|
平行线截得比例线段定理
嵩明县小街镇甸丰小学 李逵
教学目标：1、理解平行线截得比例线段定理；
2、会证明平行线截得比例线段定理；
3、通过对定理的证明，学习几何证明方法和作辅助线的方法；
4、培养逻辑思维能力。
教学重点：1、几何证明中的证法分析；
2、添加辅助线的方法。
教学难点：如何添加有用的辅助线。
教学关键：抓住相似三角形的判定和性质进行教学。
教学方法：学习指导法，即读、思、练、讲。
一、复习铺垫
1、提问：
同学们，你会画相交线吗？
你会画平行线吗？
2、请你自己试一试：
①画一组平行线；
②画一组相交线。
说明：让同学们自己在练习本上画，画得好的同学到黑板上板演。同一小组内的同学可以互相交流。
二、初步感知
请同学们按下面的要求做一做，按照顺序，做完一个再进行下一个。同一小组内的同学可以互相指导、互相交流。
1、画三条平行线（等距不等距均可，但要互相平行）；
2、画两条直线与上面的三条平行线相交；
3、找一找
①三条平行线在两条直线上面截得了哪些线段？（小组内交流，你是怎样找到的）
②哪条线段和哪条线段是对应线段？（小组内交流，你是怎样想的）
4、量一量
三条平行线在两条直线上截得的线段的长度各是多少。（精确到毫米）
5、算一算
①对应线段的比值是多少？
②你是按什么顺序写出比的？
6、观察总结
在算出的比值中，它们的比值相等吗？
请你把比值相等的两个比写成比例。
7、猜想结论
从写出的比例式子，你能猜出什么结论吗？
请把你的结论说一说，然后写出来。
8、验证结论
你的结论正确吗？重新画个图形试一试。
三、探索，寻找理论支持（根据）
1、你能用你学过的知识来证明你得到的结论吗？
2、怎样才能把现在的结论和以前学过的知识联系起来？
3、要不要添加辅助线？怎样画辅助线？
A
B
C
D
E
F
M
N
4、怎样分析寻找证明的思路和过程？
5、教师整理（板书）
①定理：两条直线被三条平行线截得的对应线段成比例。
已知： 交直线 于 、 、 ，交直线 于 、 、 。
求证： （或者 ）。
②分析：要证明 ，从图形上我们看不出 与 之间有什么联系。如果把线段 平移到图中 的位置，如果把线段 平移到图中 的位置，那么， 就变成了 。在 中，横着看， 、 在 中； 、 在 中。（竖着看行不行？为什么？）。要是能证明 ∽ ，那么，证明 的问题就算是解决了。
现在，我们来考虑怎样证明 ∽ 。我们知道，平行移动（平移）不会改变线段的长度，移动后得到的线段和原来的线段还是平行的。因此，我们可以判断 、 ，从而得到 ，而且， ， 。
③证明：过 作 交 于 、过 作 交 于 ，
∴ （同平行于一直线的两条直线互相平行）
∵
∴ ， （夹在两平行线间的平行线段相等）
（这里也可以用平行四边形来证明）
在 和 中
∵
∴ （两直线平行，同位角相等）
∵
∴ （同上）
∴ ∽ （有两个角对应相等的两个三角形相似）
∴ （相似三角形的对应边成比例）
∵ ， （已证）
∴ （等量代换）
四、实践应用
1、你得到的结论有什么用处？你能举个例子说明吗？
（可以自己“编造”例子，也可以从教材上寻找。只要会说明）
2、你能要这个结论来解决实际问题吗？
五、知识拓展
1、上面的定理及其证明过程，变成特殊情况它还成立吗？
A
E
F
C
D
当 点和 点重合时，四边形 变成了 ，如图。
当 点变成 的中点， 点变成 的中点时， 变成了 的中位线，如图。这时，还会有 吗？
事实上， 是 的中位线，便有 ， ， 。此时， ， 。所以， 。
2、当上面的四边形 变成了 时，上面的定理及其证明过程还成立吗？当 点变成 的中点， 点变成 的中点， 变成了 的中位线时，如图，还能得到上面的定理的结论吗？
事实上， ，四边形 就是梯形。 点是 的中点， A
B
C
D
E
F
点是 的中点时， 就是 的中位线。根据梯形的中位线定义， ， ， 。此时， ， 。所以， 。
3、你还能想到别的情况吗？
如果四边形 是平行四边形或者是矩形，上面的结论还成立吗？自己试试看。
六、回顾总结
这一节课我们学到了什么？请自己回顾一下。想好后，我们一起来进行总结。
平行
平行线截得比例线段定理
分析证明
应用举例
特殊情形
作者简介：李逵，男，44岁，小学高级教师，云南师大数学专业本科毕业，现在甸丰小学任教。单位地址：嵩明县小街镇甸丰小学；邮编：651708；电话：0871-6868052（个人），7982012（单位）；E-mail lk015@126.com
| 
