第二章 2.3 2.3.1平面向量基本定理讲义

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第二章 2.3 2.3.1平面向量基本定理讲义

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w.5 Y k J.COm

2.3.1 平面向量基本定理
 
预习课本P93~94,思考并完成以下问题
(1)平面向量基本定理的内容是什么?
                                                                            
                                                                            
(2)如何定义平面向量基底?
                                                                            
                                                                            
(3)两向量夹角的定义是什么?如何定义向量的垂直?
                                                                            
                                                                            

[新知初探]
1.平面向量基本定理
条件 e1,e2是同一平面内的两个不共线向量
结论 这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2
基底 不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
[点睛] 对平面向量基本定理的理解应注意以下三点:①e1,e2是同一平面内的两个不共线向量;②该平面内任意向量a都可以用e1,e2线性表示,且这种表示是唯一的;③基底不唯一,只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底.
2.向量的夹角
条件 两个非零向量a和b
产生过程 
作向量 =a, =b,则∠AOB叫做向量a与b的夹角

范围 0°≤θ≤180°
特殊情况 θ=0° a与b同向
 θ=90° a与b垂直,记作a⊥b
 θ=180° a与b反向

[点睛] 当a与b共线同向时,夹角θ为0°,共线反向时,夹角θ为180°,所以两个向量的夹角的范围是0°≤θ≤180°.
[小试身手]
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)任意两个向量都可以作为基底.(  )
(2)一个平面内有无数对不共线的向量都可作为表示该平面内所有向量的基底.(  )
(3)零向量不可以作为基底中的向量.(  )
答案:(1)× (2)√ (3)√
2.若向量a,b的夹角为30°,则向量-a,-b的夹角为(  )
A.60°          B.30°
C.120°  D.150°
答案:B
3.设e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,以下各组向量中不能作为基底的是(  )
A.e1,e2  B.e1+e2,3e1+3e2
C.e1,5e2  D.e1,e1+e2
答案:B
4.在等腰Rt△ABC中,∠A=90°,则向量 , 的夹角为______.
答案:135°
 

 
用基底表示向量

[典例] 如图,在平行四边形ABCD中,设对角线 =a, =b,试用基底a,b表示 , .
[解] 法一:由题意知, = =12 =12a, = =12 =12b.
所以 = + = - =12a-12b,
 = + =12a+12b,
法二:设 =x, =y,则 = =y,
又 + = , - = ,则x+y=a,y-x=b,
所以x=12a-12b,y=12a+12b,
即 =12a-12b, =12a+12b.
 
用基底表示向量的方法
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量,基本方法有两种:一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止;另一种是通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解.
[活学活用]
如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,E,F分别是AD,BC边上的中点,且BC=3AD, =a, =b.试以a,b为基底表示 , , .
解:∵AD∥BC,且AD=13BC,
∴ =13 =13b.
∵E为AD的中点,
∴ = =12 =16b.
∵ =12 ,∴ =12b,
∴ = + +
=-16b-a+12b=13b-a,
 = + =-16b+13b-a=16b-a,
 = + =-( + )
=-( + )=-16b-a+12b
=a-23b.

 
向量夹角的简单求解
[典例] 已知|a|=|b|=2,且a与b的夹角为60°,则a+b与a的夹角是多少?a-b与a的夹角又是多少?
[解] 如图所示,作 =a, =b,且∠AOB=60°.
以 , 为邻边作平行四边形OACB,则 =a+b, =a-b.
因为|a|=|b|=2,所以平行四边形OACB是菱形,又∠AOB=60°,所以 与 的夹角为30°, 与 的夹角为60°.
即a+b与a的夹角是30°,a-b与a的夹角是60°.

 
求两个向量夹角的方法
求两个向量的夹角,关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合,根据向量夹角的概念确定夹角,再依据平面图形的知识求解向量的夹角.过程简记为“一作二证三算”.

[活学活用]
如图,已知△ABC是等边三角形.
(1)求向量 与向量 的夹角;
(2)若E为BC的中点,求向量 与 的夹角.
解:(1)∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=60°.
如图,延长AB至点D,使AB=BD,则 = ,
∴∠DBC为向量 与 的夹角.
∵∠DBC=120°,
∴向量 与 的夹角为120°.
(2)∵E为BC的中点,∴AE⊥BC,
∴ 与 的夹角为90°.
 
平面向量基本定理的应用
[典例] 如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP∶PM与BP∶PN.
 
