高三数学下册《函数值域》知识点讲解

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高三数学下册《函数值域》知识点讲解

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高三数学下册《函数值域》知识点讲解

(1)配方法:

若函数为一元二次函数,则可以用这种方法求值域,关键在于正确化成完全平方式。

(2)换元法:

常用代数或三角代换法,把所给函数代换成值域容易确定的另一函数,从而得到原函数值域,如y=ax+b+_cx-d(a,b,c,d均为常数且ac不等于0)的函数常用此法求解。

(3)判别式法:

若函数为分式结构,且分母中含有未知数x,则常用此法。通常去掉分母转化为一元二次方程,再由判别式△0,确定y的范围,即原函数的值域

(4)不等式法:

借助于重要不等式a+bab(a0)求函数的值域。用不等式法求值域时,要注意均值不等式的使用条件一正,二定,三相等。

(5)反函数法:

若原函数的值域不易直接求解,则可以考虑其反函数的定义域,根据互为反函数的两个函数定义域与值域互换的特点,确定原函数的值域,如y=cx+d/ax+b(a0)型函数的值域,可采用反函数法,也可用分离常数法。

(6)单调性法:

首先确定函数的定义域,然后在根据其单调性求函数值域,常用到函数y=x+p/x(p0)的单调性:增区间为(-,-p)的左开右闭区间和(p,+)的左闭右开区间,减区间为(-p,0)和(0,p)

(7)数形结合法:

分析函数解析式表达的集合意义,根据其图像特点确定值域。

注意:

(1)用换元法求值域时,认真分析换元后变量的范围变化;用判别式法求函数值域时,一定要注意自变量x是否属于R。

(2)用不等式法求函数值域时,需要认真分析其等号能否成立;利用单调性求函数值域时,准确找出其单调区间是关键。分段函数的值域应分段分析,再取并集。

(3)不管用哪种方法求函数值域,都一定要先确定其定义域,这是求函数的重要环节。

练习题:

例:已知f(x+1)=x2;+1 ,f(x+1)的定义域为[0,2],求f(x)解析式和定义域

设x+1=t,则;x=t-1,那么用t表示自变量f的函数为:(也就是把x=t-1代入f(x+1)=x2;+1中)

f(t)=f(x+1)=(t-1)2;+1

=t2;-2t+1+1

=2;-2t+2

所以,f(t)=t2;-2t+2, 则f(x)=x2;-2x+2

或者用这样的方法——更直观:

令 f(x+1)=x2;+1 中的x=x-1,这样就更直观了,把x=x-1代入 f(x+1)=x2;+1,那么:

f(x)=f[(x-1)+1]=(x-1)2;+1

=x²-2x+1+1

=x²-2x+2

所以,f(x)=x2;-2x+2

而f(x)与f(t)必须x与t的取值范围相同,才是相同的函数,

由t=x+1,f(x+1)的定义域为[0,2],可知道:t∈[1,3]

f(x)=x2;-2x+2的定义域为:x∈[1,3]

综上所述,f(x)=x2;-2x+2(x∈[1,3]

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