第二章 2.1 平面向量的实际背景及基本概念讲义

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第二章 2.1 平面向量的实际背景及基本概念讲义

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源莲山 课
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  平面向量的实际背景及基本概念

 
预习课本P74~76,思考并完成以下问题
(1)向量是如何定义的?向量与数量有什么区别?
                                                                             
                                                                             
(2)怎样表示向量?向量的相关概念有哪些?
                                                                             
                                                                             
(3)两个向量(向量的模)能否比较大小?
                                                                             
                                                                             
(4)如何判断相等向量或共线向量?向量 与向量 是相等向量吗?
                                                                             
                                                                             
(5)零向量与单位向量有什么特殊性?0与0的含义有什么区别?
                                                                             
                                                                             

[新知初探]
1.向量的概念和表示方法
(1)概念:既有大小,又有方向的量称为向量.
(2)向量的表示:
表示法 
几何表示:用有向线段来表示向量,有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向,即用有向线段的起点、终点字母表示,如 ,…

字母表示:用小写字母a,b,c,…表示,手写时必须加箭头 
[点睛] 向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段.向量是规定了大小和方向的量,有向线段是规定了起点和终点的线段.
2.向量的长度(或称模)与特殊向量
(1)向量的长度定义:向量的大小叫做向量的长度.
(2)向量的长度表示:向量 ,a的长度分别记作:| |,|a|.
(3)特殊向量:
①长度为0的向量为零向量,记作0;
②长度等于1个单位的向量,叫做单位向量.
[点睛] 定义中的零向量和单位向量都是只限制大小,没有确定方向.我们规定零向量的方向是任意的;单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同.
3.向量间的关系
(1)相等向量:长度相等且方向相同的向量,叫做相等向量,记作:a=b.
(2)平行向量:方向相同或相反的非零向量,也叫共线向量;a平行于b,记作a∥b;规定零向量与任一向量平行.
[点睛] 共线向量仅仅指向量的方向相同或相反;相等向量指大小和方向均相同.
[小试身手]
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个向量能比较大小.(  )
(2)向量的模是一个正实数.(  )
(3)单位向量的模都相等.(  )
(4)向量 与向量 是相等向量.(  )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)×
2.有下列物理量:①质量;②温度;③角度;④弹力;⑤风速.
其中可以看成是向量的个数(  )
A.1    B.2    C.3    D.4
答案:B
3.已知向量a如图所示,下列说法不正确的是(  )
 
A.也可以用 表示    B.方向是由M指向N
C.始点是M  D.终点是M
答案:D
4.如图,四边形ABCD和ABDE都是平行四边形,则与 相等的向量有______.
答案: ,
 
 
向量的有关概念
[典例] 有下列说法:①向量 和向量 长度相等;②方向不同的两个向量一定不平行;③向量 是有向线段;④向量0=0,其中正确的序号为________.
[解析] 对于①,| |=| |=AB,故①正确;
对于②,平行向量包括方向相同或相反两种情况,故②错误;
对于③,向量可以用有向线段表示,但不能把二者等同起来,故③错误;
对于④,0是一个向量,而0是一个数量,故④错误.
[答案] ①
 
(1)判断一个量是否为向量应从两个方面入手
①是否有大小;②是否有方向.
(2)理解零向量和单位向量应注意的问题
①零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等.
②单位向量不一定相等,易忽略向量的方向.

[活学活用]
有下列说法:
①若向量a与向量b不平行,则a与b方向一定不相同;
②若向量 , 满足| |>| |,且 与 同向,则 > ;
③若|a|=|b|,则a,b的长度相等且方向相同或相反;
④由于零向量方向不确定,故其不能与任何向量平行.
其中正确说法的个数是(  )
A.1           B.2
C.3  D.4
解析:选A 对于①,由共线向量的定义,知两向量不平行,方向一定不相同,故①正确;对于②,因为向量不能比较大小,故②错误;对于③,由|a|=|b|,只能说明a,b的长度相等,确定不了它们的方向,故③错误;对于④,因为零向量与任一向量平行,故④错误.
 
向量的表示

[典例] 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1),用直尺和圆规画出下列向量:
 
① ,使| |=42,点A在点O北偏东45°;
② ,使| |=4,点B在点A正东;
③ ,使| |=6,点C在点B北偏东30°.
[解] (1)由于点A在点O北偏东45°处,所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等.又| |=42,小方格边长为1,所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4,于是点A位置可以确定,画出向量 如图所示.
 