[解] 设 =e1, =e2,
则 = + =-3e2-e1, = + =2e1+e2.
∵A,P,M和B,P,N分别共线,
∴存在实数λ,μ使得 =λ
=-λe1-3λe2,
 =μ =2μe1+μe2.
故 = + = - =(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.
而 = + =2e1+3e2,由平面向量基本定理,
得λ+2μ=2,3λ+μ=3,解得λ=45,μ=35.
∴ =45 , =35 ,
∴AP∶PM=4∶1,BP∶PN=3∶2.
[一题多变]
1.[变设问]在本例条件下,若 =a, =b,试用a,b表示 ,
解:由本例解析知BP∶PN=3∶2,则 =25 ,
 = + = +25 =b+25( - )
=b+45a-25b=35b+45a.
2.[变条件]若本例中的点N为AC的中点,其它条件不变,求AP∶PM与BP∶PN.
解:如图,设 =e1, =e2,
则 = + =-2e2-e1, = + =2e1+e2.
∵A,P,M和B,P,N分别共线,
∴存在实数λ,μ使得 =λ
=-λe1-2λe2,
 =μ =2μe1+μe2.
故 = + = - =(λ+2μ)e1+(2λ+μ)e2.
而 = + =2e1+2e2,由平面向量基本定理,
得λ+2μ=2,2λ+μ=2,解得λ=23,μ=23.
∴ =23 , =23 ,
∴AP∶PM=2,BP∶PN=2.
 
若直接利用基底表示向量比较困难,可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式,然后利用已知条件及相关结论,从不同方向和角度表示出目标向量( 一般需建立两个不同的向量表达式),再根据待定系数法确定系数,建立方程或方程组,解方程或方程组即得.

 
层级一 学业水平达标
1.已知ABCD中∠DAB=30°,则 与 的夹角为(  )
A.30°         B.60°
C.120°  D.150°
解析:选D 如图, 与 的夹角为∠ABC=150°.
 
2.设点O是ABCD两对角线的交点,下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是(  )
① 与 ;② 与 ;③ 与 ;④ 与 .
A.①②  B.①③
C.①④  D.③④
解析:选B 寻找不共线的向量组即可,在ABCD中, 与 不共线, 与 不共线;而 ∥ , ∥ ,故①③可作为基底.
3.若AD是△ABC的中线,已知 =a, =b,则以a,b为基底表示 =(  )
A.12(a-b)   B.12(a+b)
C.12(b-a)   D.12b+a
解析:选B 如图,AD是△ABC的中线,则D为线段BC的中点,从而 = ,即 - = - ,从而 =12( + )=12(a+b).
4.在矩形ABCD中,O是对角线的交点,若 =e1, =e2,则 =(  )
A.12(e1+e2)   B.12(e1-e2)
C.12(2e2-e1)   D.12(e2-e1)
解析:选A 因为O是矩形ABCD对角线的交点, =e1, =e2,所以 =12( + )=12(e1+e2),故选A.
5.(全国Ⅰ卷)设D为△ABC所在平面内一点, =3 ,则(  )
A. =-13 +43
B. =13 -43
C. =43 +13
D. =43 -13
解析:选A 由题意得 = + = +13 = +13 -13 =-13 +43 .
6.已知向量a,b是一组基底,实数x,y满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,则x-y的值为______.
解析:∵a,b是一组基底,∴a与b不共线,
∵(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,
∴3x-4y=6,2x-3y=3,解得x=6,y=3,∴x-y=3.
答案:3
7.已知e1,e2是两个不共线向量,a=k2e1+1-5k2e2与b=2e1+3e2共线,则实数k=______.
解析:由题设,知k22=1-5k23,∴3k2+5k-2=0,
解得k=-2或13.
答案:-2或13
8.如下图,在正方形ABCD中,设 =a, =b, =c,则在以a,b为基底时, 可表示为______,在以a,c为基底时, 可表示为______.
 
