八年级数学上册第12章全等三角形学案新版新人教版

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八年级数学上册第12章全等三角形学案新版新人教版

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文 章
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课题:全等三角形复习课
【复习目标】
 1、加深对全等形及全等三角形有关概念的理解和掌握.
 2、归纳重点、要点、考点及易错点知识的迁移.
 3、通过不同题型的训练、让学生熟练运用三角形的判定定理及角平分线的性质定理、判定定理准确的解题和证题.
【复习过程】
 一、课本概念、性质、定理等
 1、 全等形:
   (1)定义:能够完全      的两个图形叫做全等形.
   (2)性质、判定:形状、    相同的         全等形。
 2、全等三角形:能够完全         的两个三角形叫做全等三角形,全等三角形中能够重合的顶点叫做           ,重合的边叫        ,重合的角叫                 .
 3、全等三角形的性质:全等三角形的对应       相等 ,对应角              ,面积 
               ,周长                    。
 4、判定三角形全等的方法:
   1)定义法:能够完全 重合的两个三角形是全等三角形(这种方法一般不用)。
   2)常用判定定理有          ,          ,           ,          ,直角三角形的判定定理除        ,          ,          ,         ,还有        
  注意:
   1)一般地,判定两个三角形全等必须有三个元素、 并且至少有一组边对应相等。
   2)判定两个三角形全等时、要根据条件灵活选择方法。
 5、角的平分线
    1)定义:把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.
2)角平分线的性质:角平分线上的点到       的两边的       相等。
 如果一条射线是一个角的平分线,那么它把这个角分成两个相等的角。
 应用格式:
    OP为 AOB的平分线
     AOP =  BOP
   角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
    点P在 AOB的平分线上,且PD OA于D,PE OB于E,
    PD = PE .
  注意:角的平分线上的点到角两边的距离相等有两个前提条件:
        点在角的平分线上 过这点作角的两边的垂线。                                    

 6、角平分线的判定:
(1)如果一条射线的端点与角的顶点重合,且把这个角分成两个相等的角,那么这条射线是这个角的平分线 .
  应用格式:
        AOP =  BOP,
       射线OP为 AOB的平分线 .
   (2)角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 .
       应用格式:
         PC OA于C ,PD OB于D,且PC = PD.
         射线OP为 AOP的平分线 .
    
   二、知识点归纳
1、全等三角形
 (1)全等三角形的性质是以后证明线段相等或角相等的常用依据。
 (2)全等三角形的对应边上的中线、高线及对应角的平分线也相等。
 (3)全等三角形的周长和面积相等。
2、常见 的全等三角形的基本图形有平移型、旋转型和翻折型.
     (1)平移型:
          如图、 ABC向右平移,得到 DEF ,则 ABC  DEF
                                                    
 
(2)旋转型:
   如图,两对三角形的全等属于旋转型、图形的特点是:
   图1的旋转中心为O点、有公共部分 1;图2的旋转中心为O点,有一对对顶角 1和 2.

 (3)翻转型:
     如图、两对三角形的全等属于翻折型,其中图1中有公共边AB,图2中有公共角 A .
 

3、对判定三角形全等的方法的理解
(1)判定两个三角形全等的条件中至少有一组边对应相等,没有对应边相等就无法确定三角形的大小。
(2)要注意“两边夹角”和“两角夹边”的位置关系.
(3)在运用“AAS”时,要特别注意“S”对应的两边是一组对应角的对边,否则就不一定全等。
(4)在判定两个直角三角形全等时,不需要用“SSS”,只要有两组对应边分别相等即可。
  当两直角边分别相等时用“SAS”(夹直角)
  当斜边和一条直角边分别相等时用“HL”。
  判定两个直角三角形全等的方法有“SAS”, “ASA”, “AAS”, “HL”, 在实际证明中,可以根据条件灵活运用不同的方法,不要只拘泥于”HL”。
 (5)有两边和一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等。
 (6)有三个角分别相等的两个三角形也不一定全等。
4、全等三角形的证题思路
  证明两个三角形全等,选择哪种判定方法,要根据具体已知条件而定.
  (1)已知两边找夹角然后用SAS  找另一边然后用SSS
  (2)已知一边一角
边为角的对边时另找任一角然后用AAS 。
边为角的邻边时找夹角的另一边然后用SAS 或找夹边的另一角然后用ASA或找这一边的对角然后用AAS .
已知两角找夹边然后用ASA或找其中一角的对边然后用AAS.
5、证明角相等常用的方法:
  (1)对顶角相等.
  (2)同角(或等角)的余角(或补角)相等.
  (3)两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等.
  (4)角平分线的定义.
  (5)等式性质.
  (6)全等三角形的对应边相等.
6、证明线段相当常用的方法
  (1)中点的定义.
  (2)全等三角形的对应边相等.
  (3)等式的性质.
7、证明一个几何命题的步骤
  (1)明确命题中的已知和求证. (2)根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证.
  (3)经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程.
 
