高一数学下册《直线平面垂直的判定及其性质》知识点人教版

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高一数学下册《直线平面垂直的判定及其性质》知识点人教版

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高一数学下册《直线平面垂直的判定及其性质》知识点人教版

(1)创设情境

直线平面垂直的判定

直线平面垂直的判定

①请同学们观察图片,说出旗杆与地面、高楼的侧棱与地面的位置有什么关系?

②请把自己的数学书打开直立在桌面上,观察书嵴与桌面的位置有什么关系?

③请将①中旗杆与地面的位置关系画出相应的几何图形。

(2)观察归纳

①思考:一条直线与平面垂直时,这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系?

②多媒体演示:旗杆与它在地面上影子的位置变化。

③归纳出直线与平面垂直的定义及相关概念。

定义:如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作:l⊥α.

直线平面垂直的判定

直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足。

用符号语言表示为:

直线平面垂直的判定

(3)辨析(完成下列练习):

①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线就与这个平面垂直。

②若a⊥α,b

直线平面垂直的判定

α,则a⊥b。

在创设情境中,学生练习本上画图,教师针对学生出现的问题,如不直观、不标字母等加以强调,并指出这就叫直线与平面垂直,引出课题。

在多媒体演示时,先展示动画1使学生感受到旗杆AB所在直线与过点B的直线都垂直。再展示动画2使学生明确旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直,进而引导学生归纳出直线与平面垂直的定义。

直线平面垂直的判定

在辨析问题中,解释“无数”与“任何”的不同,并说明线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质,线线垂直与线面垂直可以相互转化,给出常用命题:

直线平面垂直的判定

2.直线与平面垂直的判定定理的探究

(1)设置问题情境

提出问题:学校广场上树了一根新旗杆,现要检验它是否与地面垂直,你有什么好办法?

(2)折纸试验

如图,请同学们拿出准备好的一块(任意)三角形的纸片,我们一起来做一个实验:过△ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上,(BD、DC与桌面接触).观察并思考:

直线平面垂直的判定

①折痕AD与桌面垂直吗?

②如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直?

③多媒体演示翻折过程。

(3)归纳直线与平面垂直的判定定理

①思考:由折痕AD⊥BC,翻折之后垂直关系,即AD⊥CD,AD⊥BD发生变化吗?由此你能得到什么结论?

②归纳出直线与平面垂直的判定定理。

定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。

直线平面垂直的判定

用符号语言表示为:

直线平面垂直的判定

在讨论实际问题时,学生同桌合作进行试验(将铁丝当旗杆,桌面当地面)后交流方案,如用直角三角板量一次,量两次等。教师不作点评,说明完成下面的折纸试验后就有结论。

在折纸试验中,学生会出现“垂直”与“不垂直”两种情况,引导这两类学生进行交流,根据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的原因。学生再次折纸,进而探究直线与平面垂直的条件,经过讨论交流,使学生发现只要保证折痕AD是BC边上的高,即AD⊥BC,翻折后折痕AD就与桌面垂直,再利用多媒体演示翻折过程,增强几何直观性。

在归纳直线与平面垂直的判定定理时,先让学生叙述结论,不完善的地方教师引导、补充完整,并结合“两条相交直线确定一个平面”的事实,简要说明直线与平面垂直的判定定理。然后,学生试用图形语言表述,练习本上画图,可能出现垂足与两相交直线交点重合的情况(如图),教师加以说明,同时给出符号语言表述。

直线平面垂直的判定

在理解直线与平面垂直的判定定理时,强调“两条”、“相交”缺一不可,并结合前面“检验旗杆与地面垂直”问题再进行确认。指出要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直,这充分体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想。

3.直线与平面垂直的判定定理的初步应用

(1)尝试练习:

求证:与三角形的两条边同时垂直的直线必与第三条边垂直。

直线平面垂直的判定

学生根据题意画图,将其转化为几何命题:不妨设

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请三位同学板演,其余同学在练习本上完成,师生共同评析,明确运用线面垂直判定定理时的具体步骤,防止缺少条件,同时指出:这为证明“线线垂直”提供了一种方法。

(2)尝试练习:如图,有一根旗杆AB高8m,它的顶端A挂有两条长10m的绳子,拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点(和旗杆脚不在同一条直线上)C、D。如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m,那么旗杆就和地面垂直.为什么?

直线平面垂直的判定

本题需要通过计算得到线线垂直。学生练习本上完成后,对照课本P69例1,完善自己的解题步骤。

(3)尝试练习:如图,已知a∥b,a⊥α,求证:b⊥α。

此题有一定难度,教师引导学生分析思路,可利用线面垂直的定义证,也可用判定定理证,提示辅助线的添法,学生练习本上完成,对照课本P69例2,完善自己的解题步骤。

直线平面垂直的判定

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