(2)由于点B在点A正东方向处,且| |=4,所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4,纵向小方格数为0,于是点B位置可以确定,画出向量 如图所示.
(3)由于点C在点B北偏东30°处,且| |=6,依据勾股定理可得:在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3,纵向小方格数为33≈5.2,于是点C位置可以确定,画出向量 如图所示.
 
用有向线段表示向量的方法
用有向线段表示向量时,先确定起点,再确定方向,最后依据向量模的大小确定向量的终点.
必要时,需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模),选择合适的比例关系作出向量.
[活学活用]
一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点,然后改变方向,向北偏西40°方向行驶了200千米到达C点,最后又改变方向,向东行驶了100千米到达D点.作出向量 , , , .
解:如图所示.
 
 
共线向量或相等向量

[典例] 如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心,且 =a, =b, =c.
(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些?
(2)与a共线的向量有哪些?
(3)请一一列出与a,b,c相等的向量.
[解] (1)与a的长度相等、方向相反的向量有 , , , .
(2)与a共线的向量有 , , , , , , , , .
(3)与a相等的向量有 , , ;与b相等的向量有 , , ;与c相等的向量有 , , .
[一题多变]
1.[变设问]本例条件不变,试写出与向量 相等的向量.
解:与向量 相等的向量有 , , .
2.[变条件,变设问]在本例中,若|a|=1,则正六边形的边长如何?
解:由正六边形性质知,△FOA为等边三角形,所以边长AF=|a|=1.
 
寻找共线向量或相等向量的方法
(1)寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量.
(2)寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共线.

 


 
层级一 学业水平达标
1.下列说法正确的是(  )
A.向量 ∥ 就是 所在的直线平行于 所在的直线
B.长度相等的向量叫做相等向量
C.若a=b,b=c,则a=c
D.共线向量是在一条直线上的向量
解析:选C 向量 ∥ 包含 所在的直线与 所在的直线平行和重合两种情况,故A错;相等向量不仅要求长度相等,还要求方向相同,故B错;C显然正确;共线向量可以是在一条直线上的向量,也可以是所在直线互相平行的向量,故D错.
2.如图,在圆O中,向量 , , 是(  )
A.有相同起点的向量
B.共线向量
C.模相等的向量
D.相等的向量
解析:选C 由图可知 , , 是模相等的向量,其模均等于圆的半径,故选C.
3.向量 与向量 共线,下列关于向量 的说法中,正确的为(  )
A.向量 与向量 一定同向
B.向量 ,向量 ,向量 一定共线
C.向量 与向量 一定相等
D.以上说法都不正确
解析:选B 根据共线向量定义,可知 , , 这三个向量一定为共线向量,故选B.
4.如图,在▱ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,图中与 平行的向量有(  )
A.1个          B.2个
C.3个  D.4个
解析:选C 根据向量的基本概念可知与 平行的向量有 , , ,共3个.
5.已知向量a,b是两个非零向量, , 分别是与a,b同方向的单位向量,则下列各式正确的是(  )
A. =    B. = 或 =-
C. =1  D.| |=| |
解析:选D 由于a与b的方向不知,故 与 无法判断是否相等,故A、B选项均错.又 与 均为单位向量.∴| |=| |,故C错D对.
6.已知| |=1,| |=2,若∠ABC=90°,则| |=________.
解析:由勾股定理可知,BC=AC2-AB2=3,所以| |=3.
答案:3
7.设a0,b0是两个单位向量,则下列结论中正确的是________(填序号).
①a0=b0;②a0=-b0;③|a0|+|b0|=2;④a0∥b0.
解析:因为a0,b0是单位向量,|a0|=1,|b0|=1,
所以|a0|+|b0|=2.
答案:③
8.给出下列四个条件:①a=b;②|a|=|b|;③a与b方向相反;④|a|=0或|b|=0.其中能使a∥b成立的条件是________(填序号).
解析:若a=b,则a与b大小相等且方向相同,所以a∥b;若|a|=|b|,则a与b的大小相等,而方向不确定,因此不一定有a∥b;方向相同或相反的向量都是平行向量,因此若a与b方向相反,则有a∥b;零向量与任意向量平行,所以若|a|=0或|b|=0,则a∥b.
答案:①③④
9.如图,O是正方形ABCD的中心.
(1)写出与向量 相等的向量;
(2)写出与 的模相等的向量.
解:(1)与向量 相等的向量是 .
(2)与 的模相等的向量有: , , , , , , .
10.一辆消防车从A地去B地执行任务,先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地,然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地,从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地.
(1)在如图所示的坐标系中画出 , , , .
(2)求B地相对于A地的位移.
解:(1)向量 , , , 如图所示.
(2)由题意知 = .
所以AD綊BC,
则四边形ABCD为平行四边形.
所以 = ,则B地相对于A地的位移为“在北偏东60°的方向距A地6千米”.
层级二 应试能力达标
1.如图所示,梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在两腰AD,BC上,EF过点P,且EF∥AB,则下列等式成立的是(  )
A. =         B. =
C. =    D. =
解析:选D 根据相等向量的定义,分析可得:
A中, 与 方向不同,故 = 错误;
B中, 与 方向不同,故 = 错误;
C中, 与 方向相反,故 = 错误;
D中, 与 方向相同,且长度都等于线段EF长度的一半,故 = 正确.
2.下列说法正确的是(  )
A.若a∥b,b∥c,则a∥c
B.终点相同的两个向量不共线
C.若a≠b,则a一定不与b共线
D.单位向量的长度为1
解析:选D A中,因为零向量与任意向量平行,若b=0,则a与c不一定平行.B中,两向量终点相同,若夹角是0°或180°,则共线.C中,对于两个向量不相等,可能是长度不相等,但方向相同或相反,所以a与b可能共线.
3.若a为任一非零向量,b为单位向量,下列各式:
①|a|>|b|;②a∥b;③|a|>0;④|b|=±1.
其中正确的是(  )
A.①④  B.③
C.③④  D.②③
解析:选B a为任一非零向量,所以|a|>0,故③正确;由向量、单位向量、平行向量的概念易判断其他式子均错误.故选B.
4.在△ABC中,点D,E分别为边AB,AC的中点,则如图所示的向量中相等向量有(  )

