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子集、全集、补集·典型例题
能力素质
例1 判定以下关系是否正确
(2){1，2，3}＝{3，2，1}
(4)0∈{0}
分析 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个都是错误的．
说明：含元素0的集合非空．
例2 列举集合{1，2，3}的所有子集．
分析 子集中分别含1，2，3三个元素中的0个，1个，2个或者3个．
含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}；
含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{2，3}；
含有3个元素的子集有{1，2，3}．共有子集8个．
________．
分析 A中必含有元素a，b，又A是{a，b，c，d}真子集，所以满足条件的A有：{a，b}，{a，b，c}{a，b，d}．
答 共3个．
说明：必须考虑A中元素受到的所有约束．
[ ]
分析 作出4图形．
答 选C．
说明：考虑集合之间的关系，用图形解决比较方便．
点击思维
例5 设集合A＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，B＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，则下列关系式中正确的是
[ ]
分析 问题转化为求两个二次函数的值域问题，事实上
x＝5－4a＋a2＝(2－a)2＋1≥1，
y＝4b2＋4b＋2＝(2b＋1)2＋1≥1，所以它们的值域是相同的，因此A＝B．
答 选A．
说明：要注意集合中谁是元素．
M与P的关系是
[ ]
A．M＝ UP B．M＝P
分析 可以有多种方法来思考，一是利用逐个验证(排除)的方法；二是利用补集的性质：M＝ UN＝ U( UP)＝P；三是利用画图的方法．
答 选B．
说明：一题多解可以锻炼发散思维．
例7 下列命题中正确的是
[ ]
A． U( UA)＝{A}
分析 D选择项中A∈B似乎不合常规，而这恰恰是惟一正确的选择支．
是由这所有子集组成的集合，集合A是其中的一个元素．
∴A∈B．
答 选D．
说明：选择题中的选项有时具有某种误导性，做题时应加以注意．
例8 已知集合A＝{2，4，6，8，9}，B＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A的一个子集；若各元素都减2后，则变为B的一个子集，求集合C．
分析 逆向操作：A中元素减2得0，2，4，6，7，则C中元素必在其中；B中元素加2得3，4，5，7，10，则C中元素必在其中；所以C中元素只能是4或7．
答 C＝{4}或{7}或{4，7}．
说明：逆向思维能力在解题中起重要作用．
学科渗透
例9 设S＝{1，2，3，4}，且M＝{x∈S|x2－5x＋p＝0}，若 SM＝{1，4}，则p＝________．
分析 本题渗透了方程的根与系数关系理论，由于 SM＝{1，4}，
∴M＝{2，3}则由韦达定理可解．
答 p＝2×3＝6．
说明：集合问题常常与方程问题相结合．
例10 已知集合S＝{2，3，a2＋2a－3}，A＝{|a＋1|，2}， SA＝{a＋3}，求a的值．
S这个集合是集合A与集合 SA的元素合在一起“补成”的，此外，对这类字母的集合问题，需要注意元素的互异性及分类讨论思想方法的应用．
解 由补集概念及集合中元素互异性知a应满足
在(1)中，由①得a＝0依次代入②③④检验，不合②，故舍去．
在(2)中，由①得a＝－3，a＝2，分别代入②③④检验，a＝－3不合②，故舍去，a＝2能满足②③④．故a＝2符合题意．
说明：分类要做到不重不漏．
高考巡礼
[ ]
A．M＝N
D．M与N没有相同元素
分析 分别令k＝…，－1，0，1，2，3，…得
答 选C．
说明：判断两个集合的包含或者相等关系要注意集合元素的无序性
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