第二章 2.2 2.2.3向量数乘运算及其几何意义

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第二章 2.2 2.2.3向量数乘运算及其几何意义

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5 Y k j.CoM

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
 
预习课本P87~90,思考并完成以下问题
(1)向量数乘的定义及其几何意义是什么?
                                                                           
                                                                           
(2)向量数乘运算满足哪三条运算律?
                                                                           
                                                                           
(3)向量共线定理是怎样表述的?
                                                                           
                                                                           
(4)向量的线性运算是指的哪三种运算?
                                                                           
                                                                           

[新知初探]
1.向量的数乘运算
(1)定义:规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作:λa,它的长度和方向规定如下:
①|λa|=|λ||a|;
②当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;
当λ<0时,λa的方向与a的方向相反.
(2)运算律:设λ,μ为任意实数,则有:
①λ(μa)=(λμ)a;
②(λ+μ)a=λa+μa;
③λ(a+b)=λa+λb;
特别地,有(-λ)a=-(λa)=λ(-a);
λ(a-b)=λa-λb.
[点睛] (1)实数与向量可以进行数乘运算,但不能进行加减运算,如λ+a,λ-a均无法运算.
(2)λa的结果为向量,所以当λ=0时,得到的结果为0而不是0.
2.向量共线的条件
向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b=λa.
[点睛] (1)定理中a是非零向量,其原因是:若a=0,b≠0时,虽有a与b共线,但不存在实数λ使b=λa成立;若a=b=0,a与b显然共线,但实数λ不唯一,任一实数λ都能使b=λa成立.
(2)a是非零向量,b可以是0,这时0=λa,所以有λ=0,如果b不是0,那么λ是不为零的实数.
3.向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a,b及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.
[小试身手]
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)λa的方向与a的方向一致.(  )
(2)共线向量定理中,条件a≠0可以去掉.(  )
(3)对于任意实数m和向量a,b,若ma=mb,则a=b.(  )
答案:(1)× (2)× (3)×
2.若|a|=1,|b|=2,且a与b方向相同,则下列关系式正确的是(  )
A.b=2a         B.b=-2a
C.a=2b  D.a=-2b
答案:A
3.在四边形ABCD中,若 =-12 ,则此四边形是(  )
A.平行四边形  B.菱形
C.梯形  D.矩形
答案:C
4.化简:2(3a+4b)-7a=______.
答案:-a+8b
 

 
向量的线性运算

[例1] 化简下列各式:
(1)3(6a+b)-9a+13b;
(2)123a+2b-a+12b-212a+38b;
(3)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.
[解] (1)原式=18a+3b-9a-3b=9a.
(2)原式=122a+32b-a-34b=a+34b-a-34b=0.
(3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.
 
向量线性运算的方法
向量的线性运算类似于代数多项式的运算,共线向量可以合并,即“合并同类项”“提取公因式”,这里的“同类项”“公因式”指的是向量.

[活学活用]
化简下列各式:
(1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a);
(2)1622a+8b-44a-2b.
解:(1)原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b.
(2)原式=16(4a+16b-16a+8b)=16(-12a+24b)=-2a+4b.
 
用已知向量表示未知向量
[典例] 如图所示,D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点,M,N分别是DE,BC的中点,已知 =a, =b,试用a,b分别表示 , , .
[解] 由三角形中位线定理,知DE綊12BC,故 =12 ,即 =12a.
 = + + =-a+b+12a=-12a+b.
 = + + =12 + +12
=-14a-b+12a=14a-b.
 
用已知向量表示未知向量的方法
用图形中的已知向量表示所求向量,应结合已知和所求,联想相关的法则和几何图形的有关定理,将所求向量反复分解,直到全部可以用已知向量表示即可,其实质是向量的线性运算的反复应用.

[活学活用]
如图,四边形OADB是以向量 =a, =b为边的平行四边形.又 =13 , =13 ,试用a,b表示 , , .
解:∵ =13 =16 =16( - )=16(a-b),
∴ = +
=b+16a-16b=16a+56b.
∵ =13 =16 ,
∴ = + =12 +16
=23 =23( + )=23(a+b).
∴ = -
=23(a+b)-16a-56b=12a-16b.

