求各小组派代表展示本组所发现对数函数的所有性质,其它队员可以补充,并对学生的精彩回答加以肯定;如果发现了新问题,鼓励学生继续讨论。

生:

通过学生的观察、探究和发现,以及各组的成果展示,将对数函数的图像性质,归结总结如下(各性质尽可能由学生总结):

 

 

 

 

a>1

0<a<1

 

0


 

 

(1,0)


 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

定义域

(0,+∞);

值域

R

渐近线

图象都在y轴的右方,以作为渐近线

定点

图象都经过(1,0)点,    即x=1时,y=0

底数变化规律

在第一象限,图像从左向右,底数a增大

底数a逆时针增大

奇偶性

对数函数为非奇非偶函数

对称性

y=logax与y=log1/ax图像关于x轴对称

单调性

当a>1时,图象呈上升趋势,

为增函数

当0<a<1时,图像呈下降趋势,为减函数

正负性

当a>1时,若0<x<1,则y<0,若x>1,则y>0;

当0<a<1时,若0<x<1,

则y>0,若x>1,则y<0

 

师:通过几何画板软件,对部分性质进行验证。

设计思路:通过成果展示,培养学生的团队合作精神,以及抽象概括辐射能和口头表达能力!

 

探究三:判断下列各对数值的正负, 有什么规律?

 

值为正的有:     (1)(2)(3)(4)

值为负的有:      (5)(6)(7)(8)

师:根据上述探究,请学生总结规律!

规律总结:设a,b∈(0,1)∪(1,+∞),则logab与0的大小规律是:

(1)当a,b同时大于1或同小于1时, logab>0;

(2)当a,b一个大于1另一个小于1时, logab<0。

设计思路:进一步激发学生的问题意识和探索精神,培养学生的概括能力。

四. 性质应用

例1.  求下列函数的定义域:

(1) ; (2) ;.

分析:此题主要利用对数函数  的定义域(0,+∞)求解.

解:(1)由  >0得  ,∴函数  的定义域是 ;

(2)由 得  ,∴函数  的定义域是 ;

设计意图:加强学生对定义域的理解

 

例2:比较下列各组中两个数的大小:

(1)  ;               ;

  .

解:考查对数函数  ,因为它的底数2>1,所以它在(0,+∞)上是增函数,于是  .

考查对数函数  ,因为它的底数0<0.3<1,所以它在(0,+∞)上是减函数,于是  .

当 时, 在(0,+∞)上是增函数,于是 ;

当 时, 在(0,+∞)上是减函数,于是

 

练习1:比较下列各组对数的大小

 

(1)    log 27 与log 3 7 ;

(2)    

(3)  

(4)  log 3π 与log 2 0.8

 

 解:(1)、(2)如图log 27 >log 3 7,    

 

(3)log67>log66=1

        log76<log77=1

     ∴ log67>log76

(4)log3π>log31=0

            log20.8<log21=0

        ∴  log3π>log20.

归纳总结:比较两个对数式的大小的方法

a)  底数相同:可由对数函数的单调性直接进行判断.

b)  底数不同,真数相同:可用不同底时图像的高低性判断.(也可用换底公式)

c)  底数、真数都不相同:常借助1、0、-1等中间量进行比较 

d)  底数不确定时,必须讨论

e)  灵活运用公式,将等价转化后再比较

设计意图:加强学生对函数的图像及性质的的理解,并渗透数形结合思想。

 

五. 拓展提高

思考:在同一个坐标内分别作出下列函数图象

(1)y=2x 和y=log2x  (2)y=0.5x和y= log0.5x

 

    

 

师:从图象中你能发现两个函数的图象间有什么关系?

生:函数 y=ax与y=loga x图象关于y=x对称

师:推广,函数  y=f(x) 与反函数y=f-1(x)图象关于y=x对称

设计意图:拓展知识,进一步理解反函数的概念

六、课堂小结

1.正确理解对数函数的定义;

2.掌握对数函数的图象和性质;

3.能利用对数函数的性质解决有关问题。

 

4.比较两个对数式的大小关系的哪些方法。

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