 三、基础练习题
 一)选择题
1、下列说法:(1)形状相同的两个图形是全等形      (2)面积相等的两个三角形是全等三角形(3)全等三角形的周长相等,面积相等      (4)在 ABC和 DEF中,若 A= D, B = E ,  C= F ,AB=DE,BC=EF,AC=DF, 则这两个三角形的关系可记作 ABC ≌  DEF.其中正确的有 (      ).
     A、1个            B、2个           C、3个          D、4个
2、下列说法中,正确的是     (        )
 A.周长相等的锐角三角形都全等             B.周长相等的直角三角形都全等
 C.周长相等的钝角三角形都全等             D.周长相等的等腰直角三角形都全等
3、已知一个等腰三角形的两边长是8cm和3cm,则这个三角形的周长为  (        )
     A、19 cm         B、14cm          C、19cm或14 cm     D、11cm
 4、如图,已知△ABC≌△CDA,并且AB=CD,那么下列结论错误的是(  ) 
     A.∠1=∠2        B.AD=CB      C.∠D=∠B         D.BC=AC
                                                                
 
  5、如图,已知△ABC≌△BAD,点A,C的对应点分别为B,D,如果AB=5cm,BC=7cm,AC=10cm,那么BD等于(   )
      A、10 cm             B、7cm          C、5cm         D、无法确定
                                                        
  6、如图、在 ABC中,AB=AC,AD平分 BAC交BC于D,则下列说法:(
(1) ABD与 ACD全等       (2)AD是 ABC中BC边上的中线
(3)AD是 ABC中BC边上的高     (4) B =  C
                                                        
7、如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC, AD平分∠CAB交BC于点D,DE⊥AB于点E,若AB=6cm.则△DBE的周长是 (      )
  A、6  cm          B、7 cm        C、8cm      D、9cm
8、如图,已知AB∥CD,O是∠BAC与∠ACD的平分线的交点,OE⊥AC于E,且OE=2,则AB与CD之间的距离为   (       ).
  A、2            B、 3          C、 4          D、5
9、如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AD是角平分线,DE⊥AB于E,下列结论错误的是(  )
   A. BD+DE=BC      B. DE平分∠ADB     C. AD平分∠EDC    D、DE+AC >AD
                                                                


10、如图,两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起,且∠DAB=30°.有以下四个结论  ①AF⊥BC;    ADG ≌ ACF  ; ③O为BC的中点;    ④AG:DE= : 4
其中正确结论的序号是(  )  
 A、①        B、①③       C、③       D、①③④

二、)填空题
 1、如图一、已知:如图,△OAD≌△OBC,且∠O=70°,∠C=25°,则∠AEB=______度
 2、如图二,已知:AC和BD相交于O, 1= 2, 3= 4.则AC和BD的关系      .
 3、  如图三,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,∠1=25°,∠2=30°,则∠3=        .
 4、如图一,△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,若CD=4,则 点D到AB的距离是______.
                                          
 
5、如图二、OP平分∠MON,PA⊥ON于点A, 点Q是射线OM上的一个动点.若PA=2,则PQ的最小值为______,理论根据为____
6、在△ADB和△ADC中,有下列条件:① BD=DC,AB=AC;②∠B=∠C,∠BAD=∠CAD;③∠B=∠C,BD=CD;④∠ADB=∠ADC,BD=CD.能得出△ADB≌△ADC的序号是 _________ .
7、如图一,把一张平行四边形纸片ABCD沿BD对折,使点C落在E处,BE与AD相交于点O,若∠DBC=15°,则∠BOD =______.
                                        
 
 8、如图, ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,请你填加一个适当的条件______,使△AEC≌△CDA.

