第二章2.2 2.2.1向量加法运算及其几何意义讲义

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第二章2.2 2.2.1向量加法运算及其几何意义讲义

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山课件 w ww.5 Y K j.Co M

  平面向量的线性运算
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
 
预习课本P80~83,思考并完成以下问题
(1)向量的加法如何定义?
                                                                            
                                                                            
(2)在求两向量和的运算时,通常使用哪两个法则?
                                                                            
                                                                            
(3)向量加法的运算律有哪两条?
                                                                            
(4)|a+b|,|a|+|b|,|a|-|b|三者之间的大小有何关系?
                                                                            
                                                                            

[新知初探]
1.向量加法的定义及运算法则
定义 求两个向量和的运算,叫做向量的加法
法则 三角形法则 前提 已知非零向量a,b
  作法 在平面内任取一点A,作 =a, =b,再作向量

  结论 向量 叫做a与b的和,记作a+b,即a+b= + =

  图形 

法则 平行四边形法则 前提 已知不共线的两个向量a,b
  作法 在平面内任取一点O,以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作OACB
  结论 对角线 就是a与b的和

  图形 

规定 零向量与任一向量a的和都有a+0=0+a=a.


2.向量加法的运算律
运 算 律 交换律 a+b=b+a
 结合律 (a+b)+c=a+(b+c)
[小试身手]
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个向量相加结果可能是一个数量.(  )
(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加.(  )
(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线.(  )
答案:(1)× (2)× (3)×
2.对任意四边形ABCD,下列式子中不等于 的是(  )
A. +         B. + +
C. + +    D. + +
答案:C
3.边长为1的正方形ABCD中,| + |=(  )
A.2   B.2
C.1  D.22
答案:B
4. + + + =______.
答案:0
 

 
向量加法及其几何意义

[典例] 如图1,图2,图3所示,求作向量和.
 
[解] 如图中①,②所示,
 
首先作 =a,然后作AB=b,则 =a+b.
如图③所示,作 =a, =b,则 =a+b,再作 =c,则 = + =(a+b)+c,即 =a+b+c.

 
应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题
(1)三角形法则可以推广到n个向量求和,作图时要求“首尾相连”,即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量.
(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和,作图时要求两个向量的起点重合.
(3)求作三个或三个以上的向量和时,用三角形法则更简单.

[活学活用]
如图,已知a,b,c,求作向量a+b+c.
 
解:作法:在平面内任取一点O,如图所示,作 =a, =b, =c,则 =a+b+c.
 

 
向量加法运算

[例2] 化简或计算:
(1) + + ;
(2) + + + + .
[解] (1) + + =( + )+ = + = .
(2) + + + +
=( + )+( + )+
= + + = + =0.
 
解决向量加法运算时应关注两点
(1)可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算.
(2)要灵活应用向量加法运算律,注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序,特别注意勿将0写成0.

[活学活用]
如图,在正六边形ABCDEF中,O是其中心.
则① + =________;
② + + =________;
③ + + =________.
解析:① + = + = .
② + + = + = + = .
③ + + = + + = .
答案:①  ②  ③ 
 