A.一组  B.二组
C.三组  D.四组
解析:选A 由向量相等的定义可知,只有一组向量相等,即 = .
5.四边形ABCD满足 = ,且| |=| |,则四边形ABCD是______(填四边形ABCD的形状).
解析:∵ = ,∴AD∥BC且| |=| |,∴四边形ABCD是平行四边形.又| |=| |知该平行四边形对角线相等,故四边形ABCD是矩形.
答案:矩形
6.如图,O是正三角形ABC的中心,四边形AOCD和AOBE均为平行四边形,则与向量 相等的向量为________;与向量 共线的向量为__________;与向量 的模相等的向量为________.(填图中所画出的向量)
解析:∵O是正三角形ABC的中心,∴OA=OB=OC,易知四边形AOCD和四边形AOBE均为菱形,∴与 相等的向量为 ;与 共线的向量为 , ;与 的模相等的向量为 , , , , .
答案:   ,   , , , ,
7.如图,D,E,F分别是正三角形ABC各边的中点.
(1)写出图中所示向量与向量 长度相等的向量.
(2)写出图中所示向量与向量 相等的向量.
(3)分别写出图中所示向量与向量 , 共线的向量.
解:(1)与 长度相等的向量是 ,
 , , , , , , .
(2)与 相等的向量是 , .
(3)与 共线的向量是 , , ;
与 共线的向量是 , , .
 
8.如图,已知函数y=x的图象l与直线m平行,A0,-22,B(x,y)是m上的点.求
(1)x,y为何值时, =0;
(2)x,y为何值时, 为单位向量.
解:(1)要使 =0,当且仅当点A与点B重合,于是x=0,y=-22.
(2)如图,要使得 是单位向量,必须且只需| |=1.
 
由已知,l∥m且点A的坐标是0,-22,
所以B1点的坐标是22,0.在Rt△AOB1中,有
|  |2=| |2+| |2=222+222=1,
即| |=1.
上式表示,向量 是单位向量.
同理可得,当B2的坐标是-22,-2时,向量AB2―→也是单位向量.
综上有,当x=22,y=0或x=-22,y=-2时,向量 是单位向量.

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