高一数学必修一期末复习资料整理(1-3章)

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高一数学必修一期末复习资料整理(1-3章)

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莲山 课件 w ww.5 Y
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高一数学必修一期末复习资料整理(1-3章)
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1.       集合的含义
2.       集合的中元素的三个特性:
(1)  元素的确定性如:世界上最高的山
(2)  元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3)  元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)  用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2)  集合的表示方法:列举法与描述法。
u       注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集) 记作:N
正整数集  N*或 N+   整数集Z  有理数集Q  实数集R
 
1)  列举法:{a,b,c……}
2)  描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。{xÎR| x-3>2} ,{x| x-3>2}
3)  语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
4)  Venn图:
4、集合的分类:
(1)  有限集   含有有限个元素的集合
(2)  无限集   含有无限个元素的集合
(3)  空集     不含任何元素的集合  例:{x|x2=-5}
 
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意: 有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A
2.“相等”关系:A=B  (5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设  A={x|x2-1=0}  B={-1,1}   “元素相同则两集合相等”
即:① 任何一个集合是它本身的子集。AÍA
②真子集:如果AÍB,且A¹ B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A)
③如果 AÍB, BÍC ,那么 AÍC
④ 如果AÍB  同时 BÍA 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
u       有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集
三、集合的运算
运算类型
交   集
并   集
补   集
定    义
由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A B(读作‘A交B’),即A B={x|x A,且x B}.
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作:A B(读作‘A并B’),即A B ={x|x A,或x B}).
设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)
S
A
记作 ,即
CSA=




 
 
 
S
A
性  
 
 
 

A A=A
A Φ=Φ
A B=B A
A B A
 A B B
A A=A
A Φ=A
A B=B A
A B A
A B B
(CuA)  (CuB)
= Cu (A B)
(CuA)  (CuB)
= Cu(A B)
A  (CuA)=U
A  (CuA)= Φ.
 
例题:
1.下列四组对象,能构成集合的是                                   (   )
A某班所有高个子的学生  B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数
2.集合{a,b,c }的真子集共有      个
3.若集合M={y|y=x2-2x+1,x R},N={x|x≥0},则M与N的关系是          .
4.设集合A= ,B= ,若A B,则 的取值范围是      
5.50名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有40人,化学实验做得正确得有31人,
两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有      人。
6. 用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M=               .
7.已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0}, 若B∩C≠Φ,A∩C=Φ,求m的值
 
 
 
二、函数的有关概念
1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.
注意:
1.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
   (3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零, 
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
u       相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致 (两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
2.值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
3. 函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 .
(2) 画法
A、  描点法:
B、  图象变换法
常用变换方法有三种
1)       平移变换
2)       伸缩变换
3)       对称变换
4.区间的概念
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间
(3)区间的数轴表示.
5.映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f(对应关系):A(原象) B(象)”
对于映射f:A→B来说,则应满足:
(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;
(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6.分段函数 
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.
补充:复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)  称为f、g的复合函数。
 
二.函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
(1)增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x12时,都有f(x1)2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x12 时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意:函数的单调性是函数的局部性质;
(2) 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法:
1 任取x1,x2∈D,且x12;
2 作差f(x1)-f(x2);
3 变形(通常是因式分解和配方);
4 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减”
注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
8.函数的奇偶性(整体性质)
(1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
(2).奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的步骤:
1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;
2确定f(-x)与f(x)的关系;
3作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.
注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 .
9、函数的解析表达式
(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
(2)求函数的解析式的主要方法有:
1)       凑配法
2)       待定系数法
3)       换元法
4)       消参法
10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)
1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值
2 利用图象求函数的最大(小)值
3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
例题:
1.求下列函数的定义域:
⑴         ⑵   
2.设函数 的定义域为 ,则函数 的定义域为_  _ 
3.若函数 的定义域为 ,则函数 的定义域是       
4.函数  ,若 ,则 =          
5.求下列函数的值域:
⑴             ⑵ 
(3)                (4)
6.已知函数 ,求函数 , 的解析式
7.已知函数 满足 ,则 =             。
8.设 是R上的奇函数,且当 时, ,则当 时 =  
   在R上的解析式为                      
9.求下列函数的单调区间:
 ⑴   ⑵   ⑶
10.判断函数 的单调性并证明你的结论.
11.设函数 判断它的奇偶性并且求证: .
 
 
第二章 基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
1.根式的概念:一般地,如果 ,那么 叫做 的 次方根,其中 >1,且 ∈ *.
u       负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作 。
当 是奇数时, ,当 是偶数时,
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定:

u       0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
3.实数指数幂的运算性质
(1) ·                                           ;
(2)                                              ;
(3)                                            .
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:一般地,函数 叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.
2、指数函数的图象和性质
a>1
0
定义域 R
定义域 R
值域y>0
值域y>0
在R上单调递增
在R上单调递减
非奇非偶函数
非奇非偶函数
函数图象都过定点(0,1)
函数图象都过定点(0,1)
 
 
 
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[a,b]上, 值域是 或 ;
(2)若 ,则 ; 取遍所有正数当且仅当 ;
(3)对于指数函数 ,总有 ;
二、对数函数
(一)对数
1.对数的概念:一般地,如果 ,那么数 叫做以 为底 的对数,记作: ( — 底数, — 真数, — 对数式)
说明:1 注意底数的限制 ,且 ;
2 ;
3 注意对数的书写格式.
两个重要对数:
1 常用对数:以10为底的对数 ;
2 自然对数:以无理数 为底的对数的对数 .
u       指数式与对数式的互化
            
幂值      真数
                 
= N = b
 

                  底数
           指数              对数
(二)对数的运算性质
如果 ,且 , , ,那么:
1 · + ;
2 - ;
3    .
注意:换底公式
  ( ,且 ; ,且 ; ).
利用换底公式推导下面的结论
(1) ;(2) .
(二)对数函数
1、对数函数的概念:函数 ,且 叫做对数函数,其中 是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
注意:1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如: ,  都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
2 对数函数对底数的限制: ,且 .
2、对数函数的性质:
a>1
0
定义域x>0
定义域x>0
值域为R
值域为R
在R上递增
在R上递减
 
函数图象都过定点(1,0)
函数图象都过定点(1,0)
 
(三)幂函数
1、幂函数定义:一般地,形如 的函数称为幂函数,其中 为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1);
(2) 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 上是增函数.特别地,当 时,幂函数的图象下凸;当 时,幂函数的图象上凸;
(3) 时,幂函数的图象在区间 上是减函数.在第一象限内,当 从右边趋向原点时,图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴,当 趋于 时,图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴.
例题:
1. 已知a>0,a 0,函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是       (  )
       
 
2.计算: ①          ;② =        ; =         ;
③   =       
3.函数y=log (2x2-3x+1)的递减区间为          
4.若函数 在区间 上的最大值是最小值的3倍,则a=      
5.已知 ,(1)求 的定义域(2)求使 的 的取值范围
 
第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数 ,把使 成立的实数 叫做函数 的零点。
2、函数零点的意义:函数 的零点就是方程 实数根,亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。
即:方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点.
3、函数零点的求法:
1 (代数法)求方程 的实数根;
2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点:
二次函数 .
(1)△>0,方程 有两不等实根,二次函数的图象与 轴有两个交点,二次函数有两个零点.
(2)△=0,方程 有两相等实根,二次函数的图象与 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
(3)△<0,方程 无实根,二次函数的图象与 轴无交点,二次函数无零点.
5.函数的模型
检验
收集数据
画散点图
选择函数模型
求函数模型
用函数模型解释实际问题
符合实际

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