 
共线向量定理的应用
题点一:判断或证明点共线
1.已知两个非零向量a与b不共线, =a+b, =2a+8b, =3(a-b),求证:A,B,D三点共线.
证明:∵ =a+b, =2a+8b, =3(a-b),
∴ = + =2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5 .
∴ , 共线,
又∵它们有公共点B,
∴A,B,D三点共线.
题点二:利用向量的共线确定参数
2.已知a,b是不共线的两个非零向量,当8a+kb与ka+2b共线时,求实数k的值.
解:∵8a+kb与ka+2b共线,
∴存在实数λ,使得8a+kb=λ(ka+2b),
即(8-λk)a+(k-2λ)b=0.
∵a与b不共线,∴8-λk=0,k-2λ=0,
解得λ=±2,
∴k=2λ=±4.
题点三:几何图形形状的判定
3.如图所示,正三角形ABC的边长为15, =13 +25 ,  =15 +25AC.
求证:四边形APQB为梯形.
证明:因为 = + + =-13 -25 + +15 +25 =1315 ,所以 ∥ .
又| |=15,所以| |=13,故| |≠| |,于是四边形APQB为梯形.
 
用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路
(1)若b=λa(a≠0),且b与a所在的直线无公共点,则这两条直线平行;
(2)若b=λa(a≠0),且b与a所在的直线有公共点,则这两条直线重合.例如,若向量 =λ ,则 , 共线,又 与 有公共点A,从而A,B,C三点共线,这是证明三点共线的重要方法.

 
层级一 学业水平达标
1.若|a|=5,b与a的方向相反,且|b|=7,则a=(  )
A.57b          B.-57b
C.75b  D.-75b
解析:选B b与a反向,故a=λb(λ<0),|a|=-λ|b|,则5=-λ×7,所以λ=-57,∴a=57b.
2.已知a=5e,b=-3e,c=4e,则2a-3b+c=(  )
A.5e  B.-5e
C.23e  D.-23e
解析:选C 2a-3b+c=2×5e-3×(-3e)+4e=23e.