解析:以a,c为基底时,将 平移,使B与A重合,再由三角形法则或平行四边形法则即得.
答案:a+b 2a+c
9.如图所示,设M,N,P是△ABC三边上的点,且 =13 , =13 , =13 ,若 =a, =b,试用a,b将 , , 表示出来.
解: = -
=13 -23 =13a-23b,
 = - =-13 -23 =-13b-23(a-b)=-23a+13b,
 =- =-( + )=13(a+b).
10.证明:三角形的三条中线共点.
证明:如图所示,设AD,BE,CF分别为△ABC的三条中线,令 =a, =b.则有 =b-a.
设G在AD上,且AGAD=23,则有 = + =a+12(b-a)=12(a+b).
 = - =12b-a.
∴ = - =23 -
=13(a+b)-a=13b-23a
=2312b-a=23 .
∴G在BE上,同理可证 =23 ,即G在CF上.
故AD,BE,CF三线交于同一点.
层级二 应试能力达标
1.在△ABC中,点D在BC边上,且 =2 ,设 =a, =b,则 可用基底a,b表示为(  )
A.12(a+b)        B.23a+13b
C.13a+23b   D.13(a+b)
解析:选C ∵ =2 ,∴ =23 .
∴ = + = +23 = +23( - )=13 +23 =13a+23b.
2.AD与BE分别为△ABC的边BC,AC上的中线,且 =a, =b,则 =(  )
A.43a+23b   B.23a+43b
C.23a-23b  D.-23a+23b
解析:选B 设AD与BE交点为F,则 =13a, =23b.所以 = + =23b+13a,所以 =2 =23a+43b.
3.如果e1,e2是平面α内所有向量的一组基底,那么,下列命题中正确的是(  )
A.若存在实数λ1,λ2,使得λ1e1+λ2e1=0,则λ1=λ2=0
B.平面α内任一向量a都可以表示为a=λ1e1+λ2e2,其中λ1,λ2∈R
C.λ1e1+λ2e2不一定在平面α内,λ1,λ2∈R
D.对于平面α内任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有无数对
解析:选B A中,(λ1+λ2)e1=0,∴λ1+λ2=0,即λ1=-λ2;B符合平面向量基本定理;C中,λ1e1+λ2e2一定在平面α内;D中,λ1,λ2有且只有一对.
4.已知非零向量 , 不共线,且2 =x +y ,若 =λ  (λ∈R),则x,y满足的关系是(  )
A.x+y-2=0  B.2x+y-1=0
C.x+2y-2=0  D.2x+y-2=0
解析:选A 由 =λ ,得 - =λ( - ),
即 =(1+λ) -λ .又2 =x +y ,
∴x=2+2λ,y=-2λ,消去λ得x+y=2.
5.设e1,e2是平面内的一组基底,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则e1+e2=________a+________b.
解析:由a=e1+2e2,b=-e1+e2,解得e1=13a-23b,e2=13a+13b.
故e1+e2=13a-23b+13a+13b
=23a+-13b.
答案:23 -13
6.已知非零向量a,b,c满足a+b+c=0,向量a,b的夹角为120°,且|b|=2|a|,则向量a与c的夹角为________.
解析:由题意可画出图形,
在△OAB中,
因为∠OAB=60°,|b|=2|a|,
所以∠ABO=30°,OA⊥OB,
即向量a与c的夹角为90°.
答案:90°
7.设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.
(1)证明:a,b可以作为一组基底;
(2)以a,b为基底,求向量c=3e1-e2的分解式;
(3)若  4e1-3e2=λa+μb,求λ,μ的值.
解:(1)证明:若a,b共线,则存在λ∈R,使a=λb,
则e1-2e2=λ(e1+3e2).
由e1,e2不共线,得λ=1,3λ=-2⇒λ=1,λ=-23.
∴λ不存在,故a与b不共线,可以作为一组基底.
(2)设c=ma+nb(m,n∈R),则
3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)
=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.
∴m+n=3,-2m+3n=-1⇒m=2,n=1.∴c=2a+b.
(3)由4e1-3e2=λa+μb,得
4e1-3e2=λ(e1-2e2)+μ(e1+3e2)
=(λ+μ)e1+(-2λ+3μ)e2.
∴λ+μ=4,-2λ+3μ=-3⇒λ=3,μ=1.
故所求λ,μ的值分别为3和1.
 
8.若点M是△ABC所在平面内一点,且满足: =34 +14 .
(1)求△ABM与△ABC的面积之比.
(2)若N为AB中点,AM与CN交于点O,设 =x +y ,求x,y的值.
解:(1)如图,由 =34 +14 可知M,B,C三点共线,
令 =λ ⇒ = + = +λ = +λ( - )=(1-λ) +λ ⇒λ=14,所以S△ABMS△ABC=14,即面积之比为1∶4.
(2)由 =x +y ⇒ =x +y2 , =x4 +y ,由O,M,A三点共线及O,N,C三点共线⇒x+y2=1,x4+y=1⇒x=47,y=67.

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