第二章2.2 2.2.2向量减法运算及其几何意义讲义

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第二章2.2 2.2.2向量减法运算及其几何意义讲义

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2.2.2 向量减法运算及其几何意义


预习课本P85~86,思考并完成以下问题
(1)a的相反向量是什么?
                                                                             
(2)向量的减法运算及其几何意义是什么?
                                                                             
                                                                             

[新知初探]
1.相反向量
与a长度相等、方向相反的向量,叫做a的相反向量,记作-a.
(1)规定:零向量的相反向量仍是仍是零向量;
(2)-(-a)=a;
(3)a+(-a)=(-a)+a=0;
(4)若a与b互为相反向量,则a=-b,b=-a,a+b=0.
[点睛] 相反向量与相等向量一样,从“长度”和“方向”两方面进行定义,相反向量必为平行向量.
2.向量的减法
(1)定义:a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
 
(2)几何意义:以O为起点,作向量 =a, =b,则 =a-b,如图所示,即a-b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
[点睛] 在用三角形法则作向量减法时,只要记住“连接向量终点,箭头指向被减向量”即可.
[小试身手]
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个向量的差仍是一个向量.(  )
(2)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算.(  )
(3)向量a与向量b的差与向量b与向量a的差互为相反向量.(  )
(4)相反向量是共线向量.(  )
答案:(1)√ (2)√ (3)√ (4)√
2.非零向量m与n是相反向量,下列不正确的是(  )
A.m=n         B.m=-n
C.|m|=|n|  D.方向相反
答案:A
3.化简 - + + 的结果等于(  )
A.    B.    C.    D.
答案:B
4.在平行四边形ABCD中,向量 的相反向量为______.
答案: , 

 


向量的减法运算

[典例] 化简:(1)( - )-( - );
(2)( + + )-( - - ).
[解] (1)( - )-( - )
=( + )-( + )= - =0.
(2)( + + )-( - - )
=( + )-( - )= - =0.
 
(1)向量减法运算的常用方法
 
(2)向量加减法化简的两种形式
①首尾相连且为和;
②起点相同且为差.
做题时要注意观察是否有这两种形式,同时要注意逆向应用.

[活学活用]
化简下列各式:
(1) - - ;
(2) + - ;
(3) - - .
解:(1) - - = + = .
(2) + - = - = .
(3) - - = + + = + + = .


 
向量的减法及其几何意义

[典例] 如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.
 
[解] 法一:如图①所示,在平面内任取一点O,作 =a, =b,则 =a+b,再作 =c,则 =a+b-c.
法二:如图②所示,在平面内任取一点O,作 =a, =b,则 =a+b,再作 =c,连接OC,则 =a+b-c.
 
 
求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行,如a-b,可以先作-b,然后作a+(-b)即可.
(2)也可以直接用向量减法的三角形法则,即把两向量的起点重合,则差向量为连接两个向量的终点,指向被减向量的终点的向量.
[活学活用]
在本例的条件下作出向量:
①a-b+c;②a-b-c.
解:如图所示.
 
 
利用已知向量表示未知向量

[典例] 如图所示,四边形ACDE是平行四边形,B是该平行四边形外一点,且 =a, =b, =c,试用向量a,b,c表示向量 , , .
[解] 因为四边形ACDE是平行四边形,
所以 = =c, = - =b-a,
故 = + =b-a+c.
[一题多变]
1.[变设问]本例条件不变,试用向量a,b,c表示 与 .
解: = - =c-a,
 = - =c-b.

2.[变条件]
本例中的条件“点B是该平行四边形ACDE外一点”若换为“点B是平行四边形ACDE内一点”,其他条件不变,其结论又如何呢?
解:因为四边形ACDE是平行四边形,
所以 = =c, = - =b-a,
 = + =b-a+c.
 
用几个基本向量表示其他向量的一般步骤
(1)观察待表示的向量位置;
(2)寻找相应的平行四边形或三角形;
(3)运用法则找关系,化简得结果.


层级一 学业水平达标
1.在三角形ABC中, =a, =b,则 =(  )
A.a-b         B.b-a
C.a+b  D.-a-b
解析:选D  = - =- - =-a-b.
2.在△ABC中,| |=| |=| |=1,则| - |的值为(  )
A.0  B.1
C.3  D.2
解析:选B | - |=| + |=| |=1.
3.若O,E,F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是(  )
A. = +    B. = -
C. =- +    D. =- -
解析:选B  = + = - .故选B.
4.已知一点O到▱ABCD的3个顶点A,B,C的向量分别是a,b,c,则向量 等于(  )
A.a+b+c  B.a-b+c
C.a+b-c  D.a-b-c