3.已知 =a+5b, =-2a+8b, =3(a-b),则(  )
A.A,B,C三点共线  B.A,B,D三点共线
C.A,C,D三点共线  D.B,C,D三点共线
解析:选B  = + =-2a+8b+3(a-b)=a+5b= ,
又∵ 与 有公共点B,∴A,B,D三点共线.
4.在△ABC中,点P是AB上一点,且 =23 +13 ,又 =t ,则t的值为(  )
A.13   B.23
C.12   D.53
解析:选A 由题意可得 = - =23 +13 - =13( - )=13 ,又 =t ,∴t=13.
5.在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线交DC于点F,若 =a, =b,则 =(  )
A.13a+b   B.12a+b
C.a+13b  D.a+12b
解析:选A 由已知条件可知BE=3DE,∴DF=13AB,∴ = + = +13 =13a+b.
6.若3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,则x=______.
解析:由已知得3x+3a+2x-4a-4x+4a-4b=0,
∴x+3a-4b=0,∴x=4b-3a.
答案:4b-3a
7.下列向量中a,b共线的有________(填序号).
①a=2e,b=-2e;
②a=e1-e2,b=-2e1+2e2;
③a=4e1-25e2,b=e1-110e2;
④a=e1+e2,b=2e1-2e2.
解析:①中,a=-b;②中,b=-2e1+2e2=-2(e1-e2)=-2a;③中,a=4e1-25e2=4e1-110e2=4b;④中,当e1,e2不共线时,a≠λb.故填①②③.
答案:①②③
8.已知向量a,b是两个不共线的向量,且向量ma-3b与a+(2-m)b共线,则实数m的值为________.
解析:因为向量ma-3b与a+(2-m)b共线且向量a,b是两个不共线的向量,所以存在实数λ,使得ma-3b=λ[a+(2-m)b],即(m-λ)a+(mλ-2λ-3)b=0,因为a与b不共线,所以m=λ,mλ-2λ-3=0,解得m=-1或m=3.
答案:-1或3
9.计算:
(1)25(a-b)-13(2a+4b)+215(2a+13b);
(2)(2m-n)a-mb-(m-n)(a-b)(m,n为实数).
解:(1)原式=25-23+415a+-25-43+2615b=0.
(2)原式=2ma-na-mb-m(a-b)+n(a-b)
=2ma-na-mb-ma+mb+na-nb
=ma-nb.
10.已知e1,e2是两个非零不共线的向量,a=2e1-e2,b=ke1+e2,若a与b是共线向量,求实数k的值.
解:∵a与b是共线向量,∴a=λb,
∴2e1-e2=λ(ke1+e2)=λke1+λe2,
∴λk=2,λ=-1,
∴k=-2,λ=-1,
∴k=-2.
层级二 应试能力达标
1.设a是非零向量,λ是非零实数,则下列结论中正确的是(  )
A.a与λa的方向相同
B.a与-λa的方向相反
C.a与λ2a的方向相同
D.|λa|=λ|a|
解析:选C 只有当λ>0时,a与λa的方向相同,a与-λa的方向相反,且|λa|=λ|a|.因为λ2>0,所以a与λ2a的方向相同.
2.已知O是△ABC所在平面内一点,D为边BC的中点,且2 + + =0,则(  )
A. =         B. =2
C. =3    D.2 =
解析:选A ∵在△ABC中,D为边BC的中点,∴ + =2 ,∴2( + )=0,即 + =0,从而 = .
3.已知向量a,b不共线,若 =λ1a+b, =a+λ2b,且A,B,C三点共线,则关于实数λ1,λ2一定成立的关系式为(  )
A.λ1=λ2=1  B.λ1=λ2=-1
C.λ1λ2=1  D.λ1+λ2=1
解析:选C ∵A,B,C三点共线,
∴ =k  (k≠0).
∴λ1a+b=k(a+λ2b)=ka+kλ2b.
又∵a,b不共线,
∴λ1=k,1=kλ2,∴λ1λ2=1.
4.已知平面内有一点P及一个△ABC,若 + + = ,则(  )
A.点P在△ABC外部  B.点P在线段AB上
C.点P在线段BC上  D.点P在线段AC上
解析:选D ∵ + + = ,
∴ + + - =0,
∴ + + + =0,即 + + =0,
∴2 = ,∴点P在线段AC上.
5.设e1,e2是两个不共线的向量,若向量ke1+2e2与8e1+ke2方向相反,则k=______.
解析:∵ke1+2e2与8e1+ke2共线,
∴ke1+2e2=λ(8e1+ke2)=8λe1+λke2.
∴k=8λ,2=λk,解得λ=12,k=4或λ=-12,k=-4.
∵ke1+2e2与8e1+ke2反向,
∴λ=-12,k=-4.
答案:-4
6.如图所示,在▱ABCD中, =a, =b,AN=3NC,M为BC的中点,则 =________(用a,b)表示.
解析: = + = - =12 -14
=12b-14(a+b)=14b-14a=14(b-a).
答案:14(b-a)
7.已知:在四边形ABCD中, =a+2b, =-4a-b, =-5a-3b,求证:四边形ABCD为梯形.
证明:如图所示.
∵ = + + =(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)
=-8a-2b=2(-4a-b),
∴ =2 .
∴ 与 共线,且| |=2| |.
又∵这两个向量所在的直线不重合,
∴AD∥BC,且AD=2BC.
∴四边形ABCD是以AD,BC为两条底边的梯形.
 
8.如图,已知△OCB中,点A是BC的中点,D是将OB分成2∶1的一个内分点,DC和OA交于点E,设 =a, =b.
(1)用a,b表示向量  , ;
(2)若 =λ ,求λ的值.
解:(1)由A是BC的中点,则有 =12( + ),
从而 =2 - =2a-b.
由D是将OB分成2∶1的一个内分点,得 =23 ,
从而 = - =(2a-b)-23b=2a-53b.
(2)由于C,E,D三点共线,则 =μ ,
又 = - =(2a-b)-λa=(2-λ)a-b,
 =2a-53b,
从而(2-λ)a-b=μ2a-53b,
又a,b不共线,则2-λ=2μ,1=53μ,解得λ=45.


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