层级一 学业水平达标
1.下列等式错误的是(  )
A.a+0=0+a=a    B. + + =0
C. + =0  D. + = + +
解析:选B 由向量加法可知 + + = + =2 .
2.( + )+( + )+ 等于(  )
A.    B.
C.    D.
解析:选C 原式= + + + +
=( + )+( + + )
= +0= .
3.下列各式不一定成立的是(  )
A.a+b=b+a  B.0+a=a
C. + =    D.|a+b|=|a|+|b|
解析:选D A成立,为向量加法交换律;B成立,这是规定;C成立,即三角形法则;D不一定成立,只有a,b同向或有一者为零向量时,才有|a+b|=|a|+|b|.
4.在矩形ABCD中,| |=4,| |=2,则向量 + + 的长度等于(  )
A.25        B.45
C.12  D.6
解析:选B 因为 + = ,所以 + + 的长度为 的模的2倍,故答案是45.
5.已知平行四边形ABCD,设 + + + =a,且b是一非零向量,则下列结论:①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|.其中正确的是(  )
A.①③  B.②③
C.②④  D.①②
解析:选A ∵在平行四边形ABCD中, + =0, + =0,∴a为零向量,∵零向量和任意向量都平行,零向量和任意向量的和等于这个向量本身,∴①③正确,②④错误.
6. + + + =________.
解析:原式= + + + = + + = .
答案:
7.已知正方形ABCD的边长为1, =a, =c, =b,则|a+b+c|=________.
解析:|a+b+c|=| + + |=| + |=2| |=22.
答案:22
8.如图,在平行四边形ABCD中,
(1) + =________;
(2) + + =________;
(3) + + =________;
(4) + + =________.
解析:(1)由平行四边形法则可知为 .
(2) + + = + = .
(3) + + = + = .
(4) + + = + + = + =0.
答案:(1)  (2)  (3)  (4)0
9.如图,E,F,G,H分别是梯形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,化简下列各式:
① + + ;
② + + + .
解:① + + = + + = + + = + = .
② + + + = + + + = + + = + =0.
10.如图所示,中心为O的正八边形A1A2…A7A8中,ai=  (i=1,2,…,7),bj= (j=1,2,…,8),试化简a2+a5+b2+b5+b7.
解:因为 + =0,
所以a2+a5+b2+b5+b7
= + + + +
=( + )+( + )+
= =b6.
层级二 应试能力达标
1.已知D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则下列等式中不正确的是(  )
A. + =
B. + + =0
C. ,+ =
D. + =
解析:选D 由向量加法的平行四边形法则可知, + = ≠ .
2.下列命题错误的是(  )
A.两个向量的和仍是一个向量
B.当向量a与向量b不共线时,a+b的方向与a,b都不同向,且|a+b|<|a|+|b|
C.当向量a与向量b同向时,a+b,a,b都同向,且|a+b|=|a|+|b|
D.如果向量a=b,那么a,b有相同的起点和终点
解析:选D 根据向量的和的意义、三角形法则可判断A、B、C都正确;D错误,如平行四边形ABCD中,有 = ,起点和终点都不相同.
3.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足 + = ,则下列结论中正确的是(  )
A.P在△ABC的内部
B.P在△ABC的边AB上
C.P在AB边所在的直线上
D.P在△ABC的外部
解析:选D  + = ,根据平行四边形法则,如图,则点P在△ABC外部.
4.下列命题正确的是(  )
A.如果非零向量a,b的方向相反或相同,那么a+b的方向必与a,b之一的方向相同
B.若 + + =0,则A,B,C为三角形的三个顶点
C.设a≠0,若a∥(a+b),则a∥b
D.若|a|-|b|=|a+b|,则b=0
解析:选C 当a+b=0时,A选项不正确;若 + + =0,则A,B,C三点共线或A,B,C为三角形的三个顶点,故B选项不正确;若a与b不共线,则a+b与a不共线,故C选项正确;若|a|-|b|=|a+b|,则b=0或b≠0(a与b反向共线,且|a|>|b|),故D选项不正确.
5.如果| |=8,| |=5,那么| |的取值范围为________.
解析:根据公式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|直接来计算.
答案:[3,13]
6.若a等于“向东走8 km”,b等于“向北走8 km”,则|a+b|=________,a+b的方向是________.
解析:如图所示,设 =a, =b,则 =a+b,且△ABC为等腰直角三角形,则| |=82,∠BAC=45°.
答案:82 km 北偏东45°
7.如图所示,P,Q是三角形ABC的边BC上两点,且BP=QC.求证: + = + .
证明: = + ,
 = + ,
∴ + = + + + .
∵ 与 大小相等,方向相反,
∴ + =0,
故 + = + +0= +AQ.
 
8.如图,已知向量a,b,c,d.
(1)求作a+b+c+d.
(2)设|a|=2,e为单位向量,求|a+e|的最大值.
解:(1)在平面内任取一点O,作 =a, =b, =c, =d,则 =a+b+c+d.
 
(2)在平面内任取一点O,作 =a, =e,
则a+e= + = ,
因为e为单位向量,
所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示),
 
由图可知当点B在点B1时,O,A,B1三点共线,
所以| |即|a+e|最大,最大值是3.

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