三、)解答题、证明题
   1、你能把下图中的正方形分成下列图形吗?
     (1)两个全等的三角形;        (2)四个全等的三角形
     (3)两个全等的长方形;  (4)四个全等的正方形

 2、如图所示是小明制作的风筝,他根据DE=DF,EH=FH,不用度量,就知道∠DEH=∠DFH.请你用所学知识给予证明
                                  


3、如图,有三条公路两两相交于A、B、C处,现计划修建一个加油站,要求到三条公路的距离相等,那么该如何选择加油站的位置?请你在图中确定加油站的位置P.
                  
                                      

4、如图,△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,∠ACD=∠BCE=90°,AE交CD于点F,BD分别交CE、AE于点G、H.试猜测线段AE和BD的数量和位置关系,并说明理由.


5、如图,已知四边形ABCD中,AD∥BC,若∠DAB 的平分线AE交CD于E,连结BE,BE恰好平分∠ABC,试判断AB、AD和BC的关系并证明.
                                


6、已知:AC//BD,AE 、BE分别平分 CAB和 DBA,CD过E点.
求证:AB=AC+BD                                                          
                             

7、如图、Rt ABD≌ Rt EBC, ABD= EBC=900,CE的延长线交AD于点F.
求证:AD EF
               

8、如图、已知 PA=PB,∠1+∠2=180°.
   求证:OP平分∠AOB                         
 

9、如图,在三角形ABC中,AB=AC,角A=90,D是AC上的一点,CE垂直BD于点E,且CE= BD,

求证:BD平分 ABC                    
 

 10、 如图,A、B、C三点在同一条直线上,AB=2BC,分别以A B,BC为边做正方形ABEF和正方形BCMN连接FN,EC.
求证:FN=EC.

11、如图,AB=AE,∠ABC=∠AED,BC=ED,点F是CD的中点.
 (1)求证:AF⊥CD.
 (2)连接BE,还能得出哪些结论?请写出3个(不要求证明)


12、如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=DC,BD平分∠ABC.
求证:∠A+∠C=180°.
 

13、某校八(1)班学生到野外活动,为测量一池塘两端A、B的距离,设计了如下两种方案:
(a)如图①,先在平地上取一个可直接到达A、B的点C,再连接AC、BC.并分别延长AC至D,BC至E,使DC=AC,EC=BC,最后测出DE的长即为A、B的距离;
(b)如图②,先过B点作AB的垂线BF,再在BF上取C、D两点,使CD=BC,接着过点D作BD的垂线DE,交AC的延长线于E,则测出DE的长即为A、B的距离.
阅读后回答下列间题:
(1)方案(a)是否可行?说明理由;                
(2)方案(b)是否可行?说明理由.
(3)方案(b)中作BD AB,DE BD的目的是什么?若仅满足 ABD= BDE  900,方案(b)是否可行?说明理由.

 

      
14、如图,将△ABC绕其顶点A顺时针旋转30゜后,得到△AEF.
(1)△ABC与△AEF的关系如何?
(2)求∠EAB的度数;
(3)△ABC绕其顶点A顺时针旋转多少度时,旋转后的△AEF的顶点F和△ABC的顶点C和A在同一直线上?
 


15、如图、在 ABC中, BAC=900,AB= AC,若MN是经过点A的直线,BD MN于D,CE MN于E.
  (1)求证:BD= AE.
  (2)若将MN绕点A旋转,使MN与BC相交于点O,其他条件都不变,BD与AE还相等吗?为什么?
  (3)对于条件(2)BD、CE与DE有何关系?


16、如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过A的一条直线,且B,C在AE的异侧,BD⊥AE于点D,CE⊥AE于点E.
(1)求证:BD=DE+CE;
(2)若直线AE绕点A旋转到图2位置时(BD<CE),其余条件不变,问BD与DE,CE的关系如何,请证明;
(3)若直线AE绕点A旋转到图3时(BD>CE),其余条件不变,BD与DE,CE的关系怎样?请直接写出结果,不须证明.
(4)根据以上的讨论,请用简捷的语言表述BD与DE,CE的关系.

 

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