解析:选B 如图,点O到平行四边形的三个顶点A,B,C的向量分别是a,b,c,结合图形有 = + = + = + - =a-b+c.
5.下列各式能化简为 的个数是(  )
①( - )-
② -( + )
③-( + )-( + )
④- - +
A.1  B.2
C.3  D.4
解析:选C ①中,( - )- = + + = + = ;
②中, -( + )= -0= ;
③中,-( + )-( + )=- - - = + - = ;
④中,- - + = + + = +2 .
6.下列四个等式:
①a+b=b+a;②-(-a)=a;③ + + =0;
④a+(-a)=0,
其中正确的是______(填序号).
解析:由向量的运算律及相反向量的性质可知①②④是正确的,③符合向量的加法法则,也是正确的.
答案:①②③④
7.若a,b为相反向量,且|a|=1,|b|=1,则|a+b|=__________,|a-b|=________.
解析:若a,b为相反向量,则a+b=0,∴|a+b|=0,
又a=-b,∴|a|=|-b|=1,∵a与-b共线,∴|a-b|=2.
答案:0 2
8.在△ABC中,D是BC的中点,设 =c, =b, =a, =d,则d-a=______,d+a=______.
解析:根据题意画出图形,如图所示,则d-a= - = + = =c;
 
d+a= + = + = =b.
答案:c b
9.化简:
(1) - + - ;
(2) + + - .
解:(1) - + -
=( + )-( + )
= - =0.
(2) + + - =( + )+( - )
= + =0.
10.设O是△ABC内一点,且 =a, =b, =c,若以线段OA,OB为邻边作平行四边形,第四个顶点为D,再以OC,OD为邻边作平行四边形,其第四个顶点为H.试用a,b,c表示 , , .
解:由题意可知四边形OADB为平行四边形,
∴ = + =a+b,
∴ = - =c-(a+b)=c-a-b.
又四边形ODHC为平行四边形,
∴ = + =c+a+b,
∴ = - =a+b+c-b=a+c.
层级二 应试能力达标
1.已知 =a, =b, =c, =d,且四边形ABCD为平行四边形,则(  )
A.a+b+c+d=0     B.a-b+c-d=0
C.a+b-c-d=0  D.a-b-c+d=0
解析:选B 
如图,a-b= - = ,c-d= - = ,又四边形ABCD为平行四边形,则 = ,即 - =0,所以 + =0,即a-b+c-d=0.故选B.
2.平面上有三点A,B,C,设m= + ,n= - ,若m,n的长度恰好相等,则有(  )
A.A,B,C三点必在同一直线上
B.△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C.△ABC必为直角三角形且∠B=90°
D.△ABC必为等腰直角三角形
解析:选C 
∵|m|=|n|, + = - , - = + ,
∴| - |=| + |,如图.
即▱ABCD的对角线相等,
∴▱ABCD是矩形,∴∠B=90°,选C.
3.在菱形ABCD中,∠DAB=60°,| |=2,则| + |=(  )
A.3  B.23
C.2  D.22
解析:选B 如图,设菱形对角线交点为O,
∵ + = + = ,
∠DAB=60°,
∴△ABD为等边三角形.
又∵AB=2,
∴OB=1.在Rt△AOB中,
| |=|AB―→|2-|OB―→|2=3,
∴| |=2| |=23.
4.已知△ABC为等腰直角三角形,且∠A=90°,给出下列结论:
(1)| - |=| + |;
(2)| - |=| - |;
(3)| - |=| - |;
(4)| - |2=| - |2+| - |2.
其中正确的个数为(  )
A.1     B.2   C.3   D.4
解析:选D 如图,以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,则它是正方形,根据向量加减法的几何意义可知题中四个结论都正确.
5.如图,已知ABCDEF是一正六边形,O是它的中心,其中 =b, =c,则 等于________.
解析: = = = - =b-c.
答案:b-c
6.对于向量a,b,当且仅当____________________________________________时,有|a-b|=||a|-|b||.
解析:当a,b不同向时,根据向量减法的几何意义,知一定有|a-b|>||a|-|b||,所以只有两向量共线且同向时,才有|a-b|=||a|-|b||.
答案:a与b同向
7.如图,已知 =a, =b, =c, =d, =e, =f,试用a,b,c,d,e,f表示以下向量:
(1) ;(2) ;(3) + + .
解:(1) = - =c-a.
(2) = + =- + =-a+d.
(3) + + = + + + + + =0.
 
8.如图所示,已知正方形ABCD的边长等于1, =a, =b, =c,试作出下列向量,并分别求出其长度:
(1)a+b+c.(2)a-b+c.
解:(1)由已知得a+b= + = =c,所以延长AC到E,使| |=| |.则a+b+c= ,且| |=22.所以|a+b+c|=22.
 
(2)作 = ,连接CF,
则 + = ,
而 = - =a-b,
所以a-b+c= + = ,
且| |=2,所以|a-b+c|=